人教A版2019高中数学选择性必修第二册-数列求通项（重点题型）

第4讲：数列求通项（重点题型方法与技巧）

目录

类型一：s“法（已知s”与％,的关系）

角度1：用一一九,得到一

角度2：将题意中的％用替换

角度3：已知等式中左侧含有：£咕

i=i

类型二：累加法

类型三：累乘法

类型四：构造法

类型五：倒数法

类型一：S”法（已知S,与4,的关系）

角度1：用S”-,得到an

典型例题

例题1.（2022•河南省淮阳中学高三阶段练习（文））已知数列｛%｝的前"项和为S“，且S,=2%-2.

⑴求｛七｝的通项公式；

【答案】⑴％=2"

由S“=2a“-2,得S|=2q-2,得q=2,

当“22时,an=Sn-=（2an-2）-（2an_t-2）=2an-2an_l,即%=2a“_],

..•｛4｝是首项为2,公比为2的等比数列，

｛%｝的通项公式为4=2”.

例题2.（2022•福建省华安县第一中学高二阶段练习）正项数列｛4｝的前〃项和5“满足：

S；-（n2+n-l）5„-（w2+n）=0.

（1）求数列｛qj的通项公式

【答案】⑴4=2〃

当〃=1时，Sj2-(12+1-1)5,-(12+1)=0,

即S；-E-2=0解得，=2或H=-l,

因为数列｛%｝为正项数列，所以工=2,

因为氏-(/+”1)5“-W+〃)=0,所以L+叫(S“+l)=0,

解得S“=/+〃或S.=-l,

因为数列｛4｝各项都是正数，所以S“=〃2+〃，

当〃22时，有％=S“-Se，

所以%=：，+W-[(HT)2+(WT)],解得见=2”，

又当z?—l时,q=S]=2,符合a〃=2〃.

所以数列｛%｝的通项公式为=2»

例题3.(2022•四川省内江市第六中学高一阶段练习(理))数列｛4｝的前〃项和记为S,,己知凤＞0,

4+2%=45“+3.

(1)求｛q｝的通项公式；

【答案】⑴。“=2”+1

解:因为4,＞。，+2。“=4S”+3,

令〃=1可得，。；+2%=4%+3,解得％=3或°]=一1(舍去).

当心2时可得+2aa=+3,

两式相减得端一。；一1+2(。,-a,-J=4an,即(a„-an_x)(a,I+an_x)=2(a»+a„_j),

因为a“＞0,可得见-%=2,

所以数列｛%｝是以3为首项，以2为公差的等差数列，

所以数列｛%｝的通项公式为4=3+(〃-1)X2=2〃+1.

例题4.(2022•福建省厦门集美中学高三阶段练习)已知数列｛4｝的各项均为正数，前”项和为S“，且

3“-----------(〃eN).

(D求数列｛%｝的通项公式；

【答案】(1)。”=〃；

解：5,=#+1)(〃eN*),

当〃=1时，S[=*+D,at=l,

当〃时，由S,=*±D,得2S“=a『+%①

•->2s._]=a,_J+a”—②

_

①②得:2%=2（S“-S,i）=a；-+an-an_x,

二（%+a”-i）（4,一a，i-1）=。，

r。“+->0，

aa=1

n-n-\>n>2,

•••数列｛巩｝是等差数列，

an=n-

同类题型归类练

1.（2022•四川省绵阳南山中学模拟预测（理））设数列｛4“｝的前"项和为5“，已知S.=2a“-1.

⑴求数列｛为｝的通项公式；

【答案】（1）%=2"T

因为5“=2%-1,所以5用=24+1-1,

两式相减，可得。用=2%-2%，整理得。用=2氏，即乎=2,

因为在S〃=2an-1中当〃=1时，%=2%-1,所以q=1,

所以数列｛q｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以。"=2"L

2.（2022•湖南•高三阶段练习）记各项均为正数的数列｛%｝的前“项和是S”，已知片+a“=2S”，〃为正整

数，

⑴求｛〃“｝的通项公式；

【答案】（1）%=H（HSN+）

当心2时，卜:%相减得片%=2ati,

〔见+4=25“，

即（q—a--1）（q+%T）=0,各项均为正数，所以％=%+1。叱2）,

故｛%｝是以首项为1,公差以1的等差数列，

所以4=77（77GN+）；

2

3.（2022•全国•成都七中高三开学考试（理））记数列｛%｝前w项和为s“，2S„+n=2nan+n.

