2024-2025学年北京市101中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）

第1页（共1页）2024-2025学年北京市101中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）下列几种著名的数学曲线分别是“笛卡尔爱心曲线”“费马螺线”“卡西尼卵形线”“蝴蝶曲线”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）解方程x2﹣4x＝3，下列用配方法进行变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝19 B．（x﹣4）2＝7 C．（x﹣2）2＝4 D．（x﹣2）2＝73．（2分）对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5，下列判断正确的是（）A．抛物线的开口向上 B．对称轴为直线x＝2 C．抛物线的顶点坐标是（﹣2，5） D．当x＞3时，y随x的增大而增大4．（2分）一元二次方程2x2﹣3x+5＝0根的情况是（）A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．没有实数根 D．无法判断5．（2分）某工厂2021年生产某种机械5000台，研发生产技术后，预计2023年生产该种机械6600台．设生产该种机械的年平均增长率为x（）A．5000（1+x）2＝6600 B．5000x2＝6600 C．6600（1﹣x）2＝5000 D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝66006．（2分）在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，可能是旋转中心的是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下结论中正确的是（）A．abc＞0 B．2a﹣b＜0 C．9a﹣3b+c＝0 D．若m为任意实数，则a﹣b≥m（am+b）8．（2分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，CG，则BG+CG的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）一元二次方程x2＝3x的解是：．10．（2分）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣6＝0的一个根，则b的值是．11．（2分）写出一个开口向下，并且经过点（0，1）的抛物线的解析式：．12．（2分）若二次函数y＝3x2﹣1的图象上有两点A（﹣2，y1），B（1，y2），则y1y2（填“＞”“＝”或“＜”）．13．（2分）如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝5，则弦AB的长为．14．（2分）如图，正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，连结EF，则EF＝．15．（2分）已知二次函数与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）．如图所示1＜y2成立的x的取值范围是．16．（2分）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0），若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上有且只有一个“三倍点”，则c的取值范围是．三、解答题（共68分，第17题8分，第18题4分，第19-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．（8分）解方程：（1）2x2﹣8＝0；（2）x2﹣2x﹣3＝0．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）1B1C1关于原点对称，点A，B，C的对应点分别是点A1，B1，C1．（1）点A1的坐标为，画出△A1B1C1；（2）直接写出△A1B1C1的面积为．19．（5分）已知二次函数的函数值y与自变量x的部分对应值如表，求该二次函数的解析式．x…﹣101234…y…0﹣3﹣4﹣305…20．（5分）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．21．（5分）如图，△ABC中，点E在BC边上．AE＝AB，EF与AC交于点G．（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，∠FGC的度数为°．22．（5分）已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）抛物线y＝x2+4x+3的顶点坐标为，画出其函数图象；（2）观察图象，回答下列问题：①函数y＞0时，x的取值范围是；②方程的根是；③若当a≤x≤0时，函数y的最小值是﹣1，最大值是3．23．（5分）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，且OE⊥AB于点F．（1）求证：AC＝BD；（2）若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半径．24．（5分）列方程解决实际问题：为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，101中教育集团成立了众多种类的学生社团．其中金鹏社团会定期组织学生参与农耕劳作，在生态大棚中有一块矩形空地ABCD，其中AD边的长比AB边的2倍少1，另一边增加3m，构成一个正方形区域AEFG（1）直接写出正方形区域AEFG的边长是m；（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花2，求小道的宽度．