高三数学三角函数一轮复习

1、考纲导读第六章 三角函数1了解任意角的概念、 弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切2掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用3能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明4掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和的简图，理解的物理意义5会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsi

2、nx，arccosx，arctanx表示角6掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题知识网络任意角的三角函数三 角 函 数两角和与差的三角函数三角函数的图象和性质角的概念的推广、弧度制任意角的三角函数的定义同角三角函数基本关系诱导公式两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切ysinx, ycosx的图象和性质ytanx的图象和性质yAsin(x)的图象已知三角函数值求角高考导航三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：1降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查尤其是三角函数的

3、最大值与最小值、周期2以小题为主一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等3更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识基础过关第1课时 任意角的三角函数一、角的概念的推广1与角终边相同的角的集合为 2与角终边互为反向延长线的角的集合为 3轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x轴上的角的集合为 ，终边在y轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 4象限角是指： 5区间角是指： 6弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧

4、所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系7弧度与角度互化：180º 弧度，1º 弧度，1弧度 º8弧长公式：l ；扇形面积公式：S .二、任意角的三角函数9定义：设P(x, y)是角终边上任意一点，且 |PO| r，则sin ； cos ；tan ；+cosx, sinx, tanx, xyOxyOxyO10三角函数的符号与角所在象限的关系：12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域：解析式ysinxycosxytanx定义域值 域13三角函数线：在图中作出角的正弦线、余弦线、正切线xyO典型例题例1. 若是第二象限的角

5、，试分别确定2, ,的终边所在位置.解： 是第二象限的角，k·360°+90°k·360°+180°（kZ）.（1）2k·360°+180°22k·360°+360°（kZ），2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.（2）k·180°+45° k·180°+90°（kZ），当k=2n（nZ）时，n·360°+45°n·360°+90°；当k=2

6、n+1（nZ）时，n·360°+225°n·360°+270°.是第一或第三象限的角.（3）k·120°+30°k·120°+60°（kZ），当k=3n（nZ）时，n·360°+30°n·360°+60°；当k=3n+1（nZ）时，n·360°+150°n·360°+180°；当k=3n+2（nZ）时，n·360°+270°n&

7、#183;360°+300°.是第一或第二或第四象限的角.变式训练1：已知是第三象限角，问是哪个象限的角？解： 是第三象限角，180°+k·360°270°+k·360°（kZ），60°+k·120°90°+k·120°.当k=3m(mZ)时，可得60°+m·360°90°+m·360°（mZ）.故的终边在第一象限.当k=3m+1 (mZ)时，可得180°+m·360°

8、;210°+m·360°（mZ).故的终边在第三象限.当k=3m+2 （mZ）时，可得300°+m·360°330°+m·360°（mZ）.故的终边在第四象限.综上可知，是第一、第三或第四象限的角. 例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:(1)sin;(2)cos.解：（1）作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为|2k+2k+，kZ .（2）作直线x=交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与O

9、D围成的区域（图中阴影部分）即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为 .变式训练2：求下列函数的定义域：（1）y=；（2）y=lg(3-4sin2x）.解：（1）2cosx-10，cosx.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).x（kZ）.（2）3-4sin2x0,sin2x,-sinx.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),x（k-,k+）（kZ).例3. 已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.解：角的终边在直线3x+4y=0上，在角的终边上任取一点P(4t,-3t) (t0),则x=4t,y=-3t,r=|t|,当t0时，r=5t

10、,sin=,cos=,tan=; 当t0时，r=-5t,sin=,cos=,tan=. 综上可知，t0时，sin=,cos=,tan=;t0时，sin=,cos=-,tan=. 变式训练3：已知角的终边经过点P，试判断角所在的象限，并求的值解：由题意，得 故角是第二或第三象限角当，点P的坐标为，当，点P的坐标为，例4. 已知一扇形中心角为，所在圆半径为R(1) 若，R2cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；(2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓。 （cm2）扇形周长 当且仅当224，即2时扇形面积最大为变式训练

