抽象函数讲义- 高三数学一轮复习

抽象函数

1、函数单调性的定义与逆用；

2、函数奇偶性的定义与性质；

教学目标

3、抽象函数性质的提取，抽象函数不等式的转换；

4、会解决转化后的不等式恒成立问题；

重点抽象函数性质的判定和应用

难点抽象函数性质的综合应用

-知识梳理

一、定义：抽象函数问题，一般指没有给出具体函数解析式，只给出了其他一些条件(如函数定义域、解

析递推式、取值情况、性质、图像特征等)，研究解决这个函数的解析式、性质或与函数相关的参数范围、

求值、不等式(或方程)解、图象、比较大小等问题.这类问题具有概念抽象、综合性强、方法灵活等特点.

抽象函数问题既是学习的难点，也是高考的热点，认真学习它是提高学生数学能力和创新能力的有效途径.

二、常见的抽象函数模型：

①正比例函数模型：f(x)=kx,k^O------f(x+y)=f(x)±f(y).

②幕函数模型：/(x)=x*——/(xy)=/(x)-/(y)；/f-V4H.

⑴Ay)

③指数函数模型：/(%)=优------/(x+j)=/(x)./(y)；=黑.

(、

④对数函数模型：/(%)=iogax—/(孙)=/(九)+，(y)；f-=»/(，).

/(x)+/(y)

⑤三角函数模型：f(x)=tanx------f(x+y)=

三、归纳方法:

1、观察不等式两端的特点，化为同类函数；

2、借助函数的单调性，脱掉“/”；

3、注意定义域及单调区间，特别是对数函数中真数大于0.

(一)抽象函数的定义域、递推关系、值域

【例1】⑴已知函数/(%)的定义域为[0,4],求函数y=/(x+3)+/(/)的定义域为

(2)已知函数/(必―2x+2)的定义域为[0,3],求函数/(x)的定义域.

33

【例2】(1)已知定义在R上的函数/(x)的值域为［-—则函数/(x+1)的值域为.

28

(2)设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)=x+g(x)在区间［3,4］上的值域为［-2,5］,

则/(x)在区间［-10,10］上的值域为.

7

【例3】已知函数/(尤)是定义在(0,+oo)上的单调函数，则对任意(0,+oo)都有〃/(x)+—)=-1成立，则/(1)

x

=()

A.-1B.-4C.-3D.0

【例4】已知定义在R上的奇函数/(x)且满足/(l+x)=-/(3-x),且/(1)/0,若函数g(x)=x6+f(1)

cos4x—3有且只有唯一的零点，则/'(2018)+“2019)=()

A.1B.-1C.-3D.3

［例5］已知函数/(x)满足：f(x+y)=/(x).f(y)并且f(1)=1,那么：

喘+3f+喘+…+鹏的值为()A-201910104038D-3030

」巩固训需

1、已知函数y=/(2x+l)的定义域为［0』，求函数y=/(2x—3)的定义域;

2、设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数/(x)=x+g(x)在区间［3,4］上的值域为［-2,5］,

则/(%)在区间［-10,10］上的值域为.

3、设定义在尺上的函数/(X)的值域为A,若集合A为有限集，且对任意玉、x2eR,存在weR使得

/(菁)/(/)=/(£)，则满足条件的集合A的个数为()

D.无穷个

(二)抽象函数的性质

(例题精讲

【例6］(1)〃龙)是定义在(—1,1)上的奇函数且单调递减，若y(2—。)+/(4-4)<0,则。的取值

范围是()

⑵己知偶函数在区间［0,+8)上单调递增，则满足/(2x-l)<f的取值范围是(

12121212

353353253253

【例7】设函数/(%)是定义在R上的偶函数，且对任意的xeR恒有〃x+l)=/(x—1),已知当xe［0,l］

时，=则

①2是函数/(%)的一个周期；

②函数/(%)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；

③函数八司的最大值是1,最小值是0；

④％=1是函数/(%)的一个对称轴；

其中所有正确命题的序号是.