（1）证明：｛%,｝为等差数列；

【答案】⑴证明见解析

2

(1)由题意，得25n=2〃。〃+n—n.

则2sx=2(〃—1卜〃T+〃—1—(〃—1).

两式相减,得(2〃一2卜〃一(2〃一2耳_1=2〃-2,n>2,MGN*,

即an-an_x=1,n>2,neN*,

•..{4}是等差数列.

角度2:将题意中的4,用S,「S.-替换

典型例题

例题1.(多选)(2023•全国•高三专题练习)设S”是数列｛%｝的前〃项和，且6=-1,a,中=S“S”+I,则

下列结论正确的是()

a

A.n=­~~-B.an=\1

〃(〃一1)---------,n>2

n(n-l)

C.S"=—D.数列同是等差数列

【答案】BCD

【详解】an+i=Sri'Sn+i=Sn+i—Sn9两边同除以S〃+rS〃，得^^二1•

・•・1:1是以一1为首项，d=—1的等差数列，

1

即不=-1+(〃-1)x(—1)=—九，

Sn=---

n

11

当n>2时，an=Sn~Sn~i=——=

nn-1n(n-l)

又如=-1不符合上式,

一1,〃=1,

,心2

n(n-l)

故A错误，BCD正确.

故选：BCD

例题2.(2022•安徽宣城•二模(理))已知数列｛风｝中，4=1,%>0,前〃项和为5“.若

a„=底+#匚(〃eN*,〃..2)，则数列—的前2022项和为.

2022

【答案】厢

【详解】由4=区+67(〃eN*,〃..2)可得S“一5-=瓜+反，又%>0,.•.底一卮=1,

=1>

=n,

故｛6｝是以1为首项，1为公差的等差数列，7^''-an=y[s^+y/s^=n+n-l=2n-l,又4=1也符

合，

1二1一击)，故数列[£]的前2。22项和为

册〃

:.=2-1,aa

nn+i（2n-l）（2n+l）

111

-+-—+

335+七捻卜如舟者

2022

故答案为:

4045

例题3.(2022•黑龙江•大庆实验中学模拟预测(理))已知正项数列｛%｝满足4=1,前"项和S“满足

4=后+7^7(〃22,〃。*)

⑴求数列｛%｝的通项公式；

【答案】⑴％=2〃-1；

⑴解：,.•4=屈+7^7(〃22,〃0*)

5“_5-=底+匹

-卮=1，二点是以1为首项，1为公差的等差数数歹U，

-n,即S“=n2,

当“22时，«„=S„-S„-1=2«-1,

当〃=1时，。1=1也成立,

/.an=2n-l,

例题4.(2022•福建省龙岩第一中学高二阶段练习)已知正项数列｛%｝的首项q=1,前”项和S“满足

an=+A/S“_](n>2).

⑴求数列也,｝的通项公式；

【答案】⑴4=2〃-1；

(1)当”22时，％=区+用，

，S--S“T=S+67,即疯-卮=1,又用=1，

所以数列｛后｝是首项为1,公差为1的等差数列，故£=%

又由%=邓^+J%=〃+〃-1=2〃-12),

当”=1时，。1=1也适合,

所以4=2〃T.

例题5.(2022•全国•高三专题练习)已知数列0｝的前〃项和为%且满足a“+2S,S,T=。(〃22),弓=).

⑴求S“；

(2)求数列｛%｝的通项公式.

【答案】(1电$

(2)%=

---------,(n>2,neN

[in2n—21

(1)

由题意可得，当〃=1时，％二;，

当心2时，。“+25屋3_]=0,即S〃—九=—2S£_],可得[―一~=2,

即数列是首项为2,公差为2的等差数列，y=2+2(«-l),(«>2),可得S,=：,(〃N2,〃eN*).

