2024年高考数学复习：解三角形中的结构不良问题（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展18解三角形中的结构不良问题(精讲+精练)

/,

一、知识点梳理

一、“结构不良问题”的解题策略

(1)题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；

(2)在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分，

但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分.

二'“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略

在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某

个定理的信息.

(1)如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；

(2)如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；

(3)以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

三'“边化角”或“角化边”的变换策略

(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

(2)若式子中含有。、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；

(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理.

✓------------------------------------------------------------------------------------------------------------

二、题型精讲精练

I-

【典例1】在中，角，，B,C所对的边分别为a,b,C,且满足2bcosC=2a-c

⑴求角2;

(2)在①“8C的外接圆的面积为一，②“3C的周长为⑵③6=4,这三个条件中任选一个，求“8C的

面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【分析】(1)由已知，根据给的26cosc=2a-c,先使用正弦定理进行边角转化全部转化成角的关系，然

后再利用sin/=sin(3+C),把sin/换掉，展开和差公式合并同类项，然后根据角3的取值范围，即可完成

求解；

(2)由已知，根据第(1)问计算出的角3,若选①，现根据给的外接圆的面积计算出外接圆半径R,然

后根据角5利用正弦定理计算出边长6,然后使用余弦定理结合基本不等式求解妆的最值，即可完成面积

最值得求解；若选②，利用a+6+c=12,表示出三边关系，利用余弦定理借助基本不等式求解出a+c的最

值，然后再利用基本不等式找到“c与a+c的关系，从而求解出面积的最值；若选③，可根据边长方、角5

借助余弦定理使用基本不等式直接求解出ac的最值，即可完成面积最值得求解.

【详解】(1)V2Z)cosC=2a-c

2sinBcosC=2sin4-sinC

:.2sinBcosC=2sin(5+C)—sinC

2sin5cosC=2sin5cosC+2cossinC-sinC,：•2cos5sinC=sinC

,:CG(0,%)sin。w0/.cos5=；

■::.B=}

(2)若选①，设△/BC的外接圆半径为七

164

贝!兀=兀,7?2,，氏=耳

4G

Jb=2EsinB=2x-=x—=4

V32

由余弦定理，得：b2^a2+c2-2accosB

即16=/+c2-ac>lac-ac=acf当且仅当。=C时，等号成立.即的面积的最大值为4g

若选②丁6=12,工6=12-(。+。)

由余弦定理〃=a+c2-2accosB,=a2+c2-ac

ac=8(a+c)—48,又(专］Zac

-8(a+c)+48>0

：.a+c>24(舍)或a+c48,当且仅当时等号成立

：.S=-acsmB^—ac<--（^]=46，当且仅当。=。时等号成立

24412J

若选③，由余弦定理，得：b2=a2+c2-2accosB

即16=/+°2_QC22qc-qc=QC,当且仅当。二。时，等号成立.

***S&ABC=sin5<；x16x~~=4占即a/BC的面积的最大值为4石

【题型训练1-刷真题】

一、解答题

1.（2023•北京・统考高考真题）设函数/0）=5m53°+0）535由91〉0,|9|<|^.

（1）若/（0）=一3，求。的值.

（2）已知/（X）在区间-会午上单调递增，=再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一

个作为已知，使函数/（刈存在，求包。的值.

条件①：/13=后；

条件②:=-1;

7T7T

条件③：/a）在区间-5，-、上单调递减.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

【答案】（i）°=q.

7T

（2）条件①不能使函数/*）存在；条件②或条件③可解得。=1,（P=~~.

0

【分析】（D把x=0代入/（幻的解析式求出sin。，再由|归<5即可求出。的值；

jr27r

（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把"X）的解析式化简，根据“X）在上的单调性及函

数的最值可求出T,从而求出。的值；把。的值代入/（x）的解析式，由/卜2]=-1和1夕|<。即可求出。的

值；若选条件③：由/（x）的单调性可知在》=-三处取得最小值-1,则与条件②所给的条件一样，解

法与条件②相同.

兀

【详解】(1)因为f(x)=sina)xcoscp+cosa)xsin(p.a)>Q,\(p\<—

、G

所以f(0)=sin(6y•0)coscp+cos(•0)sin=sin^?=--—,

因为⑷苦,所以夕=q.

