2024年九年级数学中考专项训练：规律问题（含解析）

九班级数学中考专题训练：规律问题

一、单选题

1.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点。,1),

第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),…，按这样的运动规律，经过第31

次运动后动点P的坐标是()

外

(3,2)(7,2)(11,2)

O\(2f0)(4,0)(6,0)(8,0)(10,0)(12,0)

A.(31,2)B.(62,0)C.(31,1)D.(62,1)

2.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其挨次按图中箭头方向排列，如(0,0),

(1,0),(1,1),(2,2),(2,1),(2,0),(3,0),…，依据规律探究可得，第31个点的坐标为()

A.(7,5)B.(7,4)C.(7,3)D.(7,2)

3.如图,已知4(2,4),4(4,4),4(6,0),4(8,T),4(10,7)4(12,0),……，按这样的规律，则

点AO23的坐标为()

A.(4046,0)B.(4046,4)C.(4046,T)D.(4048,4)

4.如图，一个质点在平面直角坐标系中的第一象限及无轴，y轴的正半轴上运动.在第一秒

钟，质点从原点(。，0)运动到(0,1),再连续按图中箭头所示的方向(与无，y轴平行)运动,

即(0,0)-(0,1)-(1,1)-(1,0)-(2,0)一…，且每秒移动一个单位长度，那么第2025秒时

质点所在位置的坐标为()

C.(45,0)D.(0,45)

5.如图，动点尸在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点。运动到点

片(1,1),其次次从点4运动到点2(2,0),第三次从点鸟运动到点鸟(3,-2),…,按这样的运

动规律，第2025次从点鸟吠运动到点乙。23后，此时点当期的坐标是()

A.(2023,1)B.(2023,2)C.(2023,-2)D.(2023,0)

6.如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆。-02,0},……成

yr

一条平滑的曲线，点P从原点O动身，沿这条曲线向右运动，速度为每秒g个单位长度，

2

则第2025秒时，点P的坐标是（）

A.（2023,0）B.（2021,-1）C.（2022,1）D.（2023,-1）

7.如图，在平面直角坐标系中，点A，%,…和可，B2,层，…分别在直线y=

和X轴上.AOA耳，A片4尾，△与4鸟，…都是等腰直角三角形.假如点4（1,1）,那么点4侬

的纵坐标是（）

8.如图，矩形ABCD的面积为5,它的两条对角线交于点。.以AR4。1为两邻边作平行

四边形A2GQ,平行四边形A8GQ的对角线交于点Q,同样以A3、AR为两邻边作平行

四边形ABgO?,…，依此类推，则平行四边形A3C“。,,的面积为（）

DC

555

B.C.2"+iD.

二、填空题

9.观看下列数，按规律在横线上填上适当的数；0,-3,8,-15,24,-35,.

10.观看下歹！I算式：2=2,22=4,23=8,24=16,25=32,2$=64,2,=128,2=256……

观看后，用你所发觉的规律写出22°22的末位数字是.

11.如图，在直角三角形“15C中，BC=4,AC=3,并且AC在直线/上，将"WC绕点A

顺时针旋转到位置①处，得到点4,将位置①的三角形绕点尸顺时针旋转到位置②处，得

到点与，…，按此规律连续旋转，直到得到点83为止（4，P”巴…在直线/上）.贝八

12.如图，矩形ABC。的两边3C、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点4（-1,2）,

将矩形ABC。沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A,经过其次次翻滚点A对应

点记为4…依此类推，经过2022次翻滚后点A对应点记为4022的坐标为

i[y

4r-----D

~B0（Qx

13.用火柴棒按下图中的方式搭图形.

①②③

依据这种方式搭下去，搭第〃个图形需要根火柴棒.

14.如图，点4、4、A…在反比例函数>=工（x>0）的图象上，点用、B,、员…在y

X

轴上，且/4。4=/反q…，直线y=x与双曲线"工交于点4,用耳,

X

B2A,1BjA,,B3A31B2A3...则与02。的坐标是.

15.抛物线y="（〃+l）x2-（3〃+l）x+3与直线y=*+2的两个交点的横坐标分别是不，x2,

记4=居-x2\,则代数式4+4+4-+—+“2oi8的值为.

16.如图所示，将外形、大小完全相同的“•”和线段依据肯定规律摆成下列图形，第1幅图

形中“・”的个数为外,第2幅图形中“•”的个数为的，第3幅图形中“•”的个数为%,…，以

此类推，则,+f+…+：的值为

第1幅图第2幅图第3幅图第4幅图

三、解答题

17.观看下列等式:

①1—1—；=—1

1^2

^1111

2343x4

③^1---1--1--=----1-

3565x6

11_1

78-7x8

依据上述规律回答下列问题：

（1）第⑤个等式是「

（2）第w个等式是一（用含〃的式子表示，"为正整数）.

