2024-2025学年黑龙江省绥化市高二年级上册开学考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年黑龙江省绥化市高二上学期开学考数学检测试卷

一、单选题

1设向量1=(12,加)，B=(2m,6),若则加=()

A.-6B.0C.6D.±6

1i

2.已知z=」，则目=()

A.2B.V2C.3D.V3

3.已知向量a=(2,加)，b=+1,-1),若则m的值为()

A.2B.1C.-1D.-2

4.如图，已知正三棱柱4sl=、汇/瓦河为4G的中点，则与8G所成

1D.-------v_z.\-J.

4410

5.已知一组数据为2,5,7,8,9,12,则这组数据的80%分位数为()

A.9B.8.5C.8D.7

6.已知复数z满足式1—i)=3+5i,则复数z=()

A.4+4iB.4-4i

C.-l+4iD.-l-4i

JT

7.在V4BC中，角48,C的对边分别为a,“c.已知。=4,b=5,C=§,贝|c=()

A.V61B.V21C.276D.V19

8.若正三棱柱的所有棱长均为。，且其侧面积为12,则此三棱柱外接球的表面积是()

8284

A.-7TB.——71C.371D.—71

333

二、多选题

9.若复数z=G-i，则下列说法正确的是（）

A.z在复平面内对应的点在第四象限B.z的虚部为—i

C.z2=4-2V3iD.z的共辄复数］二百+i

10.在空间中，己知a,6是两条不同的直线，a,尸是两个不同的平面，则下列选项中正确

的是（）

A.若a//6,且，a-La,b±J3,则a//，

B.若aJ■夕，且a//a,b//〃，则:

C.若a与6相交，且b1/3,则a与尸相交

IIc

口.若。，力且a//a，b11B，则

11.已知圆锥的底面半径为1,其母线长是2,则下列说法正确的是（）

2兀

A.圆锥的高是右B.圆锥侧面展开图的圆心角为彳

C.圆锥的表面积是3兀D.圆锥的体积是久况

3

三、填空题

12.在V/8C中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=JL8=45°,C=75°,

贝！16=.

13.已知球的半径为3,则该球的表面积等于,则该球的体积等于

14.某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生，现要从

该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取人

四、解答题

15.已知向量3满足1|=0忖=2,且（4+5卜（4一2很）=2.

（1）求向量£,b的夹角；

（2）求,a+可.

16.己知V45C内角4B,C的对边分别为“c,设（sin5—sinC『=sin2Z—sinSsinC.

(1)求A；

(2)若6+C=4Q4BC的面积为立，求a的值.

2

17.某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员

工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在[40,100]内，现将所得数据分成6组：[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求。的值，并估计这200名员工所得分数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点

值代表)；

(2)求这200名员工所得分数的中位数(精确到0.1)；

(3)现从[70,80),[80,90),[90,100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24

人，求[70,80)这组中抽取的人数.

18.如图,在正方体4SCD—431aoi中,

(1)求证：平面4瓦。。；

(2)求证：4cH

19.在正三棱柱ABC-4与G中，E为棱的中点，如图所示.

(1)求证：48//平面/EC1；

(2)若二面角C-ZE-G的大小为60°，求直线NC和平面所成角的正弦值

2024-2025学年黑龙江省绥化市高二上学期开学考数学检测试卷

一、单选题

1,设向量1=(12,加)，b=(2m,6),若彳〃3,则加=()

A.-6B.0C.6D.±6

【正确答案】D

【分析】直接利用平面向量共线的坐标运算列式求解加值.

【详解】1.向量1=(12,加)，3=(2加,6),若方〃3，

则12x6=2冽2,解得加=±6.

故选：D.

1i

2.已知z==，则忖=()

A.2B.72C.3D.V3

【正确答案】B

【分析】根据复数的四则运算可得z,进而可得目.

所以目="+(-1『=V2>

故选：B.

3.已知向量a=(2,加)，b=(m+l,-l),若则m的值为()

A.2B.1C.-1D.-2

【正确答案】D

【分析】由向量垂直的坐标表示列方程等于零求解，可得结论.

【详解】根据题意知a=(2,加)，S=(w+1,-1),al.b>

则a%=(2,•(加+=2加+2-加=0,解之可得加=-2

故选：D

4.如图，已知正三棱柱NBC—4与。],/用=为4G的中点，则与8。所成

V6V5

~TTo

【正确答案】B

【分析】取ZC的中点。，则N8G。（或其补角）为异面直线与3。所成角，解三角

形即可求解.

【详解】如图，取ZC的中点。，连接。G、BD,易知

所以异面直线与3。所成角就是直线DG与直线8。所成的角，即N8G。（或其补角）,

由题意可知正三棱柱4BC-481G的所有棱长都相等，

可设三棱柱的棱长都为2,则=忸Z）|=G,忸G|=2C，

因为忸C『+B叶，所以AADG为直角三角形，

\DQ\VTO

所以COS/BC[D=1----r=--------

忸Gl4

即异面直线AM与BJ所成角的余弦值为叵.

4

故选.B

5.已知一组数据为2,5,7,8,9,12,则这组数据的80%分位数为()

A.9B.8.5C.8D.7

【正确答案】A

【分析】利用百分位数的求解公式即可求解.

【详解】因为6x80%=4.8,

所以这组数据的80%分位数是第5个数，即为9.

故选：A.

6.已知复数z满足亍(1—i)=3+5i,则复数z=()

A.4+4iB.4-4i

C.-l+4iD.-l-4i

【正确答案】D

【分析】由已知等式化简求出三，从而可求出复数z.

