六届团支书联席会复习宝典级线代课件佚名

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一、正交变换法

§6.4实二次型的正惯性指数二、拉格朗日配方法三、初等变换法问题的产生：1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化线性替换有关.如：二次型作非退化线性替换得标准形得标准形

2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关.而秩(D)等于D的主对角线上不为零的元素的个数.∵若作非退化线性替换化为标准形

，则有3.

问题：如何在一般数域P上，进一步“规范”平方项非零系数的形式？（这样产生了唯一性的问题）一、实二次型的规范标准形再作非退化线性替换

实二次型的规范标准形的定义设实二次型经过可逆，得标准形

非退化线性替换其中，r=秩f

则称之为实二次型的规范标准形.①实二次型的规范形中平方项的系数只有1，－1，0.②实二次型的规范形中平方项的系数中1的个数与－1的个数之和=秩=秩(A)是唯一确定的.③规范形是唯一的.注意

定理1

任一实二次型可经过适当的非退化线性替换化成规范形，且规范形是唯一.证明：只证唯一性.2、惯性定理设实二次型

经过非退化线性替换

化成规范形

（1）

只需证（2）用反证法，设由(1)、(2)，有经过非退化线性替换化成规范形（3）（4）则G可逆，且有考虑齐次线性方程组（5）方程组（5）中未知量的个数为n，方程的个数为所以（5）有非零解.令为（5）的非零解，

则有而不全为0.

将代入（3）的左端，得其值为同理可证，故.

矛盾.所以，得将其代入（3）的右端，得其值为由及定义实二次型的规范形中正平方项的个数p称为的正惯性指数；称为的负惯性指数；负平方项的个数称为的符号差.它们的差推论1、任一实对称矩阵A合同于一个形式为其中的个数，+1的个数的正惯性指数；－1的个数的负惯性指数.的对角矩阵

.推论2、实二次型具有相同的规范形，且的正惯性指数=的正惯性指数.推论3、如果f和g都是n个变量的实二次型，它们有相同的秩和正惯性指数，

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