11、4：扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求中心角的弧度数和弦长AB解：设扇形的半径为r，弧长为l，中心角的弧度数为则有 由|得2 |AB|2·sin 1( cm )小结归纳1本节内容是三角函数的基础内容，也是后续结论的根源所在，要求掌握好：如角度的范围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系2在计算或化简三角函数的关系式时，常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论，因此，在解答这类题时首先要弄清：角的范围是什么？对应的三角函数值是正还是负？与此相关的定义、性质或公式有哪些?第2课时 同角三角函数的基本关系及诱导公式基础过关1同角公式

12、：(1) 平方关系：sin2cos21，1tan2 ，1cot2 (2) 商数关系：tan ，cot (3) 倒数关系：tan 1，sin 1，cot 12诱导公式：22ksincossincos规律：奇变偶不变，符号看象限3同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式4诱导公式的作用：诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°90º角的三角函数值典型例题例1. 已知f()=;（1）化简f();（2）若是第三象限角，且cos，求f()的值.解 ：（1）f（）=-cos. （2）cos=-s

13、in,sin=-,cos=-,f()=.变式训练1：已知A则A构成的集合是 ( )A1, 1, 2, 2 B1, 1C2, 2 D2, 1, 01, 2解：C例2求值：(1) 已知，求的值2) 已知，求下列各式的值；解：（1）；（2）变式训练2：化简： ， 解：原式sin 原式0例3. 已知，sin xcos x（1）求sin xcos x的值（2）求的值解：( 1 ) ，( 2 ) 变式训练3：已知sin +cos=,(0,).求值：（1）tan;（2）sin-cos;（3）sin3+cos3.解 方法一 sin+cos=,(0,),(sin+cos)2=1+2sincos，sincos=-

14、0.由根与系数的关系知，sin,cos是方程x2-x-=0的两根，解方程得x1=,x2=-.sin0,cos0,sin=,cos =-.（1）tan=-.（2）sin-cos=.（3）sin3+cos3=.方法二 （1）同方法一.（2）（sin-cos）2=1-2sin·cos=1-2×=.sin0,cos0,sin-cos0,sin-cos=.（3）sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=×=.例4已知tan=2,求下列各式的值：（1）;（2） ;（3）4sin2-3sincos-5cos2.解：（1）原式=.（2）.（3）s

15、in2+cos2=1,4sin2-3sincos-5cos2=.变式训练4：已知sin(+k)=-2cos(+k) (kZ).求:（1）;（2）sin2+cos2.解：由已知得cos(+k)0,tan(+k)=-2(kZ),即tan=-2.（1）.（2）sin2+cos2=.小结归纳1求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调

16、性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.第3课时 两角和与差的三角函数基础过关1两角和的余弦公式的推导方法： 2基本公式 sin(±)sin cos±cos sincos(±) ;tan(±) .3公式的变式tantantan ()(1tan tan)1tan tan4常见的角的变换：2()()；() ()()()；典型例题例1求2sin50°+sin10°(1+tan10°)·的值.解：原式=变式训练1：(1)已知(,)，sin=,则tan()等

17、于（ ）A. B.7 C. D.7 (2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）A. B. C. D.解：(1)A (2)B 例2. 已知(，)，(0，),()，sin()，求sin()的值解：() (0,)(0,) (,)sin() cos()sin()cos()cos()()变式训练2：设cos（）=，sin（）=，且，0，求cos（+）.解：，0，.故由cos（）=，得sin（）=.由sin（）=，得cos（）=.cos=cos（）（）=cos（+）=2cos21=-1=.例3. 若sinA=,sinB=,且A,B

18、均为钝角,求A+B的值.解 A、B均为钝角且sinA=,sinB=，cosA=-=-=-，cosB=-=-=-， cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=×-×= 又A, B,A+B2 由知，A+B=.变式训练3：在ABC中，角A、B 、C满足4sin2-cos2B=,求角B的度数.解 在ABC中，A+B+C=180°,由4sin2-cos2B=,得4·-2cos2B+1=,所以4cos2B-4cosB+1=0.于是cosB=,B=60°.例4化简sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2.解 方

