2023年高考数学一轮复习：复数（重点）原卷版

考向05复数

【2022年新高考全国I卷】若i(l-z)=l,贝l|z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的除法可求z,从而可求z+2.

【详解】

由题设有l_z=：=q=_i,故z=l+i,故z+N=(l+i)+(l_i)=2,

故选：D

【2022年新高考全国n卷】(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的乘法可求(2+2i)(l-2i).

【详解】

(2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,

1.求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z=a+初(a,beH),则该复数的实部为

a,虚部为

2.求一个复数的共辗复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原

复数的共轨复数.

3.复数z、复平面上的点Z及向量oZ相互联系，即z=a+历(。力eR)oZ(a,b)oOZ=(a力).

4.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题

时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

5.复数的加减法：在进行复数加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部

与虚部相加减)计算即可.

6.复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的

看作另一类同类项，分别合并即可.

7.复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共辗复数，解题中要注意把i的幕写成最简形式.

常用结论：

⑴(l±z)2=±2z,1^=z,^—^=-z

l-il+i

(2)-b+ai-i(a+bi).

(3)严=1,产力=1,产+2=—1,产+3=_*〃eN*)；产+产+】+产+2+产+3=0(〃eN*)

⑷Z•彳=|z|2=|彳|2,归,月讣同，:|z[=|zr

,易错点

1.复数的有关概念

(1)复数的概念：

形如a+砥a,beR)的数叫复数，其中〃分别是它的实部和虚部.若人=0,则。+方为实数；若AwO,

则。+初为虚数；若。=0且bwO,则。+初为纯虚数.

(2)复数相等：a+bi=c+dioa=c且b=d(a,b,c,deR).

(3)共辗复数：。+初与c+di共趣oa=c,Z?=-d(a,dc,deR).

(4)复数的模:

向量QZ的模叫做复数z=Q+Z?i（〃,Z?£R）的模，记作忖或|〃+历|,BP|z|=|a+bi|=y/a2+b2.

2.复数的几何意义

一一^对应

(1)复数z=a+bi------►复平面内的点Z(a,b)(a,bGR).

一一^寸应

(2)复数Z=Q+/?2(Q/£尺)^------►平面向量。Z.

3.复数的运算

设Z]=a+bi.z2=c+di(a,b,c,de7?),贝！J

(1)加法：zx+z2={a+bi)+(c+di)=(tz+c)+(Z?+d)i；

(2)减法：zi-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i；

(3)乘法：Zjz2=(a+bi)-(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；

4a+bi(a+bi)(c—di)ac+bdbe-ad

（4）除法:H-5-------:i(c+diw0).

c+di(c+di)(c-di)c2+d2c+d

2-i

（2022•全国•模拟预测）7^—y

13.

---------1

22

2.（2022.全国.模拟预测）若复数z满足（2+i）z=|道-i3|（i为虚数单位），则在复平面内z所对应的点位

于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

Y—2i

3.（2022•青海•模拟预测（理））若V=2y（x,yeR,i为虚数单位），则复数x+M在复平面内所对

应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.（2022•广东茂名.二模）已知复数z在复平面内对应的点为（1,1）,彳是z的共朝复数，则二=（）

Z

5.（2022.江苏无锡.模拟预测）已知复数z满足（、i）i=4+3i,则忖=（）

A.2卡B.3C.2A/3D.3亚

1.（2022・山东聊城.三模）若复数z满足z+3i=Z，则复数z的虚部为（）

33〃3.3.

A.-B.—C.-1D.—1

2222

2.（2022.江苏•扬中市第二高级中学模拟预测）若i为虚数单位，复数z满足iw|z+l+i|40,则的

最大值为.

3.（2022・上海•模拟预测）若1-后（i是虚数单位）是关于x的实系数方程/+法+。=0的一个复数根，

则不=.

4.（2022・天津•静海一中模拟预测）已知复数z满足z（l+i）=3-4i（其中i为虚数单位），则|力=

5.（2022.全国.模拟预测）请写出一个同时满足①|z-况+-2卜②，=2的复数z,z=.

6.（2022•全国•模拟预测）若复数z满足z-（l+2i）=6i,则］=（）

126.「126,126.卜126.