JI

(2)因为f(x)=sincoxcoscp+coscoxsin(p,co>Q,\(p\<—,

JT

所以/(x)=sin(0x+e),0>O,|0|<5，所以/(X)的最大值为1,最小值为-1.

若选条件①：因为/(2皿5+初的最大值为1,最小值为一1,所以小，近无解，故条件①不能使

函数/(X)存在；

若选条件②：因为“X)在-全事上单调递增，且/《J=l,/1TN-1

所以：=与_(—1]=兀，所以7=2兀M=m=l，

所以/(x)=sin(x+e),

又因为/卜升T,所以sin[尹“=-1,

TTTT

所以——+0=---+2E,左£Z,

32

所以e=-=+2版，左eZ,因为S|<g,所以夕=一；.

626

JT

所以。=1,3=；

O

若选条件③：因为/(尤)在-手与上单调递增，在-会-5上单调递减，

所以〃无)在X=J处取得最小值-1,即/'Cl.

以下与条件②相同.

24

2.(2021•北京・统考高考真题)在“8C中，c=2bcosB,C=—.

(1)求N8；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边

上中线的长.

条件①：c=J%;

条件②：“3C的周长为4+26；

条件③：“3C的面积为±8；

4

【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析.

0

【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；

（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；

若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求;

若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.

【详解】（1）Vc-2bcosB,则由正弦定理可得sinC=2sin8cos8,

Sm2B=sm^-=^-,vC=y,

：.2B=j解得B=?；

36

V3

（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得;=m£=--=G,

bsin5,

2

与c=y/2b矛盾，故这样的^ABC不存在；

若选择②：由（1）可得N=

设。的外接圆半径为R,

TT

则由正弦定理可得。=b=2Rsin—=尺，

6

c=2Rsin=栏R,

3

贝!1周长。+»=2及+麻=4+26，

解得R=2,则4=2,C=26',

由余弦定理可得3C边上的中线的长度为：

“2可+12-2X2V3X1XCOS^=^7；

若选择③：由（1）可得/=£,即。=八则s=_U6sinC=La2xe=±①,解得a=g,

6/Be2224

则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：

【题型训练2-刷模拟】

一、解答题

1.(2023•四川•校联考模拟预测)已知锐角”3C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c.在下列三个条件

一'_U工

①加=sin/,---j,〃=(2cos242cosZ),且加//〃；②asinB=WbcosA;

③cos?B+cos2C=cos2/+l-sin_8sinC中任选一个，回答下列问题.

⑴求/;

(2)若。=2,求AASC面积的最大值.

【答案】⑴4兰

(2)73

【分析】(1)条件①：根据向量平行的坐标表示转化sin2/=-6cos2/,求得A；条件②：根据正弦定理

转化为sin"=Geos/,求得A；条件③：将条件中的余弦转化为正弦，再用正弦定理与余弦定理求得A.

(2)根据余弦定理及基本不等式求得。面积的最大值.

【详解】(1)选择条件①，因为加=「由4-3>〃=(2cos242cosZ),且前〃K

/§■

所以sin/-2cos/H-----x2cos24=0，

2

BPsin2A=-V3cos2A>所以tan2/=-6，

由AASC为锐角三角形可知则0<24<兀，

故2/=年，-4=1,

选择条件②，因为asinS=®>cos/,由正弦定理可得5亩/$1118=6$11180)$4,

IT

由小为锐角三角形可知0<5<,，所以sinBwO,

则sin/=GcosAf即tan4=若，

由。为锐角三角形可知故4=方.

选择条件③，因为cos?B+cos2C=cos2Z+1-sinBsinC,

所以1-sin?5+1-sin2C=1-sin24+1-sin8sinC，

即sin2B+sin2C-sin2Z=sinBsinC，

由正弦定理可得b2+c2-a2=bc,

根据余弦定理可得cosA=〃++/=4,

2bc2

由春为锐角三角形可知故4=]，

(2)因为"2,由⑴可得4

所以根据余弦定理可得4=/+C2-26CCOS；=62+C2-6CN26C-6C=6C,当且仅当6=c=2时，等号成立，

满足条件.

11M

贝(ISAABC=—besinA＜—x4x=百，

故面积的最大值为百.