19、法一 （复角单角，从“角”入手）原式=sin2·sin2+cos2·cos2-·(2cos2-1)·(2cos2-1)=sin2·sin2+cos2·cos2-(4cos2·cos2-2cos2-2cos2+1)=sin2·sin2-cos2·cos2+cos2+cos2-=sin2·sin2+cos2·sin2+cos2-=sin2+cos2-=1-=.方法二 （从“名”入手，异名化同名）原式=sin2·sin2+(1-sin2)·cos2-cos2·c

20、os2=cos2-sin2 (cos2-sin2)-cos2·cos2=cos2-sin2·cos2-cos2·cos2=cos2-cos2·=-cos2·=-cos2=.方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）原式=·+·-cos2·cos2=(1+cos2·cos2-cos2-cos2)+(1+cos2·cos2+cos2+cos2)-·cos2·cos2=.方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）原式=(sin·sin-cos·cos

21、)2+2sin·sin·cos·cos-cos2·cos2=cos2(+)+sin2·sin2-cos2·cos2=cos2(+)-·cos(2+2)=cos2(+)- ·2cos2(+)-1=.变式训练4：化简：（1）sin+cos;(2）.解 （1）原式=2=2=2cos=2cos(x-).（2）原式=1.小结归纳1三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找

22、到解题的突破口。对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如：2=+ ()等2在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验。对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用，如正切的和角公式的变形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外还要能对形如sinx±cosx、sinx±cosx的三角函数式要创造条件使用公式第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切基础过关1基本公式：sin2 ；cos2 ；tan2 .2公式的变用：1cos2 ；1cos2 典型例题例1. 求值：解：原式 变式训练1：(cossin) （ ）A

23、 B C D 解：D例2 已知为锐角，且，求的值. 解：为锐角变式训练2：化简：解：原式1例3已知；(1) 求的值； (2) 设，求sin的值解：（1）（2）16sin224sin110 解得 故变式训练3：已知sin()，求cos()的值解：cos(2)2cos2()12sin2() 1例4已知sin2 22 coscos21，(0，)，求sin、tan的值解：由已知得sin22sin2cos2cos20即(sin22cos) (sin2cos)0cos2(1sin) (2sin1)0(0，) cos0 sin12sin1 sin tan变式训练4：已知、r是公比为2的等比数列，且sin、s

24、in、sinr也成等比数列，求、r的值解：、r成公比为2的等比数列2，r4sin、sin、sinr成等比数列即，解得cos1或当cos1时，sin0与等比数列首项不为零矛盾故cos1舍去当时，20,2 或或小结归纳1二倍角公式是和角公式的特殊情况，在学习时要注意它们之间的联系；2要理解二倍角的相对性，能根据公式的特点进行灵活应用(正用、逆用、变形用)3对三角函数式的变形有以下常用的方法： 降次（常用降次公式） 消元（化同名或同角的三角函数） 消去常数“1”或用“1”替换 角的范围的确定基础过关第5课时 三角函数的化简和求值1三角函数式的化简的一般要求： 函数名称尽可能少； 项数尽可能少； 尽可

25、能不含根式； 次数尽可能低、尽可能求出值2常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次3求值问题的基本类型及方法 “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解 “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同； “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角4反三角函数arcsin、arccos、arctan分别表示、0，、（）的角典型例题例1. （1）化简： （2）化简：解： 原

26、式=变式训练1：已知，若，则 可化简为 解：例2. 已知，求（2）的值解法一：由已知得(3sin2cos) (2sincos)03sin2cos0或2sincos由已知条件可知cos0 即(,)tansin(2)sin2coscos2sinsincos(cos2sin2)解法二：由已知条件可知cos0 则从而条件可化为 6 tan2tan20(,) 解得tan(下同解法一)变式训练2：在ABC中，求A的值和ABC的面积解：sinAcosA 2sinAcosA从而cosA0 A()sinAcosA 据可得 sinA cosAtanA2SABC例3. 已知tan()，-，且、（0，），求2的值.解

