高考数学一轮复习：复数（练习）（原卷版+解析）

第03讲复数

（模拟精练+真题演练）

・最新模拟精练

1.（2023•广西・统考模拟预测）已知i为虚数单位，复数z满足（l-z）i=2,则|z=（）

A.百B.V5C.3D.2小

2.（2023・湖北襄阳•襄阳四中校考模拟预测）设zeC,则在复平面内34同《5所表示的区域的面积是（）

A.5兀B.9兀C.16兀D.2571

3.（2023•浙江金华•统考模拟预测）若复数z满足z+7=2,目.则z=（）

A.1+iB.1+后C.l±iD.l±V3i

4.（2023•广西桂林•校考模拟预测）已知复数z=（:〃-相?）+汨（meR）为纯虚数，则|加+4=（）

A.0B.1C.72D.2

5.（2023•黑龙江哈尔滨•哈九中校考模拟预测）己知复数z满足i（2z-l）=2+3i,则复数z的虚部为（）

A.1B.-1C.iD.-i

6.（2023•辽宁・辽宁实验中学校联考模拟预测）若虚数z是关于x的方程炉-2x+〃?=0（〃?wR）的一个根，

且忖=&,则加=（）

A.6B.4C.2D.1

7.（2023•江西赣州•统考二模）已知复数z满足|z+i|=l（i为虚数单位），则|z-i|的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

8.（2023•河南安阳•统考三模）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时

代”.1735年，他提出公式：复数z=ei"=cos0+isin0（i是虚数单位）.已知复数4=l-/,Z2=¥（l+i），设

eia=zJZ2,则夕的值可能是（）

A.冬B.」C.臣D.汉

12121212

9.（多选题）（2023•山东潍坊・统考二模）在复数范围内关于尤的实系数一元二次方程尤2+川+2=0的两

根为士,三，其中%=l+i,则（）

=x

A.p=2B.x2=l-iC.x,-x,=-2iD.~^~

10.（多选题）（2023•湖南长沙•雅礼中学校考一模）已知复数z的共轨复数为2,则下列说法正确的是（）

A.Z2Tzi2

B.z+彳一定是实数

C.若复数Z[,Z?满足[Z]+Z2|=|z「Z2|.则Z/Z2=。

D.若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数

11.（多选题）（2023•山西忻州•统考模拟预测）下列关于非零复数4，Z2的结论正确的是（）

A.若z-zZ互为共辗复数，则B.若则4,句互为共辗复数

C.若％,z?互为共辗复数，则幺=1D.若五=1,则Z，z,互为共辗复数

Z

2Z]

12.（多选题）（2023・重庆•二模）下列关于复数的四个命题正确的是（）

A.若忖=2,则zi=4

B.若z（2+i7）=3+i,则z的共辗复数的虚部为1

C.若|z+l-i|=l,则|z-l-i|的最大值为3

D.若复数4,满足|引=2,同=2,4+%=1+后,则,一切二？百

13.（2023•天津和平•统考二模）复数z满足（l+i）z=|百-i|,贝”=.

14.（2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨三中校考模拟预测）若i为虚数单位，则计算1+22+贺+...+2021?以=

15.（2023・上海・统考模拟预测）设且zyiM，满足则卜-%?]的取值范围为

16.（2023・安徽合肥•校联考三模）已知复数z满足|z-（1-i）|=1（i是虚数单位），则忖的最大值为

真题实战演练

1.（2022•全国•统考高考真题）若z=-l+后，则仁产（）

ZZ

A.-1+后B.-l-73iC.」+且iD.」一走i

'3333

2.（2022•全国•统考高考真题）已知z=l-2i,且z+龙+b=0,其中。，b为实数，则（）

A.a=l,b=—2B.a=—l,b—2C.a=l,b=2D.a=—l,b=—2

3.(2022・全国•统考高考真题)若i(l-z)=l,贝！Jz+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

2-i

4.（2021.全国•统考高考真题）复数1下在复平面内对应的点所在的象限为（）

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.（2021.全国.统考高考真题）设2（z+可+3（z—N）=4+6i,贝”=（）

