2024-2025学年河北省衡水市故城县某中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省衡水市故城县郑口中学高二（上）开学数学试

卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知复数z满足z=2+i,贝！J|z|=（）

A.1B.72C.73D.<5

2.设集合a={%|1<%<3},B={x\x2-2%-8<0},则4UB=()

A.{x|-2<x<4]B.{x|l<%<2}C.{x|-4<x<3}D.{x|l<x<4]

3若a=log。/,b=log23,c=log69,则()

A.c>b>aB.b>c>aC.c>a>bD.a>b>c

4.高三某班56人参加了数学模拟考试，通过抽签法，抽取了8人的考试成绩如下：73,71,91,80,82,

85,106,93,则这组数据的中位数与70%分位数分别为（)

A.81,95.5B.81,85C.83.5,92D.83.5,91

l+cos20

5.若tern。=—2,则

sin20=()

,4

AcD-3

A。3B「|--l

6.已知AABC中,角力，B,C所对的边分别为a,b,c,若2b2一2口2=3。+18,且c=3,贝！JeosB的值为

()

AA.—E—D.-i

4B二444

21TL26>2,且g(x)=/Q)-a,

7.已知函数/'（X）=若函数有3个不同的零点，则实数a的

—xz+6x—6,x>2

取值范围为（）

A.(1,2)B.(1,3)C.[1,2]D.[1,3]

8.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一

种喜庆的氛围.如图1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球

面的一部分（除去两个球缺）.如图2,“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺

的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为U=g（3R-h）F,其中R是球

的半径，八是球缺的高.已知该灯笼的高为40an,圆柱的高为4czn,圆柱的底面圆直径为24cm,则该灯笼

的体积为（取兀=3）（）.24cm

4cm

h

40cm

/R

A.32000cm3B.33664cm3C.33792cm3D.35456cm3

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知平面向量五=(1,=(3,7-3),则下列说法正确的是()

A.|a+b|=2V~7B.b•(h—a)=6

C.2与3的夹角为亨D.2在B上的投影向量为颉

1

10.如图1,在等腰梯形4BCD中，AB//CD,DA=AB=BC=^CD,E为CD中点，将△D4E沿4E折起，使

。点到达P的位置(点P不在平面力8CE内)，连接PB,PC(如图2),则在翻折过程中，下列说法正确的是()

A.8c〃平面P4E

B.PB1AE

C.存在某个位置，使PC,平面P4E

D.PB与平面4BCE所成角的取值范围为(0,今

11.设函数的定义域为R,/(x—1)为奇函数，/(久+1)为偶函数，当％6(—1,1］时，/(x)=—/+1,

则下列结论正确的是()

A./(1)=5|B.点(3,0)是函数f(x)的一个对称中心

C./(%)在(6,8)上为增函数D.方程/(x)+Igx=0仅有6个实数根

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数中)=｛图芸j；＞2财⑷=一.

13.甲、乙两支羽毛球队体检结果如下：甲队的体重的平均数为60kg,方差为100,乙队体重的平均数为

64kg,方差为200,又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：3,那么甲、乙两队全部队员的方差等于

14.如图，|丽=|函=1，(瓯函=:，点C在以。为圆心的圆弧4B上运动,

则5•方的取值范围是.

O

四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数/'(x)=2sinxcosx+2V_3cos2x—y/~3.

(1)求/'(%)的图象的对称中心和对称轴；

(2)当％e[-睛]时,求/(%)的最值.

16.(本小题15分)

.1

已知△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为2a(csinC+6s讥B—as讥力).

(1)求4

(2)若a=2,且△ABC的周长为5,设D为边BC中点，求4D.

17.(本小题17分)

如图，在三棱锥P-2BC中，P21平面ABC,AC1BC,PA=AC=1,BC=y[2.

(I)求三棱锥P—48c的体积；

(II)求证：平面R4cl平面PBC；

(III)设点。在棱PB上，AD=CD,求二面角。一AC—B的正弦值.

18.(本小题17分)

已知定义域为/=(-OO,0)U(0,+8)的函数/(X)满足对任意久1，X26(-00,0)U(0,+00),都有/(%1久2)=

Xlf(X2)+X2f(x1).

(1)求证：/(x)是奇函数；

(2)设9(久)=?,且X>1时g(x)<0,

①求证：g(%)在(0,+8)上是减函数；

②求不等式g(2%-1)>g(3%)的解集.

参考答案

1.D

2.A

3.B

4.0

5.B

6.D

1.B

8.F

9.ABD

10.ABD

11.BCD

12.1

13.178

1

14.[--,0]

15.解：⑴由题意，得/(%)=2sinxcosx+2V_3cos2%—V-3=sin2x+yj~^cos2x=2sin(2x+号).

令2%+J=kri(keZ)，解得％=-?+”(k£Z),

3oZ

所以函数的对称中心为(―2+:,0)(/cEZ).

令2x+\=kn+(fcEZ),%=亨+，(/c€Z),

所以函数的对称轴方程为+?kGZ)；

(2)当％€[冶,刍时,2x+E

所以sin(2%+^)6[―苧,1],

当2%+g=-狎％=—轲，函数/(%)取得最小值为一门；

当2%+号=3即％=工时，函数/(%)取得最大值为2.

11

16.解：(1)依题意，-a(csinC+bsinB—asinA)=-absinC,

所以csiziC+bsinB-asinA=bsinC,

由正弦定理可得，c2+h2—a2=be.

由余弦定理，c2+b2—a2=2bccosA,解得cos/=

因为/C(0,7T),所以/=全

(2)依题意，b+c=5—a=3,

因为c?+—儿=(b+c)2—3bc=a2,解得be=

因为历=g(荏+而)，

所以前2=；须+硝2="乎=小沁=:1=也

所以2。=萼.

6

17.(1)解：因为4C1BC,AC=1,BC=^2,

所以S—BC—x1xV-2=

因为PA1平面ABC,

1CC

X1X

所以三棱锥P-ABC的体积U=gPA•SNBC3-2-6

(II)证明：因为P力，平面ABC,BCu平面PBC,

所以PA1BC,

又ACA.BC,PAnAC=A,PA,4Cu平面P4C,

所以8C，平面P",

因为BCu平面PBC,

所以平面PAC_L平面PBC.

(Ill)解：过点D作。E14B于E,取AC的中点F,连接EF,EF,

因为PH1平面4BC,PAc.^-^PAB,

所以平面R4B1平面力BC,

又平面P4Bn平面ABC=AB,DEu平面P4B,

所以DE1平面ABC,DE//PA,

所以OF在平面48c上的投影为EF,

因为4D=CD,且F是AC的中点，所以。F12C,

所以EF1AC,

所以NDFE是二面角D-4C-B的平面角，

因为EF14C,ACLBC,F是力C的中点，所以E是4B的中点，EF=；BC=号,

又DEHPA,所以。是PB的中点，DE=jp/l=|,

在Rt△DE尸中，DF=yjDE2+EF2=

2

1

所以siMDFE=^=^=早’

~T

即二面角D-AC-8的正弦值为?.

1

18.解：(1)取%1=%2=1，可得f⑴=o,取=%2=—L可得/(T)=一寸⑴=0-

取第1=X,%2=—1，可得/(—%)=-/(%)+x/(—1)=—/(%).

・•・/"（%）是奇函数.

⑵①/（尤）是奇函数，g。）=