基本初等函数与应用讲义-高考数学一轮复习

知识点一基本初等函数：指数函数

【基础指数框架】

1.指数函数的概念

一般地，函数叫做指数函数，其中X是自变量，函数的定义域是R.

2.指数函数丁=优(。〉0,且awl)的结构特征

(1)底数：大于零且不等于1的常数；

(2)指数：仅有自变量x；

(3)系数：/的系数是.

3.指数函数的定义域

(1)对于y=〃⑺这类函数:定义域是指使/(%)有意义的x的取值范围.

(2)对于y=(a")+从优+c这类函数:定义域是R.

4.指数函数的单调性

(1)函数的单调性的应用：

①比较大小：对指数式比较大小时，要看底数与指数是否相同。

若底数相同、指数不同，可直接利用性比较；

若底数不同、指数相同，可利用指数函数的解决；

若底数不同、指数也不同，可以采用法，中间量常取1.

②解含指数式的不等式：先将不等式的两边化成同底的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟

悉的不等式求解.

(2)复合函数的单调性：o

5.指数函数的值域

(1)对于值域问题，一方面要考虑函数的和性，另一方面还必须兼顾指数函数的值域是.

(2)对于＞=这类函数，值域问题，应分以下两步求解：

①由定义域求出_________________的值域；

②利用指数函数的单调性或利用图象求得此函数的值域.

(3)对于丁=(/)2+4"+。这类函数，值域可以分以下两步求解：

①设,求出____________的范围；

②利用二次函数y=d+61+。的配方法求函数的值域.

6.指数函数的定点问题

定点问题处理思路：令变量整体为0,得。°=1.

【例题分析】

例1.函数y=(2]—3a+2)优是指数函数，则。的取值范围是

例3.若函数/(x)=小2,+2”—1的定义域为R,则a的取值范围是

例4.函数/(%)=当'3+5的单调递减区间为

([、-3%+2

例5.函数y的单调增区间是一

例6.设a=0.6°6,b=0.6",c=1.5°6,则a,b,c的大小关系是

例7.设a=(2",b=(3",c=(3",则a,4c的大小关系为一

例8.函数y=的值域是

1-2r

例9.函数y=的值域为

-1+2、

例10.若函数y=/2+3则该函数过的定点为.

【变式训练】

,1

1.若函数/（x）=（/—34+3）（1厂+。—2是指数函数，则实数。的值为.

2.函数〃尤）="#-%,*--T的定义域为

42、

3.已知〃=36^b=yc=9^则〃，b,c的大小关系

33

4.已知〃=1.4一］，b=\,7?°=1・7-2,则。，b,c的大小关系

5.函数y=—2一一一2%+1的单调递增区间为

6.函数丁=（；）一/+2、的值域是

7.已知函数/（%）=。21+“（a〉0且awl）的图象恒过定点p（m,2）,则7篦+〃

知识点二基本初等函数：对数函数

【基础指数框架】

1.对数函数的概念

一般地，我们把函数叫做对数函数，其中X是自变量，函数的定义域是.

2.对数函数的结构特征

(1)对数符号前面的系数是；

(2)对数的底数是的正实数(常数)；

(3)对数的真数仅有.

3.对数函数的定义域

(1)分式中分母;

(2)偶次根式中被开方数；

(3)对数中真数大于,底数大于______且不为；

冗

(4)正切函数y=tan尤中，］彳»+左乃(左eZ)；

(5)求定义域只能在原函数解析式中求，不能对解析式变形.

4.对数函数的单调性及其应用

(1)比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性.

①若底数为同一常数，则可由对数函数的______________直接进行比较.

②若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.

③若底数不同，真数相同，则可以先用化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增

大的规律画出函数的图象，再进行比较.

④若底数与真数都不同，则常借助等中间量进行比较

(2)复合函数的单调性：同增异减.(注意讨论定义域)

5.对数函数的值域

求值域时，一方面要抓住对数函数的定义域和单调性，另一方面，若是复合函数，则要抓住中间变量的取值范围.

求值域的一般方法

6.对数函数定点问题

对数函数定点问题的处理思路：令真数为0,得log"=0.