经检验，〃=1时，S[=4=g满足上式，

故s,W

(2)

由⑴可得,当心时，-圭,

当，=1时，44,不符合4，=0,，

综上所述，结论是:

g,(w=D

11/__

---------,(«>2,«eN

⑵2n—2、

同类题型归类练

1.(2022•黑龙江•哈尔滨市第六中学校高三阶段练习)已知数列｛%｝的前"项和为5“，且满足q=(,

an+2SnSn_l=0(n>2)

⑴求。"和5

21

【答案】⑴。“=1-5„=—

--J，壮22n

2〃(〃一1)

(1)几=1时，S]=q=；,〃22时，^n=Sn-Sn_｛=-2SnSn_1,

所以J-——=2,所以数列彳是以营=2为首项，公差为2的等差数列.

3〃3〃T〔S"5

所以：=2+("1>2=2九，即S“=；,

»〃2〃

当心2时，见=一25鼠=-初曷,

当〃=1时，％=:，不满足上式，

1I

—,n=1

2

所以。〃=11，

-------7---7，〃22

2n(n-l)

2.(2022•全国,模拟预测)已知首项为1的数列｛%｝的前〃项和为S.(〃eN*),且后=。角-

⑴求数列｛%｝的通项公式;

【答案】⑴4=2〃T

(1)依题意，历+厄=%=s“「s“,

故#^+£=(6>£)(府+底)，

因为反+向>0,所以再一底=1，

又廓=口=1,所以｛底｝是首项为1,公差为1的等差数列，所以厄=n,s„=n2.

22

当2时，an=Sn-Sn_1=n-(n-1)=2n-l,

又当〃=1时，q=i也满足上式，所以见=2〃-1.

3.(2022•四川省通江中学高二阶段练习(理))已知正项数列｛%｝的前〃项和为S“，且

%=2,q=疯+V^7("eN,"22)；

⑴求数列｛%｝的通项公式;

2,77=1

【答案】⑴4=

2n+2忘-3,M>2,neN

⑴由题意正项数列｛%｝的前"项和为S”,

当场22时，—,

故见=S〃-51=点+反，所以(后)2—(卮)2=底+历，

即E-6二=1，所以｛、区｝是以6=旧=6为首项,以1为公差的等差数列,

贝！J-V2+(〃-1)=〃+V2—1,

以=JSn+JSn_]—n+V2-1+几-1+A/2—1=2rl+2\/2—3,(〃N2),

即an=2〃+20-3,

2,〃=1

但q=2不适合上式，故为=

2n+2A/2-3,n>2,neN*

4.(2022•云南省玉溪第一中学高三开学考试)数列｛q｝的前〃项和为S”,q=；,且4+2S“T-S“=0532).

⑴证明：数列，为等差数歹

⑵求数列｛q｝的通项公式.

【答案】⑴证明见解析

fl,

—,n=l

2

(2)a„=\1

——7—7，葭2

2n(n-l)

(1)

由an+2Sn_l-Sn=0(n>2),

得S“-S“T=-2S“TS“(心2),

-一J=2，(W22),且5=2,

SS,

故数列为以2位首项，2为公差的等差数列.

(2)

由(1)知数列[二]的首项为'=2,公差1=2,则数列!=2+2("-1)=2〃,

即S"=['-"1=:一/^=-茨曷‘心2，

2〃(〃-1)

角度3：已知等式中左侧含有：

Z=1

典型例题

例题1.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝的各项均为正数，且石+«+…+口=/+〃，则

数列的前n项和Sn=（)

A.a?+2〃+1B.2n2+2n

C.3M2+nD.3w2—n

【答案】B

【详解】因+…+1册="+〃,当“22时，y/a^+y/a^-i—+J%-=(“-1)一+(〃-]),

则=而飙'=2满足上式，因止匕”eN*

贝=-^---^=4(77+1)-4/I=4,即是首项为4、公差为4的等差数列,

nn+1n

所以,=业*=2]+2联

故选：B

例题2.（2021•上海市行知中学高三开学考试）数列｛4｝满足：％=1,

4=q+2。2+3%++(«—(n>2.nGN*），则通项=

l,n=1

【答案】n10

—,n>2

12

【详解】由题意得：q+i=q+2%+3/++（九一1）q_1+磔〃@）,

当〃=1时，a2=ax,

当〃22时，q=q+2%+3/++(〃-1)%T(2),

①一②得：4+「q=%=凡+1=(〃+1)凡,(〃N2),

所以％=1,&=1,%=3,幺=4,…，J",

%a2〃3an-\

77।

累乘得4,=,("22),当”=1时，%不满足。.，

1,H=1

则%=(〃！.