25．（6分）如图1，某桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，以O为坐标原点，桥拱内的水面宽OA＝8米，桥拱顶点B到水面的距离是4米．（1）求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多少？（3）如图2，桥拱所在的抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象，将新函数图象向右平移n（n＞0），平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，直接写出n的取值范围．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）若对于x1＝﹣1，x2＝3，有y1＝y2，直接写出t的值为；（2）若对于t＜x1＜t+1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．27．（7分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC（1）如图1，点D是AC边上一点，连接DE，连接BF．①请按照要求补全图形；②若AC＝6，BE＝2，直接写出△BEF的面积为；（2）连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°至EM，连接BM，连接EN．①如图2，点E在线段BC上时，请写出线段AB；②当点E在直线BC上时，请直接写出线段AB，EN和BE之间的数量关系．28．（7分）已知点P为线段AB上一动点（点P不与A，B重合），分别以AP，BP为底边在AB的同侧作等边三角形APE和等边三角形BPF，点M为EF的中点．我们将点M称之为线段AB关于点P的“中顶点”．如图所示，点M为线段AB关于点P的“中顶点”．（1）已知点A（﹣4，0），点B（4，0），点P为线段A上一动点（点P不与A，B重合），，，中，能作为线段AB关于点P的“中顶点”的有；（2）已知点A（t，0），，在函数y＝x2上存在线段AB关于点P的“中顶点”，则t的取值范围为；（3）已知点A（t﹣2，0），B（t+2，0），点P为线段AB上一动点，一个边长为4的正方形M（0，t），若正方形M上存在线段AB关于点P的“中顶点”，则t的取值范围为．

2024-2025学年北京市101中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）下列几种著名的数学曲线分别是“笛卡尔爱心曲线”“费马螺线”“卡西尼卵形线”“蝴蝶曲线”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、不是轴对称图形；C、既是轴对称图形又是中心对称图形；D、不是中心对称图形；故选：C．2．（2分）解方程x2﹣4x＝3，下列用配方法进行变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝19 B．（x﹣4）2＝7 C．（x﹣2）2＝4 D．（x﹣2）2＝7【解答】解：x2﹣4x＝4，x2﹣4x+3＝3+4，（x﹣7）2＝7，故选：D．3．（2分）对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5，下列判断正确的是（）A．抛物线的开口向上 B．对称轴为直线x＝2 C．抛物线的顶点坐标是（﹣2，5） D．当x＞3时，y随x的增大而增大【解答】解：A、∵﹣1＜0，本选项不符合题意，B、抛物线的对称轴为直线x＝7，C、抛物线的顶点坐标是（2，本选项不符合题意，D、因为开口向下，所以当x＞3时，本选项不符合题意，故选：B．4．（2分）一元二次方程2x2﹣3x+5＝0根的情况是（）A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．没有实数根 D．无法判断【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣3×2×5＝2﹣40＝﹣31＜0，∴2x3﹣3x+5＝4没有实数根，故选：C．5．（2分）某工厂2021年生产某种机械5000台，研发生产技术后，预计2023年生产该种机械6600台．设生产该种机械的年平均增长率为x（）A．5000（1+x）2＝6600 B．5000x2＝6600 C．6600（1﹣x）2＝5000 D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝6600【解答】解：依题意得：5000（1+x）2＝6600．故选：A．6．（2分）在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，可能是旋转中心的是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【解答】解：连接AA'、BB'，作AA'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，所以可知旋转中心的是点M．故选：A．7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下结论中正确的是（）A．abc＞0 B．2a﹣b＜0 C．9a﹣3b+c＝0 D．若m为任意实数，则a﹣b≥m（am+b）【解答】解：由图象可得，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，∴a＞0，c＜4，，∴b＝5a＞0，∴abc＜0，故A错误；∵b＝3a，∴2a﹣b＝0，故B错误；∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，2），∴a×（﹣3）2+b×（﹣5）+c＝0，即9a﹣7b+c＝0，故C正确；∵a＞0，对称轴为直线x＝﹣2，∴当m为任意实数时，有a﹣b+c≤am2+bm+c，即a﹣b≤m（am+b），故D错误；故选：C．