广东省河源市2023-2024学年高二年级上册期末考试数学试题（解析版）

河源市2023-2024学年第一学期期末高二年级教学质量检测

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.

写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

-j+3y-1=0

1.若直线，与直线2'平行，贝”的斜率为（）

_31

A.6B.2C.6D.6

【答案】D

【解析】

2

【分析】由直线的一般方程可求得其斜率为6,再由两直线平行即可求得7的斜率.

—1x+,”-,1=0Cv=1xd1--

【详解】将直线2'化为斜截式可得’63,

，--L+1--

易知直线［的斜率与直线’-63的斜率相等，即，的斜率为6；

故选:D

2.若等差数列｛4｝中"1=-6,%+%=0,贝产10=（）

A.12B.14C.-24D.-26

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差数列定义即可求得公差为d=2,求得通项公式即可得。10=12

【详解】设等差数列的公差为

则与+。5=%+2d+%+4d=0,解得d=2；

因此可得数列（怎）的通项公式为0"="i+（"TH=%一1

所以%=2x10-8=12

故选：A

3.已知双曲线C5'J的左、右焦点分别为耳，鸟，点尸是c的左支上-点，则冏卜F耳卜

（）

A.?"B.-2V5C.七小D.+2V5

【答案】B

【解析】

【分析】利用双曲线定义并结合点P是C的左支上一点可得结果.

【详解】根据双曲线标准方程可知a=A,

由双曲线定义可得附i卜附卜”=?后，

又理为左焦点，点P是C的左支上一点,所以网＜1叫,

可得陷卜网=-2下

故选：B

4.已知点A。。①，3（2,。,1）,C（O，TO）,则原点。到平面的距离为（）

A.2B.1C.0D,2

【答案】A

【解析】

【分析】利用空间向量求出平面.C的一个法向量，再由空间距离的向量求法即可求得结果.

【详解】易知阳=（二6°）MC=（°，TT）,

设平面的一个法向量为"二（X丁，二），

ABn=2x=0

.一

则l/c.五=-1），-二=0,解得支=0,取y=l,二=-1可得”=（0.1,-1）；

又3=（0,0,1）,

\0An\_1_V2

T=^=T

所以原点。到平面23C的距离为

故选：A

5.在高层建筑中，为了优化建筑结构，减少风荷载影响，设计师可能会将建筑设计成底面楼层高度比较

高，随着楼层往上逐步按照等比数列递减的“金字塔”形状，已知某高层建筑共10层，第2层高度为

4j§m,第甩层高度记为｛aj是公比为2的等比数列，若第后层高度小于6m,则上的最小值

为（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】

【分析】求出通项公式后，再解参数范围即可.

史

【详解】由题意得/=4J3,-2,

c7a=8x（—

则6=8,故*M'，，

8、（正严<6

由题意得-,解得左>3,

即左的最小值是4.

故选：C.

6.若圆°：?+丁="（''>°）上到直线‘：‘片-J'+1=°的距离为5的点恰好有3个，贝犷=（）

A.1B.2C.3D,4

【答案】A

【解析】

d=工d--

【分析】根据题意，求得圆心。到直线7的距离为结合题意，得到即可求解.

【详解】由圆°：X’+./=/（r>0）,可得圆心°（0,0）,

」11

d=-=一

则圆心。到直线入后-j+l=°的距离为«后「+（~»二

r,r1

要使得圆。到直线，的为2的点恰好有3个，则一弓一弓，可得r=L

故选：A.

7.如图，在正三棱锥尸一相。中，高p°=6,=点后歹分别为FAFC的中点，则

【答案】B

【解析】

EF=-,OE=OF=-PC=—cos/EOFJ

【分析】根据题意，求得222，得到10,结合向量的数

量积的运算公式，即可求解.

,人艮9

r~h=x---=-

【详解】在等边“5C中，因为池=3>/3,可得业C的高为22,

7o9

OC=二方=二x-=3

所以332,

在直角2P0C中，可得外=PE=PC=4PO,+。。’=+3’=3万,

EF=-,OE=OF=-PC=—

又因为瓦口分别为P&PC的中点，可得000

4545_27

OE'+OF'-EF‘4+447

cosZ.EOF=

2OEOF-cx/-5--io

在AOEF中,可得4

OEOF=OE\bFcos^EOF=^-x^-x—=—

所以।122108.

故选：B.