2.(2023•北京东城•统考模拟预测)已知函数f(%)=2^/3sinscoss-2sin2ox+1(0＜。＜2).在下面两个条

件中选择其中一个，完成下面两个问题：

条件①：在/(X)图象上相邻的两个对称中心的距离为

条件②：“X)的一条对称轴为X=g

0

(1)求①；

⑵将“X)的图象向右平移;个单位(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在一方微上的值

域.

【答案】(1)啰=1

(2)[-2,1]

【分析】(D由三角函数的恒等变换对/⑴进行化简，再分别由条件①②求。的值.

(2)由三角函数的平移变换得g(x)的解析式，再由函数的定义域求值域即可.

【详解】(1)f(x)=2V3sin6yxcos6yx-2sin269X+1

=Gsin2ox+cos2ox

=2sin(2ox+.

TT

选①：f(x)图象上相邻两个对称中心的距离为q,

2兀

贝!|T=兀=—,则g=1,

2G

选②：/（X）的一条对称轴为X=£TT,

6

fl-兀兀T兀1r

贝26y♦—l——kuH—,keZ,

662

co=3k+\,又0<G<2,贝！|Q=1,

于是/(x)=2sin[2x+^

（2）将/（x）=2sin（2x+B）的图象向右移g个单位长度（纵坐标不变）,

63

得到函数g(x)=2sin[2(x-乌)+巴]=2sin(2x-4)=-2cos2x的图象

362

71兀]

XGr[---,一]

33

,「2兀2兀I

/.2xG[----,—1

33

/•COS2,XG[—-,1]f

g（x）的值域为[-25.

3.（2023・全国•模拟预测）在①bsinC+Gccos8=6a，②sin（8+[j=,③asin[c+曰=csin/这

三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.

在“BC中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且

⑴求角C;

⑵若外接圆的面积为4兀，求面积的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】⑴C=g

(2)3/

【分析】（D根据正弦定理、两角和的正弦公式和辅助角公式化简计算，即可求出C；

（2）根据正弦定理可得c=2百，利用余弦定理和基本不等式计算可得而412,结合三角形的面积公式计

算即可求解.

【详解】（D选条件①.

bsinC=43a-y/3ccosB,

由正弦定理得sinBsinC=6sin4-^AsinCcosB.

因为4=兀—(5+C),所以sinZ=sin(3+C),

故sin5sinC=V3sin(B+C)一CsinCcosB=『3sinBcosC,

因为sinBwO,所以sinC=ecosC,得tanC=VJ,

jr

又0<C<7l,所以。=1・

选条件②.

由sin.+e)=得4+b=2csin]B+今j=V5csin5+ccosB.

由正弦定理得sin/+sin3=J5sinBsinC+sinCcosB,

得sin(5+C)+sin5=v3sin5sinC+sinCcosB,

得cosCsin5+sinB=GsinCsinB・

而sinBwO,所以VJsinC-cosC=1,BPsin^C-^=^-

7T

而0<。<兀，所以。=1.

选条件③.

由Qsin1C+：=csinA及正弦定理得sin/sinIC+g)=sinCsinZ

因为sin/wO,所以sin(c+g卜sin。,

兀兀A/31

即sinCcos—+cosCsin—=sinC,即Y^cosC=」sinC,

3322

所以tanC=,而0<C<兀，所以。=§.

(2)设力BC外接圆的半径为R,贝！|兀斤=4兀，故&=2.

由正弦定理可得c=2AsinC=4sin；=2Vi.

所以(26)=a2+b2-2abcosy=〃+^2~ab>2ab-ab=al,

即MV12,当且仅当。=b时等号成立，

所以S/Bc=；附sinCW；xl2sin：=36,

故“BC面积的最大值为3』.

4.(2023・宁夏石嘴山・平罗中学校考模拟预测)”5。的内角4乞。的对边分别为。力,。，5m3=；,且

(1)求力的面积；

(2)若sinZsinC=^~，求b.

3

在①/一〃+'2=2,②方.罚=T这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】⑴孚

O

*

【分析】（1）若选①则根据余弦定理得accosB=l,且cosB>0,于是利用平方公式得cosB,即可得呢的

值，再根据面积公式即可得“的面积；若选②根据向量数量积定义得万.芯=-accos3,且cos3>0,

于是利用平方公式得cos3,即可得起的值，再根据面积公式即可得。8c的面积；

（2）由正弦定理得即可求得6的值.