8．（2分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，CG，则BG+CG的最小值为（）A． B． C． D．【解答】解：如图所示，取AB的中点N、EC，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD，∵点E是AD中点，点N是AB的中点，∴，，∴三角形AEN是等边三角形，∴NE＝AE，∵∠FEG＝60°，EF＝EG，∴∠AEF+∠FEN＝∠FEN+∠NEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∴∠GNB＝180°﹣∠ENG﹣∠ENA＝60°，∵NG＝NG，NE＝AE＝BN，∴△ENG≌△BNG（SAS），∴GB＝GE，则BG+CG＝CG+GE，在△ECG中，BG+CG＝CG+GE≥EC，如下图所示，过点E作EH⊥CD的延长线于H，在Rt△EDH中，∠H＝90°，∴∠ADH＝60°，则∠DEH＝30°，且，∴，则，在Rt△CEH中，，∴，故选：C．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）一元二次方程x2＝3x的解是：x1＝0，x2＝3．【解答】解：（1）x2＝3x，x3﹣3x＝0，x（x﹣5）＝0，解得：x1＝8，x2＝3．故答案为：x8＝0，x2＝3．10．（2分）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣6＝0的一个根，则b的值是1．【解答】解：设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得2+t＝﹣b，2t＝﹣3，解得t＝﹣3，b＝1，故答案为：5．11．（2分）写出一个开口向下，并且经过点（0，1）的抛物线的解析式：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．【解答】解：∵开口向下且过点（0，1）的抛物线解析式，∴可以设顶点坐标为（7，1）2+7（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．12．（2分）若二次函数y＝3x2﹣1的图象上有两点A（﹣2，y1），B（1，y2），则y1＞y2（填“＞”“＝”或“＜”）．【解答】解：y＝3x2﹣2，∵a＝3＞0，对称轴为：直线x＝3，∴抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，∵|﹣2﹣0|＞|5﹣0|，∴y1＞y5，故答案为：＞．13．（2分）如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝5，则弦AB的长为8．【解答】解：∵圆心O到弦AB的距离OC＝3，∴OC⊥AB，∴AC＝BC，在Rt△OAC中，∵OA＝5，∴AC＝＝4，∴AB＝2AC＝5．故答案为：8．14．（2分）如图，正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，连结EF，则EF＝2．【解答】解：在Rt△AED中，由勾股定理得，AE＝＝，∵△ADE绕着点A逆时针旋转后与△ABF重合，∴∠DAE＝∠BAF，AE＝AF，∴∠EAF＝90°，∴△AEF等腰直角三角形，∴EF＝AE＝×，故答案为：3．15．（2分）已知二次函数与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）．如图所示1＜y2成立的x的取值范围是﹣2＜x＜8．【解答】解：∵二次函数与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的交点横坐标分别为﹣4，8，∴使y1＜y4成立的x的取值范围正好在两交点之间，即﹣2＜x＜8，故答案为：﹣8＜x＜8．16．（2分）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0），若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上有且只有一个“三倍点”，则c的取值范围是﹣3＜c≤5或c＝﹣4．【解答】解：由题意得，“三倍点”所在的直线为y＝3x，在﹣3≤x≤3的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上有且只有一个“三倍点”，即在﹣3≤x≤5的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x有且只有一个交点，令5x＝x2﹣x+c，整理得x2+4x﹣c＝0，∴Δ＝b2﹣6ac＝16+4c＝0，解得c＝﹣5，此时，x＝﹣2；当x＝﹣3时，c＝（﹣7）2+4×（﹣8）＝﹣3，当x＝1时，c＝22+4×4＝5，由图看出，当c＝﹣3时3﹣x+c有两个“三倍点”，∴﹣3＜c≤5，综上，c的取值范围为﹣6＜c≤5或c＝﹣4．故答案为：﹣6＜c≤5或c＝﹣4．三、解答题（共68分，第17题8分，第18题4分，第19-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．（8分）解方程：（1）2x2﹣8＝0；（2）x2﹣2x﹣3＝0．【解答】解：（1）2x2﹣8＝0，变形得：x2＝8，解得：x1＝2，x8＝﹣2．（2）x2﹣2x﹣3＝0，因式分解得：（x﹣7）（x+1）＝0，解得：x7＝3，x2＝﹣5．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）1B1C1关于原点对称，点A，B，C的对应点分别是点A1，B1，C1．