垂直的判定与性质讲义-高三数学一轮复习

知识点一线面垂直的判定与性质

【基础指数框架】

1.线线垂直的判定

（1）等腰三角形中线（2）勾股逆定理（3）菱形对角线（4）矩形邻边（5）正方形对角线与邻边

（6）圆直径所对圆周角（7）线面垂直的性质

※若提及空间中两个角相等，应证明全等，进而得到边相等，利用等腰三角形的性质

※若菱形有一内角为60°,则120°角顶点与对边中点的连线与对边垂直

2.线面垂直的判定

判定性质

图形表示数学语言表示图形表示数学语言表示

线

面

垂

直

【例题分析】

考向一利用特殊平行四边形的性质证垂直

1.（2022•上海闵行•二模•节选）如图，四棱锥尸-ABCD的底面为菱形，阳，平面/6切，ZBAD=6Q°,£为棱

6c的中点.

考向二利用等腰三角形的性质证垂直

例2.如图，在三棱锥P—ABC中，AC=BC=2,ZACB=90°,AP=BP=AB,求证：PCLAB；

p

考向三利用勾股逆定理证垂直

3.（2024•山东枣庄•模拟预测•节选）如图，四棱台A8CD-A46A的底面为菱形,

AB=4,DDX=3,ABAD=60°,点E为3C中点，RE工BC,RE=亚.

⑴证明：平面ABC。；

AB

考向四利用圆直径所对圆周角是直角证垂直

4.(2022•吉林•模拟预测•节选)如图，在三棱锥P-ABC中，AB是外接圆的直径，PC垂直于圆所在

的平面，D、E分别是棱A3、PC的中点.

(1)求证：平面PAC；

5.(2022•山东泰安•模拟预测•节选)如图，圆台下底面圆。的直径为AB,C是圆。上异于A,8的点，且

ZBAC=3ff,MN为上底面圆O'的一条直径，AVt4c是边长为2石的等边三角形，MB=4.

(1)证明：平面MAC；

考向五利用线面垂直的性质证垂直

6.(2324高三下•内蒙古赤峰•开学考试•改编)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABC。是菱形,

PALAC,BDLPC,PA=AB=4.

(1)证明：80,平面B4c.

(2)证明：R4,平面ABCD.

7.(2024•河北保定•二模•节选)如图，在四棱锥P-ASCO中，底面ABCD是菱形，ND4B=60°,E,B分别为

ARAB的中点，且4C_LPE.

(1)证明：AC±PF.

AFB

知识点二面面垂直的判定

【基础指数框架】

面文字语言图形语言符号语言

面如果一个平面过另一个

垂

平面的垂线，那么这两个

直

平面垂直.

的

判

定

【例题分析】

例1.(2023秋•内蒙古包头•高三开学考•节选)如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，底面A3CD,

SA=y/2,AD=1,SC±BD.

(1)证明：平面S2Z5_L平面SAC；

S

例2.（2023秋•福建福州•高三统考开学考试）如图，在底面为菱形的四棱锥M-ABCD中,

AD=BD=MB=2，MA=MD=^2•

(1)求证：平面M4D_L平面/比〃

例3.已知四边形A5CD是矩形，R4,平面A5CD,PA=AD=a,M，N分别是AS,PC的中点，求

证：平面ACVD，平面PCD.

M

【变式训练】

1.（2023秋•安徽芜湖•高二安徽师范大学附属中学校考开学考试）如图所示，在正方体ABCD-A4G。中.求

证：⑴直线AC7/平面；

⑵平面A8CJ平面期2,

2.（2022春•云南保山•高二统考期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，24,平面

ABCD,AD//BC,AD=2BC,^ABC是等边三角形，PA^AB=\.

（1）求证：平面PCD_L平面PAC；

3.（2023春•广东广州•高一统考期末•节选）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面5是边长为2的正方形,

/C与劭相交于点。，£为切的中点，PA=PB=y[i，NPAD=NPBC,

（1）证明：平面POE_L平面/及/；

4.（2022•广州一模）如图，在五面体/故应中，4），平面/8GAD//BE,AD=2BE,AB=BC.

（1）求证：平面C£>E_L平面4切；

知识点三面面垂直的性质

【基础指数框架】

面文字语言图形语言符号语言

面两个平面垂直，如果一个

垂

平面内有一直线垂直于

直

这两个平面的交线，那么

的

性这条直线与另一个平面

质垂直.

【例题分析】

例1.(2024•广东广州•二模•节选)如图，在三棱柱ABC-A4G中，侧面ACC0是菱形，且与平面垂

直，BC±AC,AAi=AiC=4,BC=2.

(1)证明：3C1平面ACC0；

例2.（2024•广东深圳•一模•节选）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，平面平面

PAD,点M在DP上，且DM=2MP,AD=AP,/PAD=120。.

⑴求证：平面ACM；

例3.（2023•广西玉林•模拟预测•节选）如图，在三棱柱ABC-A与G中，侧面AAB片是菱形，且

TT

ZBAAI=-,侧面为5CG是边长为2的正方形，侧面侧面AAB4，。为的中点.

（1）求证：AB/平面3a＞；

【变式训练】

1.(2022•集美区校级模拟)如图，C是以AB为直径的圆O上异于A,3的点，平面平面ABC,APAC为

正三角形，E,尸分别是尸C,PB上的动点.

(1)求证：BCYAE-,

2.(2022•广州二模)如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，NABC=60。，E