【详解】（1）若选①/-/+。2=2,由余弦定理得cos8=女士无，整理得accos8=l,贝！Jcos5>0,

lac

又sinB=：,贝!]cosB=Jl-，ac=-—=^,贝!JS=^acsinB;

3飞⑶3cos54..28

若选②.前丁-lcO,贝！Jcos2>0,又sin3=；,贝！Jcos5=jl-,

又AB,BC=-accosB,得ac=—,则S粉,=』acsin8=;

cos54"c28

372

（2）由正弦定理得：二勺二号二二1,则上万=£・：=丁]^7r=卡=；,则一'=；,

sin5smZsinCsinBsmAsinCsin^4sinC，24sin52

V

3.1

b7=—smBn=—.

22

5.（2023•云南昆明・昆明一中校考模拟预测）力5C的内角/,B,。所对边分别为a,b,c,点O为一BC

的内心，记△OBC,△CMCQCMB的面积分别为H，52,S3,已知S；+S；—S]S3=S；,AB=2.

（1）若力5C为锐角三角形，求/C的取值范围；

1_omq41_omq7?

（2）在①4sin8sin4+cos24=1；②；-----+---------=0；③acosC+ccos4=1中选一个作为条件，判

sin4sin8

断△/BC是否存在，若存在，求出小的面积，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答,

按第一个解答计分.）

【答案】⑴（退,2«）

（2）答案见解析

【分析】（D由题意，根据“3C的内切圆的性质可得/+02一/=%,利用正、余弦定理可得

AC=4B0nB=5_,结合角C的取值范围即可求解；

sinCsinC

（2）选择①，根据正弦定理可得。=26,由（1）得3〃-46+4=0,方程无解即△ABC不存在.选择②，

根据三角恒等变换可得a+6=2c=4,由（1）得/+4一〃=2"，解得。=6=2,结合三角形的面积公式计

算即可.选择③，由（1）,根据余弦定理可得/+4-1=2°,方程无解即AABC不存在.

【详解】（1）设。8C的内切圆半径为r,因为却+用-岳邑=用，

所以⑺2-（；”）.（；=）=（；枷口化简得：a2+c2-b2=ac,

乙乙乙乙乙

所以cos8」+c"2因为8e（O,7t）,所以B=f,所以N+C=&,

lac233

因为名=黑，所以/。=丝包且=百-,

sinBsinCsinCsinC

因为“5C为锐角三角形，

所以0<C<?0<--C<^-,解得：£<c</

，32o2

所以g<sinC<l,所以AC的取值范围为（6,2石）.

（2）选择①，因为4sinBsin力+cos2Z=1,所以4sin5sin/=1-cos24=Zsin?4,

因为sin/wO,所以sin4—2sin8=0,所以q=26,

由⑴^la2+c2-b2=ac,c=2,所以4〃+4-〃=助，

整理得3〃-46+4=0,方程无实数解，所以不存在.

选择②，由^-20°s"+12c°s8=0得:sin^4+sin-2（sinAcosB+cos24sin=0,

sinAsinB

所以sin4+sin8=2sin（Z+B）,即sin4+sin5=2sinC,所以〃+Z?=2c=4,

222

由（1）^a+c-b=ac,C=29

所以/+4—〃=2〃，所以〃?+4_（4—Q）2=2〃，解得。=6=2,

所以&4BC存在且唯一，入4BC的面积S=Lcsin3=、4><@=JL

222

选择③，因为acosC+ccosZ=l,所以“丑———+c-^+C———=b=1,

2ab2bc

由（1）^Ha2+c2-b2=ac,c=2,所以/+4_1=2”,

整理得a2-2a+3=0,

方程无实数解，所以。BC不存在.

6.（2023•四川成者B•四川省成都列五中学校考模拟预测）在“BC中，内角4瓦C所对的边分别为a,6,c,

且。一ccosB=——Z?sinC.

3

⑴求角。的大小；

（2）若°=2百，且，求的周长.请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横

线中，并完成作答.①siiL4sinS=J；②的面积为g③H前=-：.