27、：由tan (0，)得(, ) 由tantan() (0，)得0 02由tan20 知02 tan(2)1由知 2(，0)2(或利用22()求解)变式训练3：已知为第二象限角，且sin，求的值解：由sin 为第二象限角cos例4已知（1）求tan的值；（2）求的值解：（1）由得 解得tan3或又，所以为所求（2）原式：变式训练4：已知（<<），试用k表示sincos的值解：k2sincos(sincos)21k又() sincos小结归纳1三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式

28、的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在;2要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式： 变换角度 变换函数名 变换解析式结构3求值常用的方法：切割化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等第6课时 三角函数的恒等变形基础过关基础过关一、三角恒等式的证明1三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）2证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一3证明三角恒等式的基本方法有： 化繁为简； 左右归一； 变更问题二、三

29、角条件等式的证明1三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立2三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有： 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之典型例题例1求证：证明：左边右边变式训练1：求证：tan()tan()2tan2证明：()()2tan()()tan2ta

30、n()tan()2tan2例2求证：证明：左边右边4()4·左边右边 即等式成立变式训练2：已知2tanA3tanB，求证：tan(AB)证明：tan(AB)例3如图所示，D是直线三角形ABC斜边上BC上一点，ABAD，记CAD=，ABC=ABDC（1）证明：sincos2=0；（2）若，求的值解：（1）即sincos20（2）在ADC中，由正弦定理得即 由（1）sincos2即解得或因为，所以从而变式训练3.已知且sin·coscos()（1）求证：；（2）用tan表示tan解：（1）（2）例4.在ABC中，若sinA·cos2sinC·cos2sin

31、B，求证：sinAsinC2 sinB证明：sinA·cos2sinC·cos2sinBsinA·sinC·sinBsinAsinCsinA·cosCcos·sinC3sinBsinAsinCsin(AC)3sinBsin(AC)sinB sinAsinC2sinB变式训练4：已知sincos2sin，sin·cossin2，求证：2cos2cos2证明：(sincos)212sin·cos4sin2将sin·cossin2代入得12sin24sin211cos22(1cos2)2cos2cos2小结归纳

32、1证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法使等式两端的“异”化为“同”2条件等式的证明，注意认真观察，发现已知条件和求证等式之间的关系，选择适当的途径运用条件，从已知条件出发，以求证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出求证式3对于高次幂，往往采用三角公式降次，再依求证式的要求论证第7课时 三角函数的图象与性质基础过关1用“五点法”作正弦、余弦函数的图象“五点法”作图实质上是选取函数的一个 ，将其四等分，分别找到图象的 点， 点及“平衡点”由这五个点大致确定函数的位置与形状2ysinx，ycosx，ytanx的图象函数ysinxy

33、cosxytanx图象注： 正弦函数的对称中心为 ，对称轴为 余弦函数的对称中心为 ，对称轴为 正切函数的对称中心为 3“五点法”作yAsin(x)(>0)的图象令x'x转化为ysinx'，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象函数yAsin(x)的图象与函数ysinx的图象关系振幅变换：yAsinx(A>0，A1)的图象，可以看做是ysinx的图象上所有点的纵坐标都 ，(A>1)或 (0<A<1)到原来的 倍（横坐标不变）而得到的周期变换：ysinx(>0，1)的图象，可以看做是把ysinx的图象上各点的横坐标 (>1)或 (0<

34、;<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的由于ysinx周期为2，故ysinx(>0)的周期为 相位变换：ysin(x)(0)的图象，可以看做是把ysinx的图象上各点向 (>0)或向 (<0)平移 个单位而得到的由ysinx的图象得到yAsin(x)的图象主要有下列两种方法：ysinx相位变换周期变换振幅变换ysinx周期变换相位变换振幅变换或说明：前一种方法第一步相位变换是向左(>0)或向右(<0)平移 个单位后一种方法第二步相位变换是向左(>0)或向右(<0)平移 个单位例1.已知函数yAsin(x)(A>0，>0) 若A3，作