——,n>2

12

l,n=1

故答案为：＜

—,n>2

12

例题3.(2022•广东•测试•编辑教研五高二阶段练习)数列｛4｝满足q+?争+:=3"-1.

⑴求E

(2)求数列｛对｝的前〃项和S,

【答案】⑴。，=2〃-3八

⑵S.="3"+；

⑴解：因为生+1+-十+%=3"-1,

n

当”=1时，=31-1=2,

当心2时，4+生+%++&L=3"T-1,

23n-1

两式相减得生=3"—3修=2-3"T,

n

所以a.=2〃.3"T(nN2),

又q=2符合上式，所以4=2〃々t.

(2)

解：S„=2-3°+4-31+6-32++2n-3n-l,

所以3S“=2?+4-32++(2«-2)-3^+2«-3",

所以邑一3s“=2•(3°+9+3?++3"T)-2n-3",

1-3n

即一2S〃=2x^~^~—2〃・3〃=(1—2孔>3〃一1,

所以S"=”-3"+2・

22

例题4.(2022•黑龙江•双鸭山一中高二开学考试)已知数列｛q｝满足2%+2?出+…+2'%=盹户.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵求数列｛%｝的前〃项和S,.

A-A-i-J-.w,、3〃+1

v【日木】⑴4=———

(2)S„=7-(3«+7)xW

3"+5〃

（1）解：因为2〃1+22。2+・・・+2〃。〃=①，

2

3xl2+5xl

当〃=1时，2al=解得4=2,

2

当〃22时，2弓+22出+…+2〃一4_=3（〃T）：5（"1）②,

3/+5〃_3（，1）2+5（，1）=3,+1，所以%=3n+l3n+l

①-②得2"%，当〃=1时=也成立，所以

222〃2〃

3九+1

T

2

（2）解:由（1）可知q=（3〃+l）x,所以S〃=4x1I+7xI+鹏++（3n+l）x

所以3=4x[j+7x出4

I+10x1++（3〃+l）xg）,所以

一（3"+1）、出n+1

2Jin—\

1

n+\

=2+3x------1二一（3〃+l）x

n+1

=。（3〃+7）又出

所以S“=7一（3〃+7）x出

同类题型归类练

1.（2022・全国•高三专题练习）已知在数列｛〃〃｝中，〃1=2,〃]+?+~^~+—+—^=—2,贝!Ja=___________

23nn

【答案】2n

【详解】因为％+3+?++—^=%+i—2,当〃22时，々1+3+3+H■—=a—2,

23n23n-1n

贝=即有乌珠="当〃=1时，2,得出=4,多=?满足上式，

nn+1n21

〃GN「幺丝=”，因此数列｛2｝是常数列，即&=3=2,所以4=2〃.

故答案为：In

2.（2020•山东省青岛第五十八中学高三期中）设数列｛%｝的前“项和S”％=1,2"4+2'—电++2%=桢用.

⑴求数列｛4｝的通项公式.

【答案】⑴氏二2〃T；

(1)解：当〃22时，因为2〃%+2"12+L+=几。〃+1,

所以2"1q+2"之外++2an_]=[n—\^an,

所以2〃4+2〃T/++22q_]=2(几—1)4②，

±L

①一②得24="+1—,gp-^=2(H>2),

an

当〃=1时，2%=与，?=2适合上式，所以数列｛%｝是首项为1,公比为2的等比数列，

所以%=1X2"T=2"T.

.123〃八/1

3.(2022•河南三模(文))已知数列｛(%｝满足：一+—+—++—=2-(n+2)-,HGN".

C^2^^3/

⑴求J

(2)求数列｛an+log2%“｝的前”项和S”.

【答案】⑴%=2”

l2

(2)Sn=2^+n+n-2

,11

(1)当〃=1时，7=5，故4=2；

当“22时，

123«,z.x1

n

qa2a3an2

123n-1on1

n

axa2a3an_x2~

nn

两式相减得：一=不，故。"=2"

综上：当〃£N*时，%=2".