【例8】用min{a,Z?)表示a/两数中的最小值，若函数/(%)=min{|x|,|x+?|}的图像关于直线x=g对称,

则才的值为()

A.-1B.1C.-2D.2

【例9】已知函数/'(X)满足4f(x)f(y)=/(x+y)+/(x-y),(x,ywR),则/(2015)=()

1/------------

【例10】定义在R上的偶函数〃可满足y(x+8)=z+J，(x)—/⑴，则“2020)=

风固训林

1、设定义在。上的两个函数/(x)、g(x),其值域依次是［a,勿和［c,d］,有下列4个命题：

①“a〉d”是“/(西)〉g(%)对任意和x2e。恒成立”的充要条件；

②“a>d”是“/(xj〉g(z)对任意和X［e。恒成立”的充分不必要条件；

③“a〉d”是“/(x)>g(x)对任意XGD恒成立”的充要条件；

④“a>d”是“/(x)>g(x)对任意xeD恒成立”的充分不必要条件.

其中正确的命题是(请写出所有正确命题的序号).

2、己知定义在R上函数〃尤)的图象关于原点对称，且/(l+x)+/(2—x)=0,若/⑴=1,则

/(1)+/(2)+/(3)++/(2020)=()

A.0B.1C.673D.674

3、已知函数/(九)是R上的偶函数，对于任意xcR都有/(%+6)=/(x)+/(3)成立，当王,元2£［°，3］，

且再W%时，都有J—八'>0.给出以下三个命题：

玉一X2

①直线x=-6是函数/(%)图像的一条对称轴；

②函数/(X)在区间［-9,-6］上为增函数；

③函数/⑴在区间［-9,9］上有五个零点.

问：以上命题中正确的个数有().

A.0个B.1个C.2个D.3个

4、已知函数/(尤)是R上的减函数，且y=/(九-2)的图象关于点(2,0)成中心对称.若",v满足不等式组

愕上口。bi+V2的最小值为.

5、已知函数了(无)对任意实数x、y都有〃x+y)=/(x)+/(y),且当x<0时，/(x)<0,f(1)=5.

(1)判断函数/(尤)的奇偶性；

(2)求/(x)在区间［-2,3］上的值域.

(三)抽象函数综合

，例题精讲

【例11］设函数y=/(x)的定义域是H,对于以下四个命题：

⑴若y=/(X)是奇函数，则y=/(/(x))也是奇函数；

⑵若y="X)是周期函数，则y=/(/(x))也是周期函数；

⑶若丁=/(力是单调递减函数，则y=/(/(x))也是单调递减函数；

(4)若函数y=/(x)存在反函数y=尸(%),且函数y=/(x)-尸⑴有零点，则函数y=/(x)—x也

有零点.

其中正确的命题共有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【例12】对于定义在R上的函数〃光)，如果存在实数%使得/(a+x>/(a—力=1对任意实数xeR恒

成立，则称/(%)为关于a的“二函数”.已知定义在R上的函数/(%)是关于。和1的“7函数”，且当行［0』］

时，外力的取值范围为［1,2］,则当％«—2,2］时，〃力的取值范围为.

【例13】定义在尺上的函数/(x)为增函数，对任意a,beR者B有/3+与=/(a)+/3)+左(左为常数)

(1)判断左为何值时，/(x)为奇函数，并证明；

(2)设左=—1,/(尤)是R上的增函数，且f(1)=2,若不等式/(znP-2m:+3)>3对任意xe(0,+oo)恒

成立，求实数机的取值范围.

(3)若——-—，neN*,S,为C”的前〃项和，求正整数左，使得对任意"eN*均有/(SJ./(S“).

2""("+1)

【例14］已知/(x)是定义在R上，满足/(x+y)=/(x)"(y)，当尤>0时，0</(x)<l

(1)求/(0)；

(2)x<0时，比较/(x)与1的大小；

(3)讨论/(x)在R上的单调性；

(4)/(3)=-,求”2014)

O

(5)%=/(0)且/(4+1=7(^'求4

【例15】定义在尺上的函数/(x)为增函数，对任意a,beR都有/(”+与=/(幻+/3)+左(左为常数)

(1)判断女为何值时，，(x)为奇函数，并证明；

(2)设左=一1,/(%)是尺上的增函数，且/(1)=2,若不等式/(尔2_2如+3)>3对任意了£(0,+00)恒

成立，求实数加的取值范围.