35、出函数在一个周期内的简图 若y表示一个振动量，其振动频率是，当x时，相位是，求和321-1-2-3 xy0解：(1) y3sin()列表(略)图象如下：02xy03030 (2)依题意有： 变式训练1：已知函数y=2sin,(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.解 （1）y=2sin的振幅A=2,周期T=，初相=.（2）令X=2x+,则y=2sin=2sinX.列表，并描点画出图象：x-X02y=sinX010-10y=2sin(2x+)020-20（3）方法一 把y=sinx的图象上所

36、有的点向左平移个单位，得到y=sin的图象，再把y=sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin的图象，最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin的图象.方法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象向左平移个单位；得到y=sin2=sin的图象；再将y=sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin的图象.例2已知函数y=3sin（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到

37、的；（3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.解 （1）列表：x023sin030-30描点、连线,如图所示：（2）方法一 “先平移，后伸缩”.先把y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin的图象；再把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的图象.方法二 “先伸缩，后平移”先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sinx的图象；再把y=sinx图象上所有的点向右平移个单位，得

38、到y=sin(x-)=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的图象.（3）周期T=4，振幅A=3，初相是-. (4)令=+k(kZ),得x=2k+(kZ),此为对称轴方程.令x-=k(kZ)得x=+2k(kZ).对称中心为 (kZ).变式训练2：已知函数 的最小正周期为且图象关于对称；(1) 求f(x)的解析式；(2) 若函数y1f(x)的图象与直线ya在上中有一个交点，求实数a的范围解：（1）wR 当w1时， 此时不是它的对称轴w1 （2）0yx如图：直线ya在上与y1f(x)图象只有一个交点 或a1例3如图为y=Asin(x+

39、)的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N为第一个零点，则A=-，T=2=，=2，此时解析式为y=-sin（2x+）.点N，-×2+=0，=，所求解析式为y=-sin. 方法二 由图象知A=，以M为第一个零点，P为第二个零点.列方程组 解之得.所求解析式为y=sin. 变式训练3：函数y=Asin(x+)(0,| ,xR)的部分图象如图，则函数表达式为( )A. y=-4sin B. y=-4sinC. y=4sin D. y=4sin答案 B例4设关于x的方程cos2xsin2xk1在0，内有两不同根，求的值及k的取值范围解：由cos2xsin2xk1得 2sin(2x)k1即

40、sin(2x)设c: ysin(2x)，l: y，在同一坐标系中作出它们的图象(略)由图易知当1时, 即0k1时直线l与曲线c有两个交点，且两交点的横坐标为、，从图象中还可以看出、关于x对称.。故变式训练4.已知函数f (x)sin(x)(>0，0)是R上的偶函数，其图象关于点M(，0)对称，且在区间0，上是单调函数，求和的值解：由f (x)是偶函数，得f(x)f (x)即sin(x)sin(x)cossinxcossinx对任意x都成立，且0， cos0依题意设0 由f(x)的图象关于点M对称，得f(x)f (x)取x0得f （）f （） f ()0f()sin()cos0又0得k(2

41、k1) (k0，1，2)当k0时， f (x)sin()在0，上是减函数；当k1时，2 f (x)sin(2x)在0，上是减函数；当k2时， f (x)sin(x)在0，上不是减函数；或2小结归纳小结归纳1图象变换的两种途径 先相位变换后周期变换ysinx ysin(x) ysin(x) 先周期变换后相位变换ysinx ysinxysin (x)2给出图象求解析式yAsin(x)B的难点在于、的确定，本质为待定系数法，基本方法是： “五点法”运用“五点”中的一点确定 图像变换法，即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由零点或最值点确定T第8课时 三角函数的性质基础过关1三角函数的性