(2)由(1)知/+log2%〃=2〃+2〃

所以⑤二(2+22+23+2〃)+(2+4+6+In)

2(1-2〃)/、°

=--------+n(n+l)=2n+1+n+n-2-

1-2v7

4.(2022•山东,济南市历城第二中学模拟预测)在数列｛叫中，已知q=2,“+§+§+…+”=%-2,

23n

数列圾｝的前〃项和为S„,S.S„=2bn-2.

⑴求数列｛%｝,也｝的通项公式；

【答案】⑴%=2"，bn=r.

•••q+?母+…+?=*-2①,

当〃=1时，％=。2-2,得。2=4.

小一2②,

当〃22时，q+—+—H-----F

23

①-②得，……*一〃+l

a„^n+1

・〃=1时也满足」包=一

an”

火&为

---—&—=2_x2—X3—X4—x---x/一=2n,

C^2C^31123n-1

an=2n,当n=l时也成立

S"=2〃-2③,

当〃=1时，4=2A]-2,即4二2；

当心2时，SR=2%—2④,

③一④得，bn=2bn-2bn_i9则，=22》

..・｛〃｝是首项为2,公比为2的等比数列，故6'=2"；

5.（2022,黑龙江双鸭山•IWJ二期末）设数列｛。〃｝满足q+3%H-----\-（2n—l^an=n.

（1）求｛%｝的通项公式;

【答案】（皿“=击

依题意%+3外+…+（2〃-1）为=〃①,

当〃=1时，4=1.

当〃22时，q+3%H----F（2〃—3）ctn_x=n—1（2）,

①-②得（2〃-1）%=1,%=，，77=1时，上式也符合.

-2n-l

所以见=止1

类型二：累加法

典型例题

例题1.（2022唉国模拟预测（文））在数列｛4｝中，%=l,"（〃+l）（%+「a“）=l（〃eN*）,则“2022=（）

■4043n2021八4040c2020

A.------B.------C.------D.------

2022202220212021

【答案】A

【详解】因为心+1)(--%)=1,则%+=而%=>・，

当“22时，a„=(a„-«„_))+-«„-2)+J___[

n—2n-

=_工+1+1=止1,显然%=1满足上式，即有。“=也二

nnn

4043

所以“2022

2022

故选：A

n

例题2.(2022•上海市大同中学高二阶段练习)若q=l,an+l-an=2-n9ne,则〃〃二_________

【答案】2"-1--

【详解】an+l-an=T-n,〃eN*

・•.当〃22时，。〃—1=2"T—(九一1)

二.%—q=—1,%—“2=2?—2,,cin—=2"—(n—1)

21

以上各式相加得：«„-«1=(2+2++2-)-[1+2++(«-1)]

=0+2+2?++2")[1+2++…片一丁.—一

而％=1也适合上式,

一一一”〃£N*

故答案为：2"-1-妁泸.

例题3.(2022•广东惠州•高三阶段练习)已知数列｛q｝中，4=1,%="-%｝是公差为2的等差

数列.

(1)求｛%｝的通项公式；

【答案】⑴4=1

解:因为｛以「4｝是公差为2的等差数列，

所以(。3—%)—(%—4)=2,

即9一2电+1=2,所以4=4,

贝U%-％=3,

所以％+1-4=2〃+1，

贝U出-〃1=3,

%—%=5,

=7,

an~an-\=2〃-1,

累力口得=3+5+

所以%="2；

例题4.（2022•四川广安•高一期末（理））已知数列｛见｝满足%=3,«„-«„_1=8n-4（n>2）.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

【答案】⑴4=4/-1

当“22时，

（%-附）+（%T-%-2）+…+（%-%）

=（8”-4）+（8"-12）+…+12=^-------）2———-=4n2-4，

22

即an-ax=4n-4,贝lj〃〃=4n-1,

当〃=1时，4=3,满足〃〃=4"2—1,

2

综上所述，当〃cN*时，an=4M-1.

同类题型归类练

1.（2022,四川省成都市郸都区第一中学高三阶段练习（文））已知数列｛凡｝满足见+「4=2"（〃eN*）,%=3,

则。8=（）

A.511B.502C.256D.255

【答案】D

【详解】因为。用―％=2">£N*）,%=3，所以

%—%=22

%—%=2?

。8—。7=2

92_9

累加得：a.-a=22+23++27=------：—=252,

21-2

所以q=4+252=255.