【例题分析】

例1.若函数/（x）=logaX+（a2-4”5）是对数函数，a=.

例2.函数丁=/logj3x-2）的定义域是.

例3.函数〃x）=log2F+J（；[T的定义域是.

例4.函数/（尤）=坨（九2—1）的单调递减区间为.

/、flogx-3a,x>l

例5.已知函数=|"ZI在R上单调，则。的取值范围为.

例6.设a=log412,6=log515,c=k>g618,则b、c的大小关系

03

例6.a=log30.3,b=log030.2,c=o.2->则a、b、c的大小关系

例7.已知函数知（无）=4一腕2一,xe[2,8],则/（x）的值域是一

例8.函数_y=log2,一6x+17）的值域是.

例9.函数丁=3+108“（3%-2）（。>0,。/1）的图象过定点

【变式训练】

1-若函数y=(a2_3a+3)logaX是对数函数，则a的值为.

2.函数〃x)=)5-x+lg(x+2)的定义域是.

3.函数/(©=log/〉一4)的单调递增区间为.

4.函数/(x)=log(),6(x2+6x-7)的单调递减区间是.

5.已知a=log?e,Z?=ln2,c=log)则久氏c的大小关系为

?3

sin

6.若a=205，6=log,3,c=log2->则a、b、c的大小关系为

7.函数〃尤)=1°81(尤2+2%+3)的值域是

logJX,X>1

8.函数/(幻={2的值域为.

2X,x<l

9.函数/(x)=loga(2x—3)-4(a>o且awl)的图象恒过定点

知识点三基本初等函数：塞函数

【基础指数框架】

1.幕函数的概念

一般地，函数叫做事函数，其中X是,a是—

2.塞函数的结构特征幕函数的解析式是一个幕的形式，且需满足：

(1)指数为常数；

(2)底数为自变量；

(3)系数为1.

3.几个常见塞函数的图象与性质

-i

幕函数y=xy=x2y=x3y二?y=x

图像

定义域

值域

奇偶性

单调性

定点

4.塞函数y=x°(。是常数)的指数对图象的影响

(1)当_______时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于丁=犷|的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在

增大；

(2)当_______时，函数图象向x轴弯曲，类似于＞=«的图象；

(3)当_______时，函数图象向y轴弯曲，类似于丁=必的图象，而且逆时针方向指数在增大.

5.利用事函数的性质解不等式

利用募函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或塞指数的大小，常与塞函数的单调性、

奇偶性等综合命题.求解步骤如下：

（1）确定可以利用的基函数；

（2）借助相应的幕函数的单调性、奇偶性，将不等式的大小关系转化为自变量或幕指数的大小关系；

（3）解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用.

6.定点问题

（1）常见的两个定值：（1）“°=（awO）;（2）1“=.

（2）处理定值问题的两个常见思路：

①若底数不变，令指数为;

②若指数不变，令底数为.

【例题分析】

例1.（2022•浙江•余姚市实验高中高一开学考试）已知塞函数y=/（x）的图象经过点（4,2）,那么这个塞函

数的解析式为.

3

例2.（2020•上海市徐汇中学高一期中）募函数）=/的定义域的区间表示为.

1

例3.（2023•全国•高三专题练习）函数=的定义域为.

例5.（2022•全国•高一单元测试）函数）=/的图像可能是（）

例6.（2020秋•金明区校级期中）已知幕函数y=/（x）的图象过点（2,；］,则/（—1.1）与/（2.2）的大小关系

是.

例7.（2022•全国•高一专题练习）函数y=+3》的单调递减区间为

例8.（2021•浙江•塘栖中学高一期中）函数〃x）=J-d-2x+3的单调增区间是.

例9.（2021春•渭滨区期末）已知事函数“X）过定点（2,8）,且满足/（/+1）+〃一2）＞0,则a的范围

为.

例10.（2023•全国•高三专题练习）函数＞y=«和＞=」的图像都通过同一个点，则该点坐标为

（）

A.（1,-1）B.（1,0）C.（1,1）D.（1,2）

例U.（2023•全国•高一专题练习）已知/（x）=（2x-l）”+l,则函数丁=/（尤）的图象恒过的定点尸的坐标为

【变式训练】

1.（2022•全国•高一专题练习）已知幕函数/（x）的图象过点则此函数的解析式为.