42、质函 数ysinxycosxytanx定义域值 域奇偶性有界性周期性单调性最大(小)值2函数ysinx的对称性与周期性的关系 若相邻两条对称轴为xa和xb，则T 若相邻两对称点(a，0)和(b，0) ，则T 若有一个对称点(a，0)和它相邻的一条对称轴xb，则T 注：该结论可以推广到其它任一函数典型例题例1. 化简f (x)cos()cos()2sin(2x)(xR，kZ)并求f (x)的值域和最小正周期解：(1) f(x) 2sin(ax)(0a1)由于f(x)·g(x)最小正周期相同得 即a2m又f(1)2g(1) 即2sin(a)2tan(m)把a2m代入得sin(2m)tan

43、(m)2sin(m)cos(m)sin(m)0或cos(m)±当sin(m)0时，mk(kz)，这与0m1矛盾当cos(m)±时，mk或mk(kz)，现由0m1时得m故af(x)2sin(x)，g(x)tan(x)(2) 由2kx2k得x12k5，12k1f(x)的单调递增区间为12k5，12k1 (kz)变式训练1：已知函数 ；（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求使函数f(x)取得最大值的x的集合 解：(1)(2)当f(x)取最大值时，sin(2x)1有2x2k 即xk(kz)故所求x的集合为例2已知函数f (x) 求f (x)的定义域 用定义判断f (x)的奇偶性

44、 在，上作出函数f (x)的图象 指出f (x)的最小正周期及单调递增区间解：(1) 由1cos2x0得2cos2x0cosx0即xk，(kz)函数f (x)的定义域为xxk，kz(2)定义域关于原点对称，且对任意的定义域中x，f (x)f (x)为奇函数.xy0-(3) f (x)又x，且xf(x)f (x)的图象如右：(4) 由图知，f(x)的最小正周期为2f (x)的单调递增区间是()(kz)变式训练2：求下列函数的定义域：（1）y=lgsin(cosx);（2）y=.解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)0.-1cosx1,0cosx1.方法一 利用余弦函数的简图得知定义域

45、为x|-+2kx+2k,kZ.方法二 利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0OM1,OM只能在x轴的正半轴上，其定义域为.（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx0.方法一 利用图象.在同一坐标系中画出0,2上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示.在0，2内，满足sinx=cosx的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2,所以定义域为.方法二 利用三角函数线，如图MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinxcosx,即MNOM，则x（在0，2内）.定义域为.方法三 sinx-cosx=sin0，将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2kx-+2k,解得2k+x+2k,k

46、Z.所以定义域为.例3设函数，已知f(x)、g(x)的最小正周期相同，且2(g)f(1)；（1）试确定f(x)、g(x)的解的式；（2）求函数f(x)的单调递增区间解：(1)当a1时，f(x)2cos2sinxb 递增区间为2k(kz)(2)f (x)a(sinxcosx)ab而x0，xsin(x) 变式训练3：已知函数f (x)(sinxcosx) 求它的定义域和值域； 求它的单调区间； 判断它的奇偶性； 判定它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期解：(1) 由题意得：sinxcosx0即sin(x)从而得2kx2k函数的定义域为()(kz)0sin(x)1 0sinxcosx即(s

47、inxcosx)故函数f (x)的值域为，(2) sinxcosxsin(x)在f(x)的定义域上的单调递增区间为()(kz)，单调递减区间为(kz)(3) f(x)的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称f(x)是非奇非偶函数(4) f(x2)sin(x2)cos(x2) (sinxcosx)f(x)f (x)函数的最小正周期T2例4.已知函数yacosxb的最大值为1，最小值是3，试确定b sin(ax)的单调区间解：(1)若a0，则ab1，ab3， a2，b1，此时，sin(2x)单调增区间为k，k (kz)单调减区间为k，k (kz)(2) 若a0，则ab1，ab3， a2，b1，单调增区间为k，k (kz)单调减区间为k，k (kz)变式训练4：某港口水的深度y（米）是时间t(0t<24，单位：时)的函数，记作yf(t)，下面是某日水深的数据：t（时）036912y（米）10139.9710t（时）15182124y（米）1310.1710经过长期观察，yf(t