；..AC―5~+—1（。>6>0）-

8.若点P既在直线/N-J'+~=U上，又在椭圆Jb2''上，°的左、右焦点分别为

稣6,昭1=2,且一尸朗的平分线与，垂直，则C的长轴长为（）

叵叵叵眄

A,亏B.710C.飞一或4D.W或亏

【答案】B

【解析】

【分析】过点耳、玛分别作用"、鸟”垂直直线，于点»、M,由dP尸:的平分线与［垂直可得

5PN=&FM,即可得哂印与逐尸M相似，结合点到直线的距离可得相似比，从而可求出

「耳口叫,结合椭圆定义即可得长轴长.

【详解】过点耳、巴分别作尸H、区M垂直直线，于点N、M,

作NM质的平分线"与x轴交于H,

由|取引=2,故耳（T0）、居（L。）,

由FH口且PH为/FPF：的平分线，故/=/名尸H,

故HPN-KPM,

又RN工I、居MU,故遥印与典尸M相似，

卢

T_1

国两网mT

故丁,

由/”了+?=0,令J=O,则x=-2,

=卜_4=■

故直线I与x轴交于点G（一，。），故Vk2>

附用卜-曾苓故…芋-冬0

网L世L网」

由内陷国附「3,

由椭圆定义可知，网+附1=4故/=丁+丁7°

即C的长轴长为Jid.

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题关键在于作出尸N、居M垂直直线/于点N、M,再将NEP£的平分线与7垂

直这个条件转化为‘用尸"=,从而得到相似三角形，结合点到直线距离公式及旧用卜？得到

随口网的值.

二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.

9.若点。为原点，且圆。与圆°/+】'-6、+5.「+16=°没有公共点，则圆。的半径可以是（）

A.1B.2C.8D.9

【答案】AD

【解析】

【分析】判断点。与圆C的位置，再利用两圆相离列出不等式求解即得.

【详解】圆。：0-3）2+0+4）2=9的圆心。（3.-4）,半径「=3,|。。|=5,显然点。在圆C外，

由于圆。与圆C无公共点，则圆。与圆C可以外离，也可以内含，且圆C在圆。内，

设圆O的半径为于是R+厂或工001,即R+3<5或R—3>5,解得0<R<2或

R>8,

所以圆°的半径可以是1或9,即AD满足，BC不满足.

故选：AD

10.已知分别为空间中两条不重合的直线的方向向量，加，“分别为两个不重合的平面%少的法向

量，则下列结论正确的是（）

A,若〃〃2,则aH3B,若彳=一治，则”〃2

C.若加j_〃，则。■■■夕D.若&//夕，则加

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面的法向量的概念，结合线面位置关系的判定方法，逐项判

定，即可求解.

【详解】对于A中，由川%,可得a//B,则万=^MeR,当时，a=b,所以A错误；

对于B中，由万=一"，可得a//S,贝所以B正确；

对于c中，因为肛"分别为两个不重合的平面%月的法向量，若加~L〃，可得戊,夕，所以c正确；

对于D中，因为加，〃分别为两个不重合的平面％少的法向量，若a"#,可得而/方，所以D不正确.

故选：BC.

11.已知数列（°1是等差数列，P©都是正整数，则下列结论正确的是（）

A.若q>P,则％-P=24B.14）不可能是等比数列

C.L4+4+1）不是等差数列D.若%+%+3=3,则=1

【答案】AD

【解析】

【分析】利用等差数列下标和性质可判断AD正确，当4=1时数列｛4｝可能是等比数列，可判断B错

误；由等差数列定义可证明+4+J是公差为2d的等差数列，即C错误.

【详解】由等差数列下标和性质，以及PN都是正整数，

若q＞p,则q-p，q+p都是正整数，且满足g-p+g+p=2q,所以％=2%,即A正确;

当数列｛，｝是非零的常数列时，例如4=1满足（%）是等差数列，也是等比数列，即B错误；

不妨设数列④的公差为"，易知U+.J-（4-1+%）=%-%+=＞为定值，

所以｛%+4+J是公差为：Id的等差数列，即c错误；

由勺+%=3可得叩+,□+%=3aM=3,可得限=1,即D正确；

故选：AD

12.已知直线＞工+丁=,，抛物线°】：丁,二x与抛物线q=丁的焦点分别为尸卜月，则（）

A.存在r,使得直线7过点片与吊

B.存在£,使得直线I与各有1个公共点

5g

C.若；过C与J的公共点，贝心与两准线的交点距离为2

D1与4,的交点个数构成的集合为｛0，，3,4）

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，联立直线［与抛物线的方程，再逐项判断即可得解.