2.（2022•江苏•扬州中学高二开学考试）己知事函数/（x）的图象过点12,1J,则近）=.

_、4

3.（2022•全国•高一课时练习）（1）函数）=必的定义域是，值域是；

2

（2）函数丫_/二的定义域是，值域是；

y—A----------------------------

3

（3）函数y=#的定义域是，值域是；

3

（4）函数了=天吗的定义域是，值域是.

2

4.（2022•浙江•杭州市余杭高级中学高二学业考试）函数＞=#的大致图象是（）

5.（2022•全国•高一课时练习）已知〃=[1）,6=]£|3"=1^）,则0,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

3

6.（2022•全国•高一课时练习）已知函数了（》）=（尤2_2X.3）5,则其单调增区间为.

7.（2023•全国•高三专题练习）函数〃力=也量一5尤+2的单调减区间为—

8.（2021秋•庐江县期末）已知幕函数若+—2a）,则a的取值范围是

9.（2023•全国•高一专题练习）当aeR时，函数y=-2的图象恒过定点4则点/的坐标为

10.（2023•全国•高一专题练习）函数＞=（%-1）"+1（々＜0）恒过定点

知识点四抽象函数的概念与性质

【基础指数框架】

1.已知了(尤)的定义域，求/[g(x)]的定义域，其实质是由g(x)的取值范围，求出X的取值范围；

2.已知/[g(x)]的定义域，求了(%)的定义域，其实质是由尤的取值范围，求g(x)的取值范围；

3.单调性的定义：增(减)函数：

一般地，设函数y=/(x)的定义域为A,区间/7A.如果对于区间/内的任意两个值X],%，当王＜工2时，都

有，那么就说y=/(x)在区间/上是单调增函数，/称为y=/(x)的单调增区间。

4.函数的奇偶性

一般地，如果对于函数了(无)的定义域内任意一个X,都有,那么函数/(无)就叫做偶函数.

一般地，如果对于函数了(尤)的定义域内任意一个X,都有，那么函数/(X)就叫做奇函数.

5.赋值法

【例题分析】

考向一抽象函数的定义域

例1.(2022秋•江西赣州•高一统考期中)若函数y=/(x)的定义域为[-M],则y=)(*+l)的定义域为

X+1

()

A.[0,2]B.[-2,0]

C.[—2,—l)u(—1,2]D.[―2,—l)u(—1,0]

~13

例2.(2022秋•高一单元测试)若函数y=/(2x-1)的定义域为,则函数y=/(x)的定义域为

()

A.[-1,1]B.[-1,2]C.[0,1]D.[0,2]

/(x)

例3.(2022秋•高一课时练习)已知函数y=/(2x-l)的定义域为(-1,2),求函数g(x)=的定义域.

Jx〜-3x+2

考向二抽象函数的值域

例4.(2023春•浙江•高二统考学业考试)已知函数y=/(元)的定义域是R,值域为［-2,8］,则下列函数中值域

也为［-2,8］的是()

A.y=3/(x)+lB.y=/(3%+l)C.y=D.y="(2x)|

例5.(2023•高一课时练习)若的值域为［括,+oo),则g(x)=2/(x)+l的值域为.

考向三抽象函数的性质

例6.(2023•全国•高三专题练习)设函数的定义域为R,对任意x,yeR,恒有

/(x+y)+/(x—y)=2/(x)/(y)成立，且/(0)w0,贝i］/(x)是(填“奇”或“偶”)函数.

例8.(2023•湖南长沙•雅礼中学校考一模•多选)已知不恒为0的函数f(x),满足Vx,yeR都有

小)+/3=2/1昼可牙)贝u(3

A.f(0)=0B./(0)=1C./(x)为奇函数D.7(x)为偶函数

例9.(2023•全国•统考高考真题•多选)已知函数〃x)的定义域为R,〃孙)=y2/(x)+x2〃y),则

A.f(0)=0B."1)=0C./(x)是偶函数D.x=0为/(%)的极小值点

【变式训练】

考向一抽象函数的定义域

1.(2023•全国•高一专题练习)己知函数y=/(x+l)的定义域为［L2］,则函数y=/(2x-1)的定义域为

)

13

A.-4B.—,2C.[—1,1]D.[3,5]

2.(2022秋•福建福州•期中)已知函数的定义域为［-M］则丫=的定义域为

3.(2022秋•高一课时练习)已知/(x-l)的定义域为［2,3］,求/(3x+2)的定义域.