AA.--F—1B.----1C.---F—1D.-----1

55555555

7.（2022・福建•三明一中模拟预测）己知i是虚数单位，若层=。十万（a,beR）,则的值是（）

1+1

A.—1B.—C.—D.1

32

8.（2022•河南省杞县高中模拟预测（理））己知复数z满足（l+2i）z-l—i=0,则z的虚部为（）

A.—B.—iC.—D.—

5555

9.（2022•河南安阳•模拟预测（理））^z=x+yi（xeZ,yeZ）,则满足z-Zl的复数z的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

10.（2022・浙江绍兴.模拟预测）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到

分数、从有理数到实数等等.16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了i?=T，17

世纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”,用。+历（。、beR）表示复数,并在直角坐标系上建立了“复平面”.若

复数Z满足方程Z2+2Z+5=0,则2=（）

A.-l+2iB.-2-iC.-l±2iD.-2±i

11.（2022.河南.开封市东信学校模拟预测（理））复数z满足i2°22z=,,则复数z=（）

4-31

A43.n43.43.43.

55555555

12.（多选题）（2022•江苏南京•模拟预测）任何一个复数z=a+庆（其中。、bwR,i为虚数单位）都可以

表示成：z=r（cos6+z-sin。）的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：

z"=[r（cos，+isin。）]"=r"（cosMd+isin"，""w做）,我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列

说法正确的是（）

A.归卜，

7T

B.当尸=1,。=彳时，z3=l

C.当r=l,g时，z=--^z

322

-TT

D.当r=l,，=?时，若，为偶数，则复数z"为纯虚数

4

13.（2022.上海・位育中学模拟预测）如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+4+2i|的最大值是.

真题练

1.（2022・北京・高考真题）若复数z满足i-z=3-4i,则|z|=（）

A.1B.5C.7D.25

2.（2022・浙江・高考真题）已知〃,beR,〃+3i=S+i）i（i为虚数单位），则（）

A.ci=l,b=-3B.CL=—l,b=3C.a=-1,t>=-3D.a=l,b=3

3.（2022•全国•高考真题（理））若z=T+/,贝（）

ZZ

A.-1+V3iB.-1-731C.一"D,，一回

3333

4.（2022•全国•高考真题（理））已知z=l-2"且z+应+Z?=0,其中〃，匕为实数，则（

A.a=l,b=—2B.a=—l,b=2C.a=l,b=2D.a=—l,b=—2

5.（2022•全国・高考真题（文））若z=l+i.则山+3利=（）

A.4岔B.4近C.2A/5D.20

6.（2022•全国•高考真题（文））设（l+2i）a+8=2i,其中a,6为实数，则（）

A.ci=l,b=-1B.«=1,Z?=1C.〃=—1,6=1D.a=-l,b=-l

复数累在复平面内对应的点所在的象限为（）

7.（2021.全国.高考真题）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.（2021•北京・高考真题）在复平面内，复数z满足d-i）z=2,则2=()

A.—1—iB.—1+iC.1—zD.1+i

9.（2021.全国.高考真题）已知z=2—i,贝iJz(N+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

10.（202（全国・高考真题(文))已知(l-i)2z=3+2i,贝！］z=()

33.33

A.-1——iB.-l+-zC.——+zD.------1

2222

11.（2021.全国•高考真题(理))设2(z+z)+3(z-z)=4+6l,则Z=()

A.1-2/B.l+2zC.1+iD.1—z

12.（2021•全国•高考真题(文))设iz=4+3i,贝ijz=()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

13.（2021・浙江・高考真题）已知aeR,(l+ai)i=3+i,(i为虚数单位)，则()

A.-1B.1C.-3D.3

14.（2022.上海.高考真题）已知z=2+i,贝|N=________

9+2i

15.（2021・天津・高考真题）i是虚数单位，复数丹=______

2+i

基础综

1.【答案】B

2-i(2-i)(l-i)l-3i_l3.

T+T-(l+i)(l-i)~2

故选：B.

2.【答案】D

【解析】因为（2+i）z=2T，gp（2+i）z=|V3+i|,故z=2=（2j：（2L）=»所以在复平面内

z所对应的点为（［厂|）,位于第四象限.

故选：D.

3.【答案】C

【解析】因三步“，则有1f+2"而…R,有解得—,

所以复数无+yi在复平面内所对应的点（-2,-1）位于第三象限.

故选：C

4.【答案】B

【解析】•••复数z在复平面内对应的点为（1,1）,

z=l+i,z=1—i,

11+i1+i11.

-=---------------==—I-1

z(l-i)(l+i)222,

故选：B.

5.【答案】D

【解析】依题意，1-i=3,则有I=(4+、),i)+i=3-4i+i=3-3i,于是得z=3+3i,

1i-(-i)

所以忖=，32+3?=3A/2.

故选：D

提升练

1.【答案】B

【解析】设2=。+历（。］€1＜）,则一历，

3

因为z+3i=z,则a+（b+3）i=a-6i,所以，b+3=-b,解得。=-耳,

3

因此，复数z的虚部为

2

故选：B.