「2^（-,0）l1：X=--c3居（0，）

【详解】抛物线1=’的焦点4,准线4,抛物线J1=J'的焦点4,准线

I:x+y=一

1

由二丁消去y得.N+XT=0,由A=l+4f=0,得.4,此时直线，与g只有一个公共点,

x+.v=t

由〔T'=、消去X得丁+J'T=°,由"=1+々=0,得4,直线1与C只有一个公共点,

因此当Z时，直线：与各有1个公共点，B正确；

抛物线C与邑的公共点为90）和（L1）,当直线j经过点（°，0）时，直线7的方程为X+1=°,

一（一——）L•v=——（_—_）-

4交于点4'4,与」”4交于点了’?,这两个交点间距离为2,c错

当4时，，与°iC的交点个数为o,当'7时，1与3C的交点个数为2,

当不时，直线，与J的交点各有两个，而当1=0或f=2时，直线7经过了0卜02的交点

f>_1_

此时7与4,C3的交点个数为3,当,Z且two且时，，与。卜。：!的交点个数为4,

因此7与「卜的交点个数构成的集合为（°，？，3.4）,D正确.

故选：ABD

【点睛】方法点睛：联立直线/与抛物线C的方程组，消元后的一元二次方程判别式为△:

（1a>00直线/与抛物线c相交；（2）A=0O直线/与抛物线C相切；（3）A<°0直线/与抛物线C

相离.

三、填空题：本题共4小题.

中V2

—+--=1

13.椭圆96的离心率为

叵

【答案】3##3

【解析】

【分析】根据给定的椭圆，直接求出离心率即可.

【详解】椭圆5~6~的长半轴长。=3,半焦距c=圆二行=点,

,X2J,3Cy/3

---+--=16=-=

所以椭圆96的离心率a3.

色

故答案为：3

14.已知点“（T°7,'（6L-1）,若直线A3的-个方向向量为方=（-"二），则7+二=.

【答案】-4

【解析】

【分析】利用方向向量与共线向量的定义即可求得】'=一?：=-：可得结果.

【详解】易知二=（1工1）,显然方向向量"与融=（LU）共线,

即幺5=肪，解得4=-2,所以1=-2:=-2；

因此可得丁+二=-4；

故答案为：-4

48

【答案】T

【解析】

【分析】由递推公式可得々”+i,再由累乘法即可求得结果.

%4+i_3

aH+1=-----aH-------------

【详解】由"+1可得4"+1,

。加_/的&%_2x92x82x72x6_48

由累乘可得/°9/a7a69+18+17+16+15

48

故答案为：5

16.《测圆海镜》是金元时期李治所著中国古代数学著作，是中国古代论述容圆的一部专著，如第2卷第

8题的“弦外容圆”问题是一个勾股形（直角三角形）外与弦相切的旁切圆问题，已知在母占出。中

40,2）,8（2,0）,点C在第一象限，直线幺C的方程为1%+4=°,圆石1与延长

线、3C延长线及线段月C都相切，则圆后的标准方程为.

ri（一）2+卜-8-/（=（4产+2对

L合茶］\\/

【解析】

【分析】根据题意首先确定圆心后在3c的平分线2上，再利用点到直线距离列方程解得圆心为

川2,8+2炳），即可得出圆片的标准方程.

【详解】根据题意可知心>=T,直线的方程为°,

由，履上可得心，=1,所以直线8。的方程为x-jT=0,

x-2y+4=0

<

联立直线HC和3C的方程1*一丁一2=°,可得cr，6）；

由圆E与34延长线、延长线及线段4C都相切，由对称性可得圆心后在/，钳C的平分线上，即

x=2上；如下图所示：

|2—2||2-2/+4|

由直线与圆相切可得0君,解得：=8+2M或f=（舍）；

结合图形可知用"M），此时圆心为W+2ML半径为46+邛；

因此圆E的标准方程为（D+（—炳=卜/+明.

故答案为:（一），+（尸8-2烟*姐+2向

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用图形确定出圆心8在/，钻°的平分线'=2上，且在线段

的上方，列方程即可求得圆心坐标.

四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知点4Q-2）,8（1,-1）,直线/：、+二加1+1=0与直线＞15垂直.

（1）求加的值；

（2）若圆C经过点4E,且圆心C在I轴上，求点C的坐标.

2_

【答案】（1）T；

⑵（-L0）.

【解析】

【分析】（1）求出直线月方的斜率，再结合垂直的条件求出切的值.

（2）求出线段45的中垂线，再求出圆心「的坐标.

【小问1详解】

依题意，直线月3的斜率为1-0,由直线月3垂直于直线/,得2m,

1

m=­

所以

【小问2详解】

jv+3_

线段.45的中点坐标为‘2'2,则线段48的中垂线方程为.2-2,即

由圆C经过点AB,得圆心C在直线上，而圆心C又在：v轴上，

所以点c的坐标为（T，°）.