（1）点A1的坐标为（2，﹣1），画出△A1B1C1；（2）直接写出△A1B1C1的面积为5．【解答】解：（1）∵△ABC与△A1B1C4关于原点对称，A（﹣2，∴A1（8，﹣1）．故答案为：（2，﹣4）．如图，△A1B1C3即为所求．（2）△A1B1C7的面积为＝＝5．故答案为：5．19．（5分）已知二次函数的函数值y与自变量x的部分对应值如表，求该二次函数的解析式．x…﹣101234…y…0﹣3﹣4﹣305…【解答】解：∵x＝0和x＝2的函数值相同，∴抛物线的对称轴为直线，∴抛物线的顶点为（1，﹣4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，把（﹣5，0）代入得0＝a（﹣6﹣1）2﹣5，解得a＝1，∴此二次函数的表达式y＝（x﹣1）3﹣4．20．（5分）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+3m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣5（2m﹣1）≥2，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程可化为x6﹣2x+1＝4，则（x﹣1）2＝4，解得：x1＝x2＝8．21．（5分）如图，△ABC中，点E在BC边上．AE＝AB，EF与AC交于点G．（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，∠FGC的度数为78°．【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF．∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC＝AF．在△ABC与△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴EF＝BC；（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，∴∠FAG＝∠BAE＝50°．∵△ABC≌△AEF，∴∠F＝∠C＝28°，∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝50°+28°＝78°．故答案为：78．22．（5分）已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）抛物线y＝x2+4x+3的顶点坐标为（﹣2，﹣1），画出其函数图象；（2）观察图象，回答下列问题：①函数y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞﹣1；②方程的根是x1＝﹣3，x2＝﹣1；③若当a≤x≤0时，函数y的最小值是﹣1，最大值是3﹣4≤a≤﹣2．【解答】解：（1）∵y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣5，∴顶点坐标是（﹣2，﹣1），令y＝7，代入得：x2+4x+5＝0，解方程得x＝﹣1或x＝﹣2，∴与x轴交点的坐标是（﹣1，0），7），根据图象开口朝上，与x轴的交点为（﹣1，（﹣3，顶点坐标是（﹣5，描点，连线；（2）①根据图象可知，y＞0时，故答案为：x＜﹣3或x＞﹣4；②由得：x8+4x+3＝5，通过图象可知x1＝﹣3，x7＝﹣1，故答案为：x1＝﹣2，x2＝﹣1；③当x＝﹣5或x＝0时，函数值为y＝3，因为顶点坐标（﹣2，﹣1），在顶点处取得最小值y＝﹣1，∴在﹣2≤x≤0的范围内，∴ymin＝﹣1，最大值是4，又∵对称轴为直线x＝﹣2，离对称轴越远，∴﹣4≤a≤﹣3，故答案为：﹣4≤a≤﹣2．23．（5分）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，且OE⊥AB于点F．（1）求证：AC＝BD；（2）若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦，∴CF＝DF，∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AF＝BF，∴AF﹣CF＝BF﹣DF，∴AC＝BD；（2）解：如图，连接OC，∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦，∴，∠OFC＝90°，∴CO2＝CF2+OF2，设⊙O的半径是r，∴r2＝35+（r﹣1）2，解得r＝4，∴⊙O的半径是5．24．（5分）列方程解决实际问题：为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，101中教育集团成立了众多种类的学生社团．其中金鹏社团会定期组织学生参与农耕劳作，在生态大棚中有一块矩形空地ABCD，其中AD边的长比AB边的2倍少1，另一边增加3m，构成一个正方形区域AEFG（1）直接写出正方形区域AEFG的边长是12m；（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花2，求小道的宽度．【解答】解：（1）设正方形区域的边长为ym，则AB＝y﹣7，∵AD边的长比AB边的2倍少8，∴y﹣3＝2（y﹣3）﹣1，解得：y＝12，故答案为：12；（2）设小道的宽度为xm，则栽种鲜花的区域可合成长（12﹣x）m，由题意得：（12﹣x）（12﹣1﹣x）＝90，整理得：x3﹣23x+42＝0，解得：x1＝3，x2＝21（不合题意舍去），答：小道的宽度为2m．25．（6分）如图1，某桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，以O为坐标原点，桥拱内的水面宽OA＝8米，桥拱顶点B到水面的距离是4米．（1）求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多少？