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i

6.(2021.全国.高考真题)已知(1—i)'z=3+2i,则2=()

3.3.33

A.-1——1B.-1+—1C.------HiD.------1

2222

7.(2021.全国•统考高考真题)设iz=4+3i,则z=()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

8.(2021・全国•统考高考真题)已知z=2-i,贝!Jz(z+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

第03讲复数

（模拟精练+真题演练）

・最新模拟精练

1.（2023.广西.统考模拟预测）已知i为虚数单位，复数z满足（1-z）i=2,则国=（）

A.+B.75C.3D.275

【答案】B

【解析】因为（1一z）i=2,所以l-z=：=m=-2i,

所以2=1+27,.•.目=在+22=技

故选：B.

2.（2023•湖北襄阳•襄阳四中校考模拟预测）设zeC,则在复平面内34卜归5所表示的区

域的面积是（）

A.5兀B.9兀C.1671D.25兀

【答案】C

【解析】满足条件同=3的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆,

满足条件目=5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为5的圆，

则在复平面内3W|z|W5所表示的区域为圆环，如下图中阴影部分区域所示：

所以，在复平面内34目45所表示的区域的面积是兀x（52-32）=16m

故选：C.

3.（2023•浙江金华・统考模拟预测）若复数z满足z+彳=2,|z卜四厕z=（）

A.1+iB.1+®C.l±iD.1土石

【答案】C

【解析】设z=〃+Z?i,1-历,

因为z+彳=2,|z|=0,

所以z+z=2a=2，解得：a=l,

|z|=a2+b2-A/1+Z?2=A/2,故b=±1.

故z=1土i.

故选：C.

4.（2023•广西桂林•校考模拟预测）已知复数z=（m-疗）+痴WeR）为纯虚数，则|m+z|=

（）

A.0B.1C.夜D.2

【答案】C

【解析】因z=（7w-»?）+miWeR）为纯虚数，

,\m-nr=0

所以n,

解得m=l,z-i

所以|加+z|=11+i|=Vl+1=V2.

故选：C.

5.（2023•黑龙江哈尔滨・哈九中校考模拟预测）已知复数z满足i（2z-l）=2+3i,则复数z

的虚部为（）

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】B

【解析】由已知可得，2z-l=2=3-2i,所以z=2—i,

1

所以，复数Z的虚部为-1.

故选：B.

6.（2023•辽宁・辽宁实验中学校联考模拟预测）若虚数z是关于％的方程

x2—2%+M=0（m£R）的一个根，且目=&，则根=（）

A.6B.4C.2D.1

【答案】C

【解析】设z=〃+Z?i（。,人£区且/?。0），代入原方程可得〃2一62-2〃+加+（2aZ?-2b）i=0.

/一匕2—2〃+771=01―Z?2-]+加=0_----------------_0

所以｛c,c,C，解得《,，因为|z|=，＜/+/=&,所以=1,〃?=2.

2ab-2b=0[a=l

故选：c.

7.（2023•江西赣州・统考二模）已知复数z满足|z+i|=l（i为虚数单位），则|z-i|的最大

值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】设复数z在复平面中对应的点为Z,

由题意可得：|z+i|=|z-（-i）|=l,表示复平面中点Z到定点C（0,T）的距离为1,

所以点Z的轨迹为以c(o,-l)为圆心，半径r=1的圆，

因为|z-i|表示表示复平面中点Z到定点5(0,1)的距离，

所以区忸q+r=2+l=3,即|z—i|的最大值为3.

故选：C.

8.(2023•河南安阳・统考三模)欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八

世纪为“欧拉时代”.1735年，他提出公式：复数z=8°=cos6+isin6(i是虚数单位).已知复数

4=1一©,Z2=/(l+i),设ei"=z/z2,则a的值可能是()

A.-2B.」C.旦D.过

12121212

【答案】B

【解析]4=2(；—^4)=2[cos(-^-)+isin(-^-)],z2=^-(^-+^^i)=；(cos；+isin；),

r/7L....7T.z7T..7T、

Z]z2=[cos(--)+1sm(--)J(cos—+1sm—)

「,71.71..71..7C-..「.71..71..71.71..