18.如图，自行车每节链条的长度为2.5cm,交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm.

4—2.5cmf

°p……

Or©

TW2节捱条〃节捱条

(1)2节链条长cm,6节链条长cm；

(2)〃节链条长多少cm?

(3)假如一辆自行车的链条由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上链条总长度是多

少？

19.观看下面三行有规律的数：

-2,4,-8,16,-32,64,……①

-4,2,-10,14,-34,62............②

4,-8,16,-32,64,-128............③

(1)第一行数的第10个数是;

(2)请联系第一行数的规律，直接写出其次行数的第10个数是;直接写出第

三行数的第n个数是；

(3)取每行的第100个数，计算这三个数和.

20.如图是用长度相等的小棒按肯定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2

个图案中有11根小棒，第3个图案中有16根小棒……

（1）第8个图案中有一根小棒；

（2）假如第n个图案中有1011根小棒，那么n的值是多少？

参考答案:

1.A

【分析】本题主要考查了点的坐标规律，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本

题的关键.依据已知供应的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1,

0,2,0,每4次一轮这一规律，进而求出即可.

【详解】解：依据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动

到点（1,1）,

第2次接着运动到点（2,0）,

第3次接着运动到点（3,2）,

第4次运动到点（4,0）,

第5次接着运动到点（5,1）,

•..,

.,.点尸的横坐标为运动次数，纵坐标为1,0,2,0,每4次一轮，

：31+4=7…3,

则经过第31次运动后，动点尸的横坐标为31,纵坐标为2,即经过第31次运动后，动点尸

的坐标是：（31,2）,

故选：A.

2.D

【分析】本题考查了坐标的变化规律，找到变化规律是解题的关键.观看点的排列规律，算

出前〃列的总点数，再找出第31个点位置，求解.

【详解】解:各列的点数分别为：1、2、3、4、……

则前W列的点数之和为：也詈，

当"D431,〃的最大整数解为：7,

二31在第8列，

・••第31个点的坐标为：（7,2）

故选：D

3.B

【分析】通过分析可得，4?的横坐标的规律是2”，4的纵坐标6个一循环，

4-4fOf-4f-4f0,所以，分别求出4的横坐标和纵坐标即可得到结果.

【详解】解：4的横坐标为筋，

4的纵坐标每6个一循环，

^023的横坐标为2x2023=4046,

4O23的纵坐标为2023-6=337……1,

故人侬的纵坐标为4,

故4侬的坐标为（4046,4）,

故选：B.

【点睛】本题考查了点的坐标规律，通过给定的规律求出点的横坐标和纵坐标，从而得到点

的坐标.

4.B

【分析】先推断出走到坐标轴上的点所用的时间以及相对应的坐标，可发觉走完一个正方形

所用的时间分别为3,5,7,9…，此时点在坐标轴上，进而得到规律，再运用规律解答即

可.

【详解】解：由题意可知这点移动的速度是1个单位长度/每秒，设这点为（％y）,

到达（1,0）时用了3秒，到达（2,0）时用了4秒，

从（2,0）到（0,2））有四个单位长度,则到达（0,2）时用了4+4=8秒，到（0,3）时用了9秒；

从（0,3）到（3,0）有六个单位长度，则到（3,0）时用9+6=15秒；

依此类推到（4,0）用16秒，到（0,4）用16+8=24秒，到（0,5）用25秒，到（6,0）用36秒,

到（6,6）时用36+6=42秒...，

可得在x轴上，横坐标为偶数时，所用时间为/秒；

在y轴上时，纵坐标为奇数时，所用时间为/秒，

745x45=2025,2025-（0,45）,2024->（0,44）,2023-（1,44）

...第2025秒时这个点所在位置的坐标为（1,44）.

故选B.

【点睛】本题主要考查了点的坐标的变化规律，得出运动变化的规律是解决问题的关键.

5.A

【分析】观看图象，结合动点尸第一次从原点。运动到点其次次运动到点6（2,0）,

第三次运动到6（3,-2）,第四次运动到《（4,0）,第五运动到心（5,2）,第六次运动到

己（6,0）,…，结合运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的纵坐标的规律，再依据循

环规律可得答案.

【详解】解：观看图象，动点P第一次从原点。运动到点4（1，1）,其次次运动到点鸟（2,0）,

第三次运动到6（3,-2）,第四次运动到2（4,0）,第五运动到l（5,2）,第六次运动到

"（6,0）,…，结合运动后的点的坐标特点，

可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1,0,-2,0,2,0；

:2023+6=337…1,

经过第2025次运动后，动点P的纵坐标是1,

点尸的坐标是（2023,1）

故选：A.