2.【答案】3拒

【解析】复数z满足1业+1+怔0,gpi<|z-(-l-i)|<V2

即复数z对应的点Z到点C(-l,-l)的距离d满足1vdV行

设P(U),|z-l-i|表示复数z对应的点Z到点P(U)的距离

数形结合可知|z-1-i|的最大值|AP|=|cp|+夜=722+22+夜=372

故答案为：3亚

3.【答案】—##0.0625

16

【解析】•••实系数一元二次方程Y+"+c=o的一个虚根为1一指i,

其共轨复数1+6，也是方程的根.

0_匈+(1+匈=-6

由根与系数的关系知,

(l-V3i)(l+^i)=c

/.b=-2,c=4.

故答案为：—

16

4.【答案】述

2

【解析】由z(l+i)=3—4i得z="二O-O)(>i):3—3i-4i—4

所以故

1+i22

|z|=

故答案为:还

2

5.【答案】±(l+i)

【解析】设2=“+历，a,/^^由条件①可以得到"+^^小加臼②+匕两边平方化简可得.功,

^|z|"=2=>a2+b2=2=>a=b=+l,z=±(l+i)；

故答案为：±(l+i)

6.【答案】B

【解析】因为6i(l-2i)12+6i126.

z=^----------------------------------1---1

(l+2i)(l-2i)555

所以三*g.

故选：B

7.【答案】D

【解析】由复数的运算法则，可得币1-i=局岸=7,

因为---=a+bi(a,beR),即a=O,Z?=—l,所以=

1+i

故选：D.

8.【答案】C

【解析】由题意知z=^(l+i)(l-2i)_3-i^31.

(l+2i)(l-2i)-^-_5-51

所以z的虚部为-g.

故选C.

9.【答案】D

【解析】因为z，Wl，所以Y+y2vi,而xeZ,yeZ,所以当x=-l时，y=0；当x=0时，y=l或＞=-1

或V=0;当x=l时，7=0,即满足z；wl的复数z的个数为5.

故选：D.

10.【答案】c

【解析】设2=。+历(a,6wR),HZ2+2Z+5=0,则(a+bi)?+2(a+6i)+5=。,

a2-b2+2a+5=0a——1

即(a?+2°+5)+2b(a+l)i=0,而a,6eR,贝I]，解得

2gz+l)=0b=±2

所以z=-l±2i.

故选：C

11.【答案】D

【解析】由]2=-1]=1可得则-Z=5g：：)1+".-.Z=4-ji.

')(4-31)(4+31)5555

故选：D.

12.【答案】AC

【解析】对于A选项，z=r(cose+isine),贝ljz?=/(cos2g+，sin2e),可得团=尸(cos26+isin2e)|=/,

|z|2=|r(cos6,+zsin^)|2=r2,A选项正确；

对于B选项，当丁=1,夕=耳时，z?=(cos6+isin。)=cos30+isin30=cos?sin^=-1,B选项错误；

对于C选项，当r=1,8=f时，z=cos—+zsin—=\乌,则i,C选项正确；

3332222

对于D选项，zn-(cos0+zsin6)"=cosnO+zsinnO=cos与+zsin等,

取九=4,贝IJ"为偶数，则z4=cos%+isin/=-1不是纯虚数，D选项错误.

故选：AC.

13.【答案】5

【解析】设2=了+同，x,yeR,则也2+什+1)2+击2+6])2=2,

变形为J/+(y+l)2=2-^2+(y-l)2,两边平方后得到1-y=,

两边平方后得到x=0,将x=0代入G+(y+l)2+/2+什一if=2,

即|y+l|+»T|=2,故-LVyWl,

贝1||z+4+2i|=^(x+4)2+(y+2)2=^16+(y+2)2,

当y=l时，|z+4+2i|=J16+(y+2『取得最大值,最大值为5

故答案为：5

真题练

1.【答案】B

【解析】由题意有z=7=0：：［、(=_4_予,故|2|=八一4『+(-3)2=5.

故选：B.

2.【答案】B

【解析】a+3i=-l+M,而a,方为实数，故a=T,6=3,

故选：B.

3.【答案】C

【解析】z=-l-V3i,zz=(-l+73i)(-l-A/3i)=l+3=4.

z-1+后16.

--=----=--1--1

ZZ-1333

故选：C

4.【答案】A

【解析】2=1+2i

z+az+Z7—1—2i+a(l+2i)+b=(1+a+Z?)+(2Q—2)i

1+Q+Z?=0a=1

由z+az