故选：D

2.（2022・陕西•武功县普集高级中学高二阶段练习）已知数列｛4｝满足%=1,%=%T+2"T（〃N2,〃eN）,

贝Ia6=•

【答案】63

【详解】由题设，%—ai=2i(〃N2/£N),

以4—%+〃5—%+%—%+〃3—。2+%—%=%-=2，+24+2^+22+21=62,1=1,以&=63.

故答案为：63.

3.(2022・上海交大附中高三阶段练习)已知数列｛q｝的前〃项和S“=3〃-1,数列｛,｝满足4=-1,

2+i=2+(2"T).

⑴求数列｛%｝、｛2｝的通项公式.

2,n=l

【答案】⑴4=,b“=n—2n

3,H>2〃

*/Sn=3n-l,：.Sn_r=3n-4,n>2,

a,l=Slt-Sn_l=3n-l-3n+4=3[n>2),

当〃=1时，S]=q=2w3,

2,H=1

3,n>2,

；2+1=2+(2"-1),

打一伪=1,4一3=3也一4=5,...,bn-bn_x=2n-3,n>2,

以上各式相加得:

(n-l)(l+2n-3)

b-b=1+3+5++(2n-3)=(n—l)2,n>2,

nx2

2

bn=n-2n,

又2=T符合上式，£=4-2"；

4.(2022•云南•弥勒市一中高二阶段练习)等比数列｛%｝中，公比4>0,S?=6,%是邑与2的等差中项.

⑴求数列｛aj的通项公式;

⑵设2=log%2,且数列｛g｝满足q=l,cn+i-cn=bn+xbnf求数列｛%｝的通项公式.

【答案】(l)a„=2n

(1)名是S3与2的等差中项，52=6,.，.2%=S3+2=S2+〃3+2=%+8,/.。3=8；

q=18

a3=〃闯2=8得<a,=2

由,2(舍)或q=2—"♦

S?=+a?=(1+q)=6q=——

3

1_1__1

(2)由(1)得：b=log2=—log2=—,-Cn+l~Cn

nn2nn(n+l)nn+1'

□1

C2~c\1-

n-2n—12

1111

各式相加得:

2n

又C[=1,..g=2—.

n

类型三：累乘法

典型例题

例题1.(2022•湖南省桃源县第一中学高三阶段练习)在数列｛%｝中，4=1,g=2,如="1,则

an"

A.2020x2021B.2021x2022C.2022x2023D.2023x2024

【答案】C

【详解】由已知，数列｛4｝中，4=1,2=2,黄=丁，

，匚[、1%+2_〃+1an+\_"—1%_2

所以--------，-----7，-----―一；，

annan_xn-1an_2n-211

p-rruan+24+1。3_"〃+2."〃+l'’"3_"〃+2."〃+l

所以-----------------------------------------------

%册一2an'an-l'an-2'%'〃2'6%"

n+1nn—12(n+1)-n-(n—1)-2.

----•----------——=------------------------=〃+],

nn-1n-21n-(n-1)-(n-2)-21

所以an+2-an+1=〃+1,即*-4向=2(〃+1)(〃eN+),

%•q

贝Ua｛a2+a2a3+a3a4++。2022a2023

c“,c2022x(2+4044)

=2+4+6++4044=----------------=2022x2023.

2

故选：c.

例题2.(2022•宁夏•平罗中学高一期中(理))数列｛%｝满足：%=2,〃%=2(〃+1)4,则数列｛《｝的

通项a„=

【答案】n-T

【详解】解：因为弓=2,"4用=2(〃+1)4,,

2("+1)

所以也=

a„n

2n

当“22时，—

a।77-1

%<3.3.

所以纥=■—■—•―2--q,

a

刍马4n-i

_„-1234

—乙9,•**...*n■乙，

123n-1

=n-2n9

当〃=1时，q=2,适合上式，

所以数列｛%｝的通项％=n-T,

故答案为：n-2n

2

例题3.(2022•河南•高三阶段练习(理))已知3为数列｛见｝的前〃项和，且4=1,Sn=nan.

(1)求“2，。3；

⑵求｛g｝的通项公式.