【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发觉循环规律是解题的关键.

6.D

【分析】依据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点尸的坐标.

【详解】解:半径为1个单位长度的半圆的周长为:x2万xl=7,

:点尸从原点。动身，沿这条曲线向右运动，速度为每秒g个单位长度，

2

二点尸每秒走1个半圆，

二当点尸从原点O动身，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为。,1）,

当点尸从原点。动身，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2,0）,

当点P从原点。动身，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点尸的坐标为（3,-1）,

当点P从原点。动身，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点尸的坐标为（4,0）,

当点P从原点。动身，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5,1）,

当点尸从原点。动身，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6,0）,

2023+4=505…3,

二尸的坐标是（2023,-1）,

故选：D.

【点睛】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是认真观看图象，得到点的变化规律,

解决问题.

7.A

【分析】设点4,4,…，4。22坐标，结合函数解析式，查找纵坐标规律，进而解题.

【详解】解：过A作4旦Lx轴于耳，过4作4E?J_X轴于段,过4作44_1_工轴于E3,…

如图，

A(1,1)在直线y=gx+6上,

设&（X2,%），“3（%，%），44（%4，%），・…，^^2022（“2022，》2022），

14

则有,

_14

y3--x3+-,

又；A°A及,ABL,A禺…都是等腰直角三角形，毒轴,人生，％轴，^E3.LX

轴…，

OBX=2AE,

B、B2=24纥，

B2B3=245*3

%2=2%+y2,

玉=2%+2y2+%，

“2022—2%+2%+2%+...+2y2021+y2022，

将点坐标依次代入直线解析式得到：

11

%=2%+i，

1113

旷/+万乂+二%，

_3

5%，

=3

%022-5y20219

又•:M=1，

-y=3

•・%2'

32

%=

fl.

2021

为022

故选：A.

【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标,

通过运算发觉纵坐标的规律是解题的关键.

8.B

【分析】先依据矩形的性质可得小股的面积为%再依据平行四边形的性质可得平行四

边形的面积为3,同样的方法可得平行四边形ABC2O2和平行四边形ABC.O,的面积,

然后归纳类推出一般规律即可得.

【详解】解：•••矩形ABCD的面积为5,

力畋的面积为:，

••・四边形ABC。1是平行四边形,

平行四边形A3G。曲面积为

同理可得：平行四边形ABC?。?的面积为2'!'二=3=三，

42422

平行四边形A2C3O3的面积为2x；x1=*,

归纳类推得：平行四边形ABQO”的面积为其中〃为正整数，

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，正确归纳类推出一般规律是解题关键.

9.48

【分析】观看数字的变化发觉规律即可得解.

【详解】解：观看一组数：0,-3,8,-15,24,-35,...

发觉规律：

第〃个数是（-1广'（"2_1）,

所以第7个数是X（72-1）=48.

故答案为：48.

【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是依据数字的变化查找规律.

10.4

【分析】通过观看给出算式的末尾数可发觉，每四个数就会循环一次，依据此规律算出第

2025个算式的个位数字即可.

【详解】解：通过观看给出算式的末尾数可发觉，每四个数就会循环一次，

2022+4=505……-2,

.•.第2025个算式末尾数字和第2个算式的末尾数字一样为4,

22022的末位数字是4,

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查数字的变化规律，总结归纳数字的变化规律是解题的关键.

11.8093

【分析】观看发觉，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2025除以3求出循环组数，然

后列式计算即可得解.

【详解】解：依据题意得：AABC每旋转3次为一个循环组依次循环，

:在直角三角形"LBC中，BC=4,AC=3,

AB=^AC1+BC1=5>

：将AABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点4,

AP^=AB=5-

将位置①的三角形绕点片顺时针旋转到位置②，可得到点鸟，止匕时铝=5+4=9；

将位置②的三角形绕点八顺时针旋转到位置③，可得到点4,此时馍=5+4+3=12；

又：2023+3=674…1,

AP2O23=674X12+5=8093,

故答案为：8093.

【点睛】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到AP的长度依次增加5,4,3,且

三次一循环是解题的关键.

12.（3033,0）

【分析】依据题意，确定图形从开头位置经过4次翻滚后点A进行了一次循环回到对应位置,

从而结合长方形周长为6,依据2022=4x505+2即可得到答案.