=[cos(——)cos——sin(--)sin—J+i[cos(——)sin—+sin(--)cos—J

71..兀

=cos(-----)+1sin(-----)=e12，

1212

jrjr

依题意，a=---------i-2kjt,keZ,当左=0时，a=-----,B正确，ACD错误.

1212

故选：B

9.(多选题)(2023•山东潍坊・统考二模)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程

W+px+2=0的两根为苍，三，其中X]=l+i,贝()

A.p=2B.x2=l-iC.玉•耳=-2iD.%=i

X2

【答案】BD

【解析】因为国=l+i且实系数一元二次方程f+px+2=0的两根为玉,当，

22

所以咨=2,可得％=,=币di,故B正确;

又占+%=l+i+l-i=2=-p,所以p=-2,故A错误;

由元=l+i,所以再•双=(l+i)J2i~2i,故C错误；

%1_l+i_(l+i)22i.

一=i,故D正确.

x21-i22

故选：BD

10.(多选题)(2023•湖南长沙•雅礼中学校考一模)己知复数Z的共辗复数为彳，则下列

说法正确的是()

A.z2=|z|-

B.z+W一定是实数

C.若复数ZI,Z2满足|Z1+Z2|=|Z「Z2|.贝!|z「Z2=0

D.若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数

【答案】BD

【解析】当复数z=i时，?=-1,\zf=l,故A错;

设z=a+6i(a,beR),则N=a-历，所以z+三=2aeR,故B对；

设4=q+”(,4eR),z2=a2+b2i(a2,Z?2eR),

由I?1+=[z]—可得k+zj=(4+4)+(4+，2)=|z[—=(4—a?)+—b2),

所以《出+她=0,

而z；z2=(q+即)(%+&2i)=a1a2-4仇+(oA+^a2)i=2a1a?+4%)i，不一定为0,故C

错；

设2=。+历(.a,&eR),贝1Jz?=/-/+2a历为纯虚数.

a2-b2=0问州

所以则故D对.

2ab卡0ab^tO

故选：BD.

11.(多选题)(2023•山西忻州・统考模拟预测)下列关于非零复数4，%的结论正确的是

()

A.若Z1,Z2互为共辗复数，则z»eRB.若zjZzeR,则z，Z2互为共轨复数

C.若Z，4互为共朝复数，则五=1D.若五=1,则4，Z2互为共轨复数

Z2Z2

【答案】AC

【解析】设4=a+bi(a,beR),由々，z2互为共辗复数，得z2=〃一。i,则44="㊂R,

故A正确.

当4=2+方，Z2=l-i时，Z]-Z2=4ER,此时，4,Z2不是共粗复数，则B错误.

■illz1z1

由Z],Z?互为共轨复数，得㈤=H|,从而，=1,即，=1,则C正确.

Z2

当Z1=2+i,Zz=l-2i时，㈤=阂，即五=1,此时，z1；N不是共施复数，则D错误.

Z2

故选:AC

12.(多选题)(2023•重庆・二模)下列关于复数的四个命题正确的是()

A.若|z|=2,则z；=4

B.若z(2+i7)=3+i,则z的共轨复数的虚部为1

C.若=贝||-1-:1|的最大值为3

D.若复数Z],z?满足闾=2,卜?|=2,Zj+z2=1+V3i,贝1|归-22|=26

【答案】ACD

【解析】设z=a+6i,(a,6eR),

对A,|z|=2=>a2+b2=4,z,z=(a+Z?i)(a-M)=a2+b2=4,故正确；

对B,z(2+i7)=3+i=>z(2-i)=3+i,所以z====l+i,

\'2-1(2-i)(2+i)5

z=l-i-其虚部为T，故错误；

对C,由|z+l-i|=l的几何意义，知复数z对应的动点Z到定点(-M)的距离为1,

即动点Z的轨迹为以(-M)为圆心，1为半径的圆，表示动点Z到定点(1』)的距离,

由圆的性质知，|z-1-i|^=7(-l-D2+(l-l)2+1=3,故正确；

对D,设Z]=〃z+〃i,Z2=c+di,(7W,aGdeR),因为|zj=2,|z2|=2,

22

所以〃/+/=4,c+d-4,Xzj+z2=1+5/31,所以相+c=l,〃+d=6，

所以2,所以[z]-z2|=|(〃z-c)+("-一+(〃-d)?