【答案】⑴〃2=不，°3nz

3o

2

〃(〃+l)

(1)

当〃=2时，邑=4%,即q+Q2=4%,

又q=1,所以%=；，

当〃=3时，有%+%+〃3=9。3，解得a3=—­

6

411

故％=7，03=:•

36

(2)

因为S“=a%"，所以S“+J=("+1)2见+1，

22

两式相减得：S.+i-Sn=(n+l)an+1-nan,

22

即an+l=(n+l)all+1-nan,

2

化简得：n{n+2)a“+i=nan,

所以(〃+2)/M=〃4,即3=,

ann+2

&a112n—\

二%又一X-XX=1X£X]Xx——,

axa2an_x34〃+1

化简得：4=

n(n+1)

故｛%｝的通项公式⑸=77cgi

例题4.（2022•江苏•南京市第十三中学高三阶段练习）在条件：①S“=仆+f+2）；②4=］且

6

3s“=（”+2）%；③W=1且：%+1=（〃+3）5”中任选一个，补充在横线上，并求解下面问题：已知数列｛%｝的

前"项和为S”,

(1)求数列｛凡｝的通项公式；

【答案】⑴见=七」

(1)若选①，由s./(〃+l)(〃+2),①

6

*.(n—l]n(n+l]-

〃22,〃eN*时，Sn_x=^——'―^——②

6

①-②…=

62'7

而4=&=1也满足上式，:.a,="(w+1)

2

若选②,3s.=(〃+2”“,①

〃N2,〃wN*时，3S„_j=(n+l)a„_j,②

①一②=3%=(n+2)a,J-(n+l)an_l=("+1)%

=4〃+l

n>2,nGN,

«„-1«-1

_a2a3%%_]345n+1n[n+\)

a2

01a2%n-\123n-1

若选③,“+i=3S〃①

〃22,〃£N*时，(〃一l)a〃=3S〃_i，②

①一②n四什i一(〃-1)见=3a〃^>nan+i=(n+2)^(n>2,neN*)

〃=l时由①知a2=3%也满足上式，.,・^^+l=5+2)凡，

当〃22,〃EN*时，(〃一1)为=(n+l)an_1,

•乜・幺n+1_n[n+\)

a~n-[~2

a｛%4n-\123

同类题型归类练

1.（2022•全国,高三专题练习）已知数列｛4｝满足4=1,凡=上，的卅=4心，则%的最小值为（）

16

A.2T2.2-10C.23D.T6

【答案】D

【详解】•「4=1,G=77,anan+2=^an+l'

2lo

..0,2="，

%an

•••数歹/也］是首项为a=2,公比为4的等比数列，

〔J«i16

-4±1>=—x4"T=4"-3

'anI6

当,22时，.义乌=4"一'4"-5*x『xl=4扣f"㈤,

an-\an-2a\

.二”=1时，4*—5同=i=q,=%=4短Tse•

.•.当w=3或w=4时，％取得最小值，最小值为=2a

故选:D

2.(2022•全国•高三专题练习)已知数列｛%｝的首项为L前"项和为S,,且科+i=("+2电,则数列｛q｝

的通项公式%=.

【答案】〃

SN〃+2

【详解】解：:〃S.=(〃+2)S",.・.三=——

Sn〃

当“22时，S“=£x£x...x^xS|,

n+1nn-1n-26543,

=-----X-------X------X-------XX—X—X—X—X1

n—1n—2n—3n—44321

n(ji+1)

一_2~

1x2

当〃=1时，Si=三—=1=。1成立，

■■3〃一，

2

也、CHCC〃(〃+l)(n-l)n

当〃22时，an=Sn-Sn_x=----------=n,

当〃=1时，%=1满足上式，

an=n.

故答案为：n

71+2

3.(2022•甘肃•宁县第二中学高二阶段练习)已知数列｛aw｝中，ai=l,前"项和S"=7一an.

(1)求42，43；

(2)求｛初｝的通项公式.

【答案】⑴3；6

(2)an=---

(1)

44

由S2=1〃2,得(〃l+〃2)=§。2

又，ui―■1,••“2=3〃/=3.

由S3=|'〃3,得3(〃/+。2+〃3)=5(23,

3/।、

..43=—十〃2)=6.

2

(2)

_c及+2〃+1

•••当"22时,an=Sn—Sn_i=------an-------an_i,