【详解】解：如图所示:

八y

A

小

*

BO(QA2X

43

vA(-l,2),

,观看图形可知，经过4次翻滚后点A进行了一次循环回到对应位置，4(5,2),

:长方形的周长为：2义(1+2)=6,

每一次完整循环，相当于A对应点的横坐标+6,纵坐标保持不变，

•.-2022=4x505+2,即经过了505次完整的循环后再向前翻滚2次，是人(A)的对应点，

经过2022次翻滚后点A对应点A。22的坐标为(6x505+3,0),即(3033,0),

故答案为：(3033,0).

【点睛】本题考查动点坐标规律，读懂题意，理解图形从开头位置经过4次翻滚后点A进行

了一次循环回到对应位置是解决问题的关键.

13.4〃+1

【分析】从前3个构图方式及数量变化关系，分析找出数量变化规律即可.

【详解】统计如下表：

图形序号第1个第2个第3个第…个第〃个

1+4+4+41+4+4+4+...

数量(根数)1+41+4+41+4〃

1x42x43x4

由表可知：搭第〃个图形需要4〃+1根火柴棒,

故答案为：4/1+1.

【点睛】本题结合火柴棒搭建图形考查了列代数式，关键是要从前几个具体的图形构图方式

与火柴棒数量变化状况找出数量变化规律.

14.（0,4A/505）

【分析】由题意可知AOA瓦，AKAB?,4B/3B3,…，都是等腰直角三角形，设A

点坐标，代入>=工中计算求解，然后求出。4,0B2,。氏的值，探究一般性规律，利用规

X

律解决问题即可得出结论.

【详解】解：由题意，AOABQBLABABF…,都是等腰直角三角形,

•••4（1,1）,

0Bx=2,设&的横坐标为加，则纵坐标为：2+机,故4（办2+祇）,

由于点4在y上，则有加（2+7〃）=1,

解得见=a-1,rr^=—^2—1（舍去）,

•，-OB2-OB1+2m=2\/2,

设&（〃，Q+2后），由于点&在y,上则有〃（。+2后）=1,

解得“二石-虚,

OB3=OB2+2a=2^3,

同法可得，OB4=2\/4,

OB—2-Jn，

..Bn（0,2⑹，

B2020（0,272020）,即％。仅，47505）

故答案为：（0,4病?）.

【点睛】本题结合反比例函数考查了点坐标的规律探究.解题的关键在于先求解

耳、B>B3-的坐标，推导一般性规律，再利用规律求解.

15.3

2019

【分析】联立抛物线和直线的解析式，求得两个交点的横坐标，然后观看乙表达式的规律,

依据规律进行求解即可.

【详解】解：依题意，联立抛物线和直线的解析式得：

n（n+l）x2—（3〃+l）x+3=—nx+2,

整理得：（2〃+l）x+l=。,

gp(nx-l)[(n+l)x-l]=0,

••・当〃为正整数时，

n〃+1

.乜

nn+1

1111112018

dyII^^3।•••|^^2018++...+

T+23342018~2019=i一/-2019

2018

故答案为:

2019

【点睛】本题考查是二次函数的综合题，考查了二次函数的图像和性质，探究规律，依据表

达式发觉规律是解题关键.

【分析】观看得出前几幅图形找到规律，得出第〃个图形中的“•”的个数为4=〃5+2),继

而求得6=80,然后依据裂项相消即可求解.

【详解】解：观看图形，得

第1幅图形中有“•”的个数为3个，即4=3=1?3

第2幅图形中有“•”的个数为8个，即%=8=2?4

第3幅图形中有“•”的个数为15个，即％=15=3?5

第以〃为正整数)幅图形中有“•”的个数为〃5+2)个，即2=〃(〃+2)

・二第8幅图形中有形”的个数为80个，即4=80=8x10

1111

；.一+--F----F...+一

1111

=---------1------------1-----------1-H-----------

1x32x43x5…8x10

11111111、

=—(1---1-------------1-------------F…H------------)

232435810

22910

29

45

【点睛】本题考查了图形类规律，有理数的混合运算，找到规律是解题的关键.

11I111

17.(1)---；⑵~2〃一12n

59109x102n(2n—1)

【分析】（1）依据已知的等式即可写出第⑤个等式;

（2）发觉规律即可得到第"个等式.

【详解】⑴第5个等式为：

11_1

（2）第n个等式为：-

n2n-\2n2n(2n—1)

【点睛】此题主要考查分式运算的应用，解题的关键是依据已知的等式找到规律.

18.（1）4.2cm,11cm；（2）1.7»+0.8；（3）102cm

【分析】（1）依据图形找出规律计算2节、6节链条的长度即可；

（2）由（1）写出表示链条节数的一般式；

（3）依据关系式计算，留意自行车的链条为环形，在展直的基础上还要削减0.8cm.

【详解】解：（1）;.依据图形可得出：

2节链条的长度为：2.5x2-0.8=4.2cm,

3节链条的长度为：2.