-牺金加2+屋一2(/c+〃d)=J4+4-2?-，,故正确.

故选：ACD

13.(2023•天津和平・统考二模)复数z满足(l+i)z=|百-“，则2=.

【答案】1-MT+1

【解析】因为复数z满足(l+i)z=|若-i|,所以Z=HH=2=1一i，

1+i1+i

故答案为：1-i.

14.(2023.黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考模拟预测)若i为虚数单位，则计算

i+2i2+3i3+...+2O2U2021=.

【答案】1010+10111

【解析】■®：S=i+2i2+3i3+...+202H21)21,

iS=i2+2i3+3i4+...+202li2022,

上面两式相减可得，

(l-i)S=i+i2+i3+...+i2021-2O2U2022

J(1T)2022

2O21i=i(l-i)-2021i2022=i+2021,

1-i1-i

i2021+i(2021+i)(l+i)2020+2022i

则S=———-=二一~、/八=上'--=1010+101li

人」1-i(l-i)(l+i)J2

故答案为：1010+lOlli.

15.(2023・上海・统考模拟预测)设与22©(2且4=1工，满足区-1|=1,则匕-z?|的取值

范围为•

【答案】[。,2+0]

【解析1^z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,deR,

z2=c-di,贝!Ja+历=i-(c-%)=d+d,

,-=|(a-1)+历|="a+1。=1,所以(a—1)+b~=1,

即4对应点(a,6)在以(1,0)为圆心，半径为1的圆(x-丁+/=1上.

z2=c+di=b+ai,z?对应点为(),a),

(a,6)与(6,a)关于y=x对称，

所以点(6,a)在以(0,1)为圆心,半径为1的圆/+(尸1)2=1上，

k-2」表示(％6)与(6,4)两点间的距离,

圆(x-与圆V+(y-l)2=i相交，圆心距为0,如图所示，

所以卜IT21的最小值为0,最大值为0+1+1=2+五，

所以忆-Zz|的取值范围为［0,2+夜］

故答案为：［。,2+&］

16.(2023.安徽合肥•校联考三模)已知复数z满足=l(i是虚数单位)，则目的

最大值为__________

【答案】V2+1/1+V2

【解析】因为复数Z满足

所以根据复数的几何意义有，复数z对应的点Z到点4(1,-1)的距离为1,即点Z的轨迹为以

4(1,—1)为圆心，半径r=l的圆，

所以忖的最大值为10Al+r=JF+(-1)2+1=72+1,

故答案为：6+i.

真题实战演练

1.(2022•全国•统考高考真题)若2=-1+6i,则()

zz—1

A.-1+V3iB.-i-^3iC.-l+^iD.」一走।

3333

【答案】C

【解析】z=-1-73i,zz=(-1+-V3i)=1+3=4.

z_-I+A/31_1V3.

zz-1333

故选：C

2.(2022•全国•统考高考真题)已知z=l-2，，且z+应+6=0,其中a,。为实数，贝ij()

A.a=l,b=—2B.a=—1,6=2C.a=l,b=2D.a=—l,b=—2

【答案】A

【解析】z=l-2z

z+az+6=1—2i+a(l+2i)+6=(1+a+b)+(2a—2)i

由z+龙+6=0,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，

\\+a+b=0[a=l

得，即

[2a-2=0[b^-2

故选:A

3.(2022.全国•统考高考真题)若i(l-z)=l,则z+2M()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】由题设有l_z=；=]=_i,故z=l+i,^z+z=(l+i)+(l-i)=2,

故选：D

2-i

4-（2021.全国•统考高考真题）复数万在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A