考向二抽象函数的值域

4.(2022秋•浙江杭州•高一杭州四中校考期中)已知函数y=f(x)的定义域是R,值域为［-1,2］,则值域也为

[-1,2]的函数是()

A.y=2/(x)+lB.y=\f(2x+l)\C.y=-f(x)+lD.y=1/(x)I

考向三抽象函数的性质

5.(2023•全国•高三专题练习)设函数的定义域为R,对任意x,"R,恒有/(x+y)=〃x)+〃y)成

立，则是(填“奇”或“偶”)函数.

6.(2023•云南昆明•昆明市第三中学校考模拟预测•多选)已知函数y=/(x)的定义域为R,且对任意

a,beR,都有4a+b)=〃a)+〃b),且当尤＞0时，/(“＜0恒成立，则()

A.函数f(x)是R上的减函数B.函数“X)是奇函数

C.若八-2)=2,则1/(切＜1的解集为D.函数/(x)+V为偶函数

7.(2023•山西太原•太原五中校考一模•多选)已知定义域为R的函数f(x)对任意实数X，〉都有

f[x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且]£|=0,则以下结论一定正确的有()

A.”。)=-1B.〃x)是偶函数

C.“X)关于中心对称D./(1)+/(2)++/(2023)=0

知识点四函数与导数：图像问题

【基础指数框架】

1.图像问题

(1)导数的图像与函数图像的关系：

已知函数/(%)的导数是/"(x),若((%)＞0,则函数/(%)的图像单调,若/'(力＜0,则函数

/("的图像单调,所以/"(X)的图像只看，/(%)的图像只看.

(2)由解析式求函数图像：

①看函数奇偶性；

偶函数：，奇函数：.

②看函数特殊值.

【例题分析】

考点一导函数与原函数的图像问题

例1.(2324高二下•重庆•阶段练习)设函数/(尤)在R上可导，其导函数7'(无)的图像如图所示，则()

A.函数有极大值”1)B.函数有极大值“2)

C.函数的单调递增区间为［0』D.函数/⑺的单调递增区间为［0,2］

例2.(2324高二下•湖南益阳•阶段练习)已知函数的导函数/'(x)的图像如图所示，则下列说法正确的是

A./(x)有4个极值点，其中有2个极大值点B./(x)有4个极值点，其中有2个极小值点

C.“X)有3个极值点，其中有2个极大值点D./⑴有3个极值点，其中有2个极小值点

例3.(2223高二上•江苏镇江•阶段练习)函数y=f(x)的导函数＞=/'(》)的图像如图所示，以下命题错误的是

A./(-l)是函数的最小值

B./(-3)是函数的极值

C.y=/(x)在区间(-3,1)上单调递增

D.y=/(x)在x=0处的切线的斜率大于0

考点二函数图像问题

例4.(2324高一上•湖北武汉•期末)函数〃尤)=《鼻的图像大致为()

2—2

例5.(2324高二下•上海•阶段练习)下列图像中，不可能成为函数/(x)=V-'的图像的是(

X

例6.(2324高三下•四川巴中•阶段练习)以下最符合函数的图像的是()

2—2

【变式训练】

考点一导函数与原函数的图像问题

1.(2324高二上•安徽•期末)已知函数y=/(x)为连续可导函数，y=g+4x+3)尸⑺的图像如图所示，以下命

题正确的是()

加

/-3~2-101x

A./(-3)是函数的极大值B./(-1)是函数的极小值

C.“X)在区间(-3,1)上单调递增D.的零点是-3和-1

2.(2324高二上•江苏南京•期末)函数的导函数(⑴在(a,6)内的图像如图所示，则函数/(%)在(。，6)内

极大值点的个数是()

aoVx

A.1个B.2个C,3个D.4个

考点二函数图像问题

2

3.(2324高三上•天津南开•阶段练习)函数〃x)=c°sx+”的大致图像为()

e1-e-x

知识点五函数与导数：应用问题

【基础指数框架】

1.对于指数方程=M（M>0）,可两边同时取e的,转化为一次方程；

2.对于对数方程ln（ax+b）=M,可两边同时取e的,转化为一次方程；

3.解应用题的一般步骤：

（1）认真审题，分清条件和问题，理清数量关系，选择函数模型；

（2）建立模型，把文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立数学模型；

（3）求解模型.