(3)若C“=」--------,neN+，Sn为Cn的前〃项和,求正整数k，使得对任意neN*均有/⑸)⑸).

2n(n+1)

巩固训林

/[a,a<b/、/、

1、定义/(。/)x=,已知函数/(尤)，g(x)的定义域都是H，现有下述命题:

①若"％),g(x)都是奇函数，则网/(%),g(x))为奇函数；

②若/(%),g(x)都是偶函数，则/(/(x),g(x))为偶函数；

③若/(%),g(x)都是增函数，则尸(/(x),g(x))为增函数；

④若/(%),g(x)都是减函数，则/(/(x),g(x))为减函数；

则这些命题中，真命题的个数为个.

2、已知偶函数/(%)对任意xeR都有〃x+6)—〃x)=2〃3),贝q/(2019)=.

3、已知函数/(x)的定义域为A,且满足/'。+切+/。一')=2"初/'(、)，且/'§)=#,/(0)^0,则

7(2021)=()

A.2021B.1C.0D.-1

4、设/'(x),g(x),〃(x)是定义域为R的三个函数，对于命题:①若/Xx)+g(x),/(%)+//(%),g(x)+〃(x)均为

增函数，则/(x),g(x)/(x)中至少有一个为增函数；②若/Xx)+g(x),f{x}+h{x},g(x)+/z(尤)均是以T为

周期的函数，则”x),g(x),〃(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是()

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

5、己知定义在R上的函数/(x),对任意实数项，/都有/(玉+々)=1+/(石)+/(%),且/(1)=L

(1)若对任意正整数〃，有氏+求卬、％的值，并证明{4}为等比数列；

(2)设对任意正整数〃，有》=」一.若不等式

/(〃)

b„+l+bn+2++d“>91og2(x+l)对任意不小于2的正整数〃都成立，求实数x的取值范围.

实战演练

一、填空题

1、奇函数/(x)的定义域为A,若/(尤+1)为偶函数，且=

贝I」/(2020)+/(2021)=.

2、已知函数/(无)是R上的奇函数，且对任意的x都有/(x+3)=-/(x)成立，/(-2)>1,/(17)=士士

22〃+5

则实数。的取值范围为

3、己知是定义在R上的偶函数，且在区间(-8,0]上单调递增，若实数。满足了(log2|a-l|)>/(-2),

则a的取值范围是

4、已知函数/(无)满足：/(1)=|,对任意实数x,y都有/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),则/(1)+f(2)

+f(3)+...+/(2021)=.

Ov*

5、若对任意x,yeR,有/(x+y)=/(x)+”y),贝U函数g(x)=丁匚+/(尤)+3在［一2019,2019］上的最

x~+1

大值M与最小值机的和M+〃z=.

6、函数/(x)的定义域为。，对£)内的任意石、x2,当玉</时，恒有f(%),,/(X?),则称f(x)为非减函数.B

知f(x)是定义域为[0,1]的非减函数,且满足：①对任意xe[0,1],f(l-x)+f(x)=2.②对任意xe[0,

森则心+吟的值为——.

二、选择题

7、函数/(%)是7?上的增函数，点A(0,-l),3(3,1)是其图象上的两点，则|/■(x+l)|<l的解集为()

A.(—oo,—1)'[4,+8)B.(—8,—1)[[2,+oo)

C.(-1,2)D.(1,4)

8、设函数/(尤)的定义域为R,若对于任意实数加、〃，总有f(m+ri)=f(m)»f(n),当x>0时,0<f(x)<1,

那么以下说法：

(1)7(0)=0；(2)/(0)=1；(3)/(%)是奇函数；(4)/(x)在尺上单调递增;

其中正确的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

9、定义在(-1,1)上的函数/(无)满足/'(尤)=g(x)-g(-x)+2,对任意的玉，x2e(-l,l),石片马，恒有

"(士)-/(9)](芯-9)>。，则关于尤的不等式/■(3尤+1)+〃*)>4的解集为()

1