注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分.

【答案】（l）c=2

（2）4+2百

【分析】（D根据条件，利用siM=sin（B+C）和正弦的和角公式，化简即可得出结果；

（2）选①，利用正弦定理和条件得出。6=：,选②，利用条件和三角形面积公式得出必=g,选③，利用

条件和数量积的定义得出

4

ab=~,再利用余弦定即可得到结果.

【详解】（1）由正弦定理：siiL4-sinCcos5=sinSsinC,

3

因为sirU=sin（8+C）,所以sin5cosC+cosBsinC-sinCcos5=-^-siiL5sinC,

所以sin5cosc=^-sinSsinC,因为sinBw0,所以cosC=sinC,得到tanC=V3，又。兀），所以。=g.

a_b_c_2A/3_A

（2）若选①，根据正弦定理和（1）可知，嬴7=而二—二乖=，

Sm?

所以。=4sin4,Z?=4sin5,所以sirUsinS,得到ab=—,

16123

若选②，由题知L6sinC=LbxYL@,得到仍=上，

22233

__kkOIOA

若选③，即5•数=-：,由数量积定义得仍cos（兀-c）=-；Q6=-得到劭=；,

4

故三个条件任选一个条件，都可以得到仍=],

由余弦定理，得。?一2abeos：,整理得（a+b）2-2。6-2。氏0$乌=12,

即（a+6）2=16,贝!）a+6=4或a+b=-4（舍去），

所以"BC的周长为0+6+c=4+26.

7.（2023・河北•统考模拟预测）在08C中，内角/,B,。对应的边为a,b,c,28C的面积为S,若

acosB+bcosA=2a.

TT

(1)当B=§时，求4；

(2)若角5为“3C的最大内角.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立，

①/+c?+QC=〃；②6=；®S=^~.

2

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】(1)4=7；

0

(2)答案见详解.

【分析】(D由题意，根据正弦定理、特殊角的三角函数值和辅助角公式化简计算可得Esin1/-^1=(),

即可求解；

(2)分别以①②③中选取2个作为条件，根据正、余弦定理和三角形的面积公式计算，可证得第3个条件

成立.

【详解】(1)acosB+bcosA=2a9

由正弦定理得sin4cos5+sin8cosZ=2sin力，

当B=V时，—sin^4+cos^4=2sin^4,

322

得々sinZ-3^cos/=0,即百sin(4-」=0,

22I6J

TTjr

又0</<71,所以N-F=O,得/==；

66

(2)若选①②为条件.

/+C2+ac—//+C2—62——UC9

由余弦定理得cos8='+1-"="=一工,又Q<B<n,所以B=W

laclac23

由(1)sin/cosB+sinBcos/=2sin/,得——sin4+^cos/=2sin4,

22

5

有A/3COS/=5sin4〉0,又sin2A+cos2Z=1,解得sinA=2c,cosA='

2万

G

Xsin^4cos5+sin5cos=2sin^4,得sin(4+B)=sinC=2sin4=-j=,

aV7c

由正弦定理得号=4=白，即不=耳=正，

sinAsinBsinC——————

25/72V7

解得a=l,c=2,所以s=Lacsin5=Lxlx2x^=也，即③成立；

2222

若选①③为条件.

a2+/+ac—/—8——CLC，

由余弦定理得COS8="2上2-"=士=-工,又QC,所以8=女.

2aclac23

由S=—acsin5=—acx—=，得oc=2・

2222

由（1）得sinC=2sin/,由正弦定理得。=2a,解得a=l,c=2,

由余弦定理得〃=a?+。2-2〃ccos5=1+4—2xlx2x（—5）=7,贝!=,即②成立；

若选②③为条件.

S=—acsinB=nacsinB=百，

22

由（1）得sinC=2sin/,由正弦定理得c=2a,所以2〃2sinB=6.

由余弦定理得b*12=a2+c2-2accos伐b=近，

即7=〃+4/-4a2cos5=〃（5-4cos3）,有'——=,

（5-4cos5）7

2sm'=6,等式两边同时平方，得244cos28_1203$8-111=0,

（5-4cos5）7

1121

解得cos5=-7或C0S5==.