【例题分析】

例1.（2023•云南红河•统考一模）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮

茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征.其中沏茶、饮茶对

水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是4C,空气的温度是qC,经过力分钟后

物体的温度为"满足公式。=4+（4-4）屋2叱现有一壶水温为92℃的热水用来沏茶，由经验可知茶温为

52℃时口感最佳，若空气的温度为12℃,那从沏茶开始，大约需要（）分钟饮用口感最佳.（参考数据；

ln3~1.099,In2®0.693）

A.2.57B.2.77C.2.89D.3.26

例2.（2023•四川南充•校考模拟预测）车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的

喜爱•根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为6个等级，其等级尤（x=l,2,3,4,5,6）与其对应等级的市

场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式y=•若花同样的钱买到的1级果比5级果多3倍，且3级果

的市场销售单价为60元/千克，贝16级果的市场销售单价最接近（）（参考数据：0名1.41，小1.73,

蚯、1.26,物六L44）

A.130元/千克B.160元/千克

C.170元/千克D.180元/千克

例3.（2023•陕西渭南•统考一模）2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F

运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载

人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d（x）（单位：dB）与声强x（单位：

W/m2）满足亚龙）=101g/.若人交谈时的声强级约为50dB,且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约

为103则火箭发射时的声强级约为（）

A.130dBB.140dBC.150dBD.160dB

例4.（2023•四川成都•统考一模）日光射入海水后，一部分被海水吸收（变为热能），同时，另一部分被海水中

的有机物和无机物有选择性地吸收与散射.因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用/°=/2出"表示其总

衰减规律，其中K是平均消光系数（也称衰减系数），D（单位：米）是海水深度，ID（单位：坎德拉）和（单

位：坎德拉）分别表示在深度。处和海面的光强.已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%,则该海区消光

系数K的值约为（）（参考数据：ln2a0.7,In3«l.l,ln5«1.6）

A.0.12B.0.11C.0.07D.0.01

例5.（2023•陕西•西安市西光中学校联考一模）我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据

了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式"=”计算火箭的最大速度v（m/s）,其中

m

%（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，丝称为

m

“总质比”.已知甲型火箭的总质比为400,经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的总质比变为原来的!，喷流

O

相对速度提高了;最大速度增加了900（m/s）,则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为

（）（参考数据：In2ao.7,ln5»1.6）

A.1200nVsB.1500m/sC.1800m/sD.2100m/s

例6.（2023•山西•统考一模）在天文学中，常用星等机，光照度E等来描述天体的明暗程度.两颗星的星等与

E

光照度满足星普森公式㈣-叫=-2.53看.已知大犬座天狼星的星等为T.45,天狼星的光照度是织女星光照度的

Ei

4倍，据此估计织女星的星等为（参考数据近2°0.3）（）

A.2B.1.05C.0.05D.-1.05

例7.（2022•北京•统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直

冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与7和1g尸的关系，其中7

表示温度，单位是木尸表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是（）

A.当7=220,尸=1026时，二氧化碳处于液态

B.当7=270,尸=128时，二氧化碳处于气态

C.当7=300,P=9987时，二氧化碳处于超临界状态

D.当7=360,尸=729时，二氧化碳处于超临界状态

例8.（2021•全国•高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记

录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据上和小数记录表的数据，的满足L=5+lgV.已知某同学视

力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（啊々1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【变式训练】

1.（2022•吉林•东北师大附中校考模拟预测）一种药在病人血液中的量不低于1800mg时才有疗效，如果用药

前，病人血液中该药的量为Omg,用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减.现给某病人静脉注射了3600mg

的此药，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药（坨2。0.