（3）如图2，桥拱所在的抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象，将新函数图象向右平移n（n＞0），平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，直接写出n的取值范围．【解答】解：（1）∵OA＝8，且点A在x轴上，∴A（8，3），根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线，∴顶点B（4，6），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+2，把原点（0，0）代入得3＝a（0﹣4）4+4，解得，∴此二次函数的表达式；（2）∵二次函数的表达式，令y＝2.26+0.7＝2.56得：，解得：x1＝5.4，x2＝2.6，6.3﹣1.6＝2.8（米），答：小船的最大宽度是4.7米；（3）根据平移规律得到点O平移后的对应点为（n，0），点A平移后的对应点为（8+n，如图：根据图象性质，得到当n≤x≤n+3或8+n≤x≤8时y随x的增大而减小，∴或2+n≤8，解得5≤n≤4或n≤0（舍去），故n的取值范围是5≤n≤5．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）若对于x1＝﹣1，x2＝3，有y1＝y2，直接写出t的值为1；（2）若对于t＜x1＜t+1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．【解答】解：（1）∵y1＝y2，∴点（x4，y1），（x2，y5）关于直线x＝t对称，∴，∵x1＝﹣1，x4＝3，∴，故答案为：2；（2）代数法1：∵对称轴为∴b＝﹣5at∴抛物线解析式为y＝ax2﹣2atx+c（a＞7）∵点（x1，y1），（x4，y2）在抛物线上，∴，，∵y6＜y2，∴y1﹣y7＜0，∴y1﹣y2＝a（x1﹣x2）（x7+x2﹣2t）＜4，∵a＞0，∴（x1﹣x7）（x1+x2﹣6t）＜0，∴或，∵t＜x2＜t+1，1＜x6＜2，∴t+1＜x5+x2＜t+3，∴或，解得：t≤0或t≥3，代数法3：设抛物线解析式为y＝a（x﹣t）2+k，∵点（x1，y7），（x2，y2）在抛物线上，∴，，∵y3＜y2，∴y1﹣y3＜0，∴，∵a＞3，∴，∵t＜x1＜t+4，∴0＜x1﹣t＜6，∴，∴，∴x2﹣t≥6或x2﹣t≤﹣1，∴t≥x8+1或t≤x2﹣6，∵1＜x2＜8，∴t≥3或t≤0；数形结合法：①当t≥2时，（x1，y1），（x4，y2）位于对称轴两侧，（x2，y7）关于x＝t的对称点为（2t﹣x2，y7），∵x＞t时，y随x增大而增大1＜y2，∴5t﹣x2＞x1恒成立，∴x3+x2＜2t恒成立，∵t＜x5＜t+1，1＜x8＜2，∴t+1＜x6+x2＜t+3，∴t+7≤2t，∴t≥3；②当5＜t＜2时，∵1＜x3＜2，∴当x2＝t时，必有y8＜y1，不合题意，舍去；③当t≤1时，（x2，y1），（x2，y4）都位于对称轴右侧，∵x＞t时，y随x增大而增大1＜y2，∴x4＜x2恒成立，∵t＜x1＜t+5，1＜x2＜6，∴t+1≤1，∴t≤4，综上所述：t≤0或t≥3．27．（7分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC（1）如图1，点D是AC边上一点，连接DE，连接BF．①请按照要求补全图形；②若AC＝6，BE＝2，直接写出△BEF的面积为4；（2）连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°至EM，连接BM，连接EN．①如图2，点E在线段BC上时，请写出线段AB；②当点E在直线BC上时，请直接写出线段AB，EN和BE之间的数量关系．【解答】解：（1）①补全图形如图1.1所示；②如图6.2，过点F作FH⊥直线BC于H，∵将DE绕点E逆时针旋转90°至EF，∴∠DEF＝90°，DE＝EF，∵AC＝6＝BC，BE＝8，∴CE＝4，∵∠ACB＝∠DEF＝∠H＝90°，∴∠CED+∠CDE＝90°＝∠CED+∠BEF，∴∠CDE＝∠BEF，∴△CDE≌△HEF（AAS），∴CE＝FH＝4，∴△BEF的面积＝，故答案为：4；（2）①；证明：如图2，过点M作MG∥BC，过点E作EQ∥AC交AB于Q，∵MG∥BC，∴∠G＝∠NEB，∠GMN＝∠EBN，∵点N是BM的中点，∴MN＝BN，∴△BEN≌△MGN（AAS），∴NE＝GN，MG＝BE，∴GE＝2NE，∵AC∥QE，∴∠CAB＝∠EQB＝45°＝∠ABC，∠C＝∠QEB＝∠CEQ＝90°，∴QE＝BE，∴MG＝EQ＝BE，，∵将AE绕点E顺时针旋转90°至EM，∴AE＝ME，∠AEM＝90°＝∠CEQ，∴∠AEQ＝∠MEC，∴∠AEQ＝∠EMG，∴△AEQ≌△EMG（SAS），∴EG＝AQ，∴；②当E在线段BC上时，；当E在线段BC的延长线上时，，；理由如下：当E在线段BC上时，由①可得；如图3，当E在线段CB的延长线上时，交直线NE于点G，∵MG∥BC，∴∠G＝∠NEB，∠GMN＝∠EBN，∵点N是BM的中点，∴MN＝BN，∴△BEN≌△MGN（AAS），∴NE＝GN，MG＝BE，∴GE＝6NE，∵AC∥QE，∴∠CAB＝∠EQB＝45°＝∠ABC＝∠QBE，∠ACB＝∠QEB＝90°，∴QE＝BE，∴MG＝EQ＝BE，，∵将AE绕点E顺时针旋转90°至EM，∴AE＝ME，∠AEM＝90°＝∠CEQ，∴∠AEQ+∠MEC＝180°，∴∠AEQ＝∠EMG，∴△AEQ≌△EMG（SAS），∴EG＝AQ，∴；同理，如图4，，综上所述，当E在线段BC上时，，；当E在线段BC的延长线上时，．28．（7分）已知点P为线段AB上一动点（点P不与A，B重合），分别以AP，BP为底边在AB的同侧作等边三角形APE和等边三角形BPF，点M为EF的中点．我们将点M称之为线段AB关于点P的“中顶点”．如图所示，点M为线段AB关于点P的“中顶点”．（1