2122

当cos5=*时，胃>：，则2〈三，与B为的最大内角矛盾，

故cos3=-；,又由余弦定理得/=a2+c2-2ac•（一：）,

222

^b=a+c+ac,即①成立.

8.（2023・云南曲靖•统考模拟预测）在①asin（/+C）=6cosQ-《J；

②l+ZcosCcosBrosC-m-coslC+B）；③-^—=2这三个条件中选择一个补充在下面问题中的横

线上，然后求解.

问题：在力反;中，内角42,C的对边分别为a,6,c,ab+c=2C,a=&>,.(说明：只需选择一个

条件填入求解，如果三个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分)

(1)求角A的大小；

(2)求内切圆的半径.

【答案】(1)条件选择见解析，4=5

Q符

【分析】（1）选①，利用正弦定理化边为角，再根据两角差的正弦公式化简即可得解;

选②，根据两角差的余弦公式结合三角形内角和定理化简即可;

选③，利用正弦定理化边为角，再结合商数关系化简即可;

（2）先利用余弦定理求出A,再根据三角形的面积公式求出面积，再根据等面积法即可得解.

【详解】（1）选①，由正弦定理得siiL4sinB=sin5cos]4-1

所以山所以

因为0<8<兀，sirW0,siiL4=cos[z—1

h1

化简得sirU=——cosAH——sirU，所以taiM=V3,

22

JT

因为0</<兀，所以4=

选②，因为1+2cosCcos5=cos(C-5)-cos(C+3),

所以1+2cosCcosS-cos(C-B)+cos(C+8)=1+2cos(C+5)=1-2cos4=0,

所以co3=L,

2

又因为0<4<兀，所以力三;

2tan52tanSsinB

选③，因为由正弦定理得

taib4+tanSCtanA+tanBsinC

2sinB

而cos^sinB

“siM।sinBsinC'

cosAcosB

2sinB2sinB

cosB=cosg2sin8cos/=sinB

siiL4cosB+sinBcos4sinCsinCsinC

cos4cosBcosAcosB

所以cos^=J,

因为sir山w0,sinCw0,

2

又因为0<4<兀，所以/=];

(2)由(1)知，a1=b2+c2-2/JCCOSy=(/?+c)2-3bc,a=V6,b+c=2^3,

所以be=2,

所以=—besinA=—x2-sin—=

223

设AABC内切圆的半径为尸,周长为上,

因为8c=]”,故｝.(2A/J+A/^)=,

所以厂="老，即“3。内切圆的半径为三2・

22

9.(2023•宁夏中卫•统考二模)在①tan/+tan3+6=6tan/tanB;®kc+a-&)(sinC-sin+sin5)=asin5；

③技sinB=〃cosC+l)；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在13C中，

内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且.

⑴求角C;

(2)若AJBC的内切圆半径为4力=4,求”C.

【答案】(呜

(2)-1

【分析】(1)选择①根据两角和的正切公式化简可得角，选择②由正弦定理统一为边，再由余弦定理求解,

选择③根据正弦定理统一为角，由辅助角公式求解；

(2)由余弦定理及三角形面积公式联立求解即可.

【详解】(1)选择①：由已知得tan/+tanB=V^(tan/tan2-l),

,n、tanA+tanBr-

所以tanC=-tan(Z+3)=------------------=＜3,

1-tanAtanB

TT

在AABC中，Ce(0,7t),所以c=m.

选择②：由已知及正弦定理得(c+"b)(c-a+b)=血

^a2+b2-c2=ab,所以。0$。="+"一厂=工,

2ab2

7T

因为0＜。＜兀，所以C=一.

3

选择③：由正弦定理可得由sinBsinC=sinB(cosC+l),

又台£(0,兀)，所以sinB〉0,则GsinC-cosC=l,

则2sin(c-£|=l,故sin(c-j=g.

又因为〈兰，所以C-£=£,

60066

解得C=g.

(2)由余弦定理得/=Q2+—cib-16+—Aaf@

由等面积公式得;(〃+b+c)尸=—absinC.

BP—(a+6+c)x^^=—x4a.

2222

整理得3a=4+c,②

联立①②,解得a\5,c，7,

所以a—c=—1.