18.已知数列｛°』的前九项和为'，Sq+?$3=一1°.

（1）若是等比数列且公比9=-2,求％；

（2）若（%；是等差数列且』=一7,求号的最小值.

【答案】（1）-40

（2）,

【解析】

【分析】（1）求出首项后利用等比数列的基本量计算即可.

（2）求出通项公式，进而求出前〃项和公式，利用函数性质计算即可.

【小问1详解】

设首项为4,由题意得$4+2S?=-10,且｛aj是等比数列,

%(1-(沙)।%(1-(-2)3)__w

故1-(-2)1-(-2),解得4=-10,

则％=-1。x(-?)?=-40

【小问2详解】

设首项为4,公差为且1."是等差数列,

故T+竽"2x7+亨」）一。

解得d=5,

筌1"7）;与工

故4=-7+5(力—1)=—12

19

71=---QT

由二次函数性质得，当10时，Q”取得最小值，但力一定为正整数,

则当"=?时，S取得最小值，此时邑=S?=-9.

19.如图，在四棱锥尸一中，底面2月。。是正方形，P41底面HBCQ,PA=2AB=2.

（1）证明：BDLPC.

（2）求直线P3与平面PCD所成角的正弦值.

【答案】（1）详见解析；

(2)5

【解析】

【分析】⑴连接AC,根据底面是正方形，得到80_1_47,再由兄4_1底面-北3,得到

PALBD,从而有8。上平面&C得证；

(2)建立空间直角坐标系，求得平面PC。的一个法向量"=二)，设直线与平面尸CD所成的角

【小问1详解】

证明：如图所示:

连接AC,因为底面CO是正方形，

所以BZ)_Lac,又24_L底面25CD,

所以H4_LB0,

又HCcP4=H,ECu平面&C,H4u平面

所以1平面EEC,又尸Cu平面P4C,

所以50_1_尸0；

【小问2详解】

建立如图所示空间直角坐标系：

m|P(0,0,2),5(l,0,0),C(l,l,0),D(0,l,0)

火U

PB=：(1,0.-2),PC=(1A-2).PD«(0,1,-2)

设平面PCD的一个法向量为："二L'J，；I,

,另PC=0，+y-2==0

则1尸口=0,即［―,

令『=2,得二=1，*=°,则"=（°二」），

设直线尸8与平面ECD所成的角为6,

16二上停用卜斡*嬴］

X2V2

C：—r-4=1（々>0力>0）、,一丫

20.已知双曲线）匕r经过点（，-一），且C的一条渐近线的方程为】-L

（1）求c的标准方程；

（2）若点P是C的左顶点，M（加，冷是c上与顶点不重合的动点，从下面两个条件中选一个，求直线

尸M与EM的斜率之积.

①M,N关于原点对称；②M,N关于J轴对称.

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）55

（2）选①，答案为1；选②，答案为-1

【解析】

【分析】（1）根据渐近线方程得到二一，待定系数法求出。=6=正，得到双曲线方程;

（2）选①，得到*加工士拈，"（一九一冷，~~~~,由斜率公式计算出答案;

m勿_］

选②，得到“（加淖）,加~y（由斜率公式计算出答案.

【小问1详解】

bb1

cV=-K-=I

由题意得C的一条渐近线的方程为"a,故a

又/b2,解得a=b=小,

x3_y3

故C的标准方程为二

【小问2详解】

若选①，关于原点对称,

由题意得P卜有⑼，M（见吟加。土A,M（一肛5）,

若选②，M，“关于T轴对称,

由题意得网N（-见〃）

21.已知数列：为前几项和为S*

j_+_i_+_i_++」

⑴若%=求和：

>+LSis2S3Z

2S.,

---=4+1(a)

(2)若M，证明：是等差数列.

3_2n+3

【答案】⑴Z2("+1)(”+2)；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】（1）利用等差数列前八项和公式求出s”，再利用裂项相消法求和即得.

（2）根据数列前〃项和与第〃项的关系，结合等差中项的性质进行证明即可.

【小问1详解】

由劣=%+1,得。-1-%=(3+3)-(%+1)=2,即数列SJ是等差数列，

(

因此“-2■则E<n+2)3九+2),

7~+7-+7-+--+7-=4(1-3+(7-；)+(；-3+…+——)+(----7)]

所以耳S2s3用232435n-\«+1nn+2

1„111、32n+3

——(Id---------------)------------------

22n+ln+242(%+1)5