10.(2023・重庆•统考模拟预测)如图所示，已知圆。是AABC的外接圆，圆O的直径BD=2.设BC=a,AC=b,

AB=c,在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题,

A/3C-cosA=Q；

(2)2cosC+cos/=(2sinC-sin4)•tanA；

③“BC的面积为1(a2+°?_灯.选择条件,

⑴求6的值；

(2)求A/CD的周长的取值范围.

【答案】⑴百

⑵(26,6+2]

【分析】(1)若选①利用正弦定理将边化角，再结合两角和的余弦公式及诱导公式求出tan3,在利用正弦

定理计算可得；若选②，根据同角三角函数的基本关系、和差角公式及诱导公式求出cosB,在利用正弦定

理计算可得；若选③，利用面积公式及余弦定理求出tan8,在利用正弦定理计算可得；

(2)由题知N4DC=g,设/。(D=c,0<a<p利用正弦定理得到CD=2sine,NO=2sin[1-a],

再根据三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得.

【详解】(1)若选①，因为tanC-(b-6csin/)+&-cosN=0,

由正弦定理可得,卜+百sinC-cos/=0,

显然sinC>0,所以sinB-J^sinCsin/+6cosc,cos4=0，

即sin8+cos（C+力）=0,所以sinB-A/^COSB=0,所以tanB=A/§\又BE（0,兀），所以5="

因为。BC外接圆的半径尺=1,所以b=2EsinB=6.

若选②，因为2cosC+cos/=（2sinC-sin/）•tanA,

所以2cosC+cos/=（2sinC-sin4）•@上1,

cosA

即2cosCcosA+cos2Z=2sinCsin/—sin2A，

所以2cosCcos/一2sinCsin4=-sin2A-cos2A,

所以2cos（C+/）=T,所以cosB=g,又2€（0,兀），所以

因为外接圆的半径R=1,所以6=2RsinB=6.

若选③，的面积为手（/+02一62）,贝!Js=gacsin8=^（/+c2一〃），

由余弦定理可得。2+/-〃=2accos8,所以工acsin8=3accos5,所以tan8=g,又2e（0,7i）,所以

22

B三

因为AABC外接圆的半径R=1,所以6=27?sin3=6.

27r7T

（2）由题知N/DC=—,设/G4D=cz,0<a<-,

33

ACADCD拒'

由正弦定理SinZADC-sin44CD-sinZCAD~'

sinT

所以CD=2sina,AD=2sin,

所以C“必=/+2sina+2sin

=V3+2sina+2sin—cosa_2cos—sina

33

=V3+sina+V3cosa=V3+2sin;^+j,

因为0<a〈色，所以工<a+工<生，所以在<sin[a+四]W1,

333323J

所以Ge1（2后抬'+21

11.（2023・湖南益阳・统考模拟预测）“3C中，角48,C的对边分别为a,b,c,从下列三个条件中任选一

个作为已知条件，并解答问题.①csm审…C；②\=辰；③依的面积为九

（1）求角/的大小；

⑵求sinSsinC的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）选择条件见解析，

⑵尺]

【分析】（D选①②时，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求得答案；选③时，龙三角形面积

公式结合余弦定理即可求得答案；

（2）方法一：利用三角恒等变换化简sin5sinC为只含有一个三角函数的形式，结合正弦函数性质，即可得

答案；

方法二：利用余弦定理可得/=/+C2_6C,再由正弦定理边化角，可得sin2/=sin28+sin2C-sinfisinC,

结合基本不等式即可求得答案.

A

【详解】（1）选择①：由正弦定理可得，sinCcosy=siiL4sinC,

AAAA

因为C£（0,7i）,sinC>0,所以cosw=sin4,BPcos—=2sin—cos—,

AjrAA1

因为0〈一<一,所以cos—>0,所以sin—=—,

22222

所以《=（，即4=g；

2o3

选择②"nC_百0,则-血ccosA,

1-cosA

由正弦定理得siiL4sinC=A^sinC-忠inCcosZ，

因为Ce（0,兀）,sinC>0,所以siih4=上一版os/,即sin（/+j=

因为0<N<兀，所以g</+g<¥，所以/+g=f,即/=T；

选择③:由+02—Q2）=卜csin4,

2_2—

可得V3x-------———=sinZ，即百cos4=siib4，

2bc

所以taiM=g\由于。<4<兀，故幺=5.

（2）方