3+5i(3+5i)(l+i)-2+8i

=-1+4i,

【详解】因为亍=1-i-(l-i)(l+i)~

所以z=—1—4i.

故选：D.

TT

7.在V4BC中，角48,C的对边分别为a,4c.已知。=4,b=5,C=§,则。=()

A.V61B.V21C.276D.V19

【正确答案】B

【分析】利用余弦定理计算可得.

【详解】由余弦定理可得。=—2abcosC={42+52—2x4x5x；=夜1.

故选：B

8,若正三棱柱的所有棱长均为。，且其侧面积为12,则此三棱柱外接球的表面积是（)

8284

A.一兀B.——71C.3兀D.—7C

333

【正确答案】B

【分析】根据三棱柱侧面积公式求出。，确定球心的位置，如图构造直角三角形，由勾股定理

求出外接球半径的平方，再根据球的表面积公式即可求解.

【详解】由题意可得，正棱柱的底面是边长和高都等于。的等边三角形，侧面积为3a2,

A3a2=12，，a=2,

取三棱柱ABC-481G的两底面中心。,口,连结,

取。a的中点。，则。为三棱柱外接球的球心，

连结AD,则AD为三棱柱外接球的半径.

VABC是边长为2的正三角形，。是VABC的中心，

B0=-xs/3=^--

33

又：0D=1

2121

：.BD2=OB2+OD2=-.

3

728

•••三棱柱外接球的表面积S=4成247TX-=—71.

=33

故选：B.

二、多选题

9.若复数z=G-i，则下列说法正确的是（）

A.z在复平面内对应的点在第四象限B.z的虚部为-i

C.z2=4-2V3iD.z的共辗复数』=G+i

【正确答案】AD

【分析】利用复数的几何意义判断A；求出复数的虚部判断B；求出复数的平方判断C；求出

共钝复数判断D作答.

【详解】对于A,复数z=0-i在复平面内对应的点（省1）在第四象限，A正确；

对于B,z的虚部为一1,B错误；

对于C,z2=（-\/3—i）2=2-2-\/3i>C错误；

对于D,z的共辗复数』=G+i，D正确.

故选：AD

10.在空间中，已知a,6是两条不同的直线，a,尸是两个不同的平面，则下列选项中正确

的是（）

A.若a//b,且，a.Lab1/3,则a///?

B.若°_1尸，且a//a,blip,则。JL,

C.若a与b相交，且a，。，,则a与相交

IIc

D-若aJ_6，且a//a，b//13,则_L夕

【正确答案】AC

【分析】利用空间线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理分析判断即可

【详解】若a//6,且b，/3,即两平面的法向量平行，则&//£成立，故A正确；

若£，,，且。//0,blip,则a与b互相平行或相交或异面，故B错误；

若a,6相交，且bl/3,即两平面的法向量相交，则戊，万相交成立，故C正确；

若:_L。且a//a,blip,则a与尸平行或相交，故D错误；

故选：AC.

此题考查空间线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理的应用，属于基础题

11.已知圆锥的底面半径为1,其母线长是2,则下列说法正确的是（）

2兀

A.圆锥的高是退B.圆锥侧面展开图的圆心角为飞-

C.圆锥的表面积是3兀D.圆锥的体积是也E

3

【正确答案】AC

【分析】根据圆锥及侧面展开图的性质，表面积公式，体积公式求解判断即可.

【详解】圆锥的底面半径为厂=1,其母线长是/=2,

则圆锥的高力=J/2—/=5故A正确；

设圆锥侧面展开图的圆心角为a,则。/=2口，解得a=兀，故B错误；

圆锥的表面积是S=兀尸?+兀尸/=3兀，故C正确；

圆锥的体积是「=1兀/%=且，故D错误.

33

故选：AC.

三、填空题

12.在V48C中，角/,B,。所对的边分别为a,b,c.若。=百，8=45°,C=75°,

则6=.

【正确答案】V2

【分析】由已知利用三角形内角和定理可求/,根据正弦定理即可求b的值.

【详解】在V28C中，因为a=G，8=45°,C=75°,则/=180°—45。—75。=60。,

V2

由正弦定理4=上，可得：6=四==X3

sirk4sinSsirU

T

故尤.

13.已知球的半径为3,则该球的表面积等于,则该球的体积等于

【正确答案】①.367r②.367r

【分析】根据球的表面积公式和体积公式直接求解即可.

【详解】因为球的半径为3,

所以球的表面积为471x3z=36兀，体积为§兀*33=36限

故36兀，36兀

14.某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生，现要从

该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取人

【正确答案】40

【分析】高一年级人数乘以抽样比即可.

【详解】由题意，应从高一年级抽取的人数为.100x--------.............=40

1200+1000+800

故40.

四、解答题

15.已知向量刃满足，卜血网=2,且（a+孙（"23）=2.

（1）求向量£，b的夹角；

（2）求百+可.

3兀

【正确答案】（1）—

4

（2）VH）

【分析】（1）根据数量积运算律得出展B=—2,再根据夹角公式得夹角的余弦值，即可求出

结果；

（2）根据条件及（1）中结果，利用数量积的运算性质，即可求出结果.

【小问1详解】

由（之+孙（5-24=2,得到,2_展3-2庐=2，又同=夜|川=2,

所以4—之名―4=2,得到晨B=—2,

_[a，b—2A/2_「[_37i

所以cosa,b=同同=迈=一下-,又以be[O,可，所以点b=彳

【小问2详解】

由⑴知晨B=—2，又同=0网=2,

所以12万+B1=4万2+45・3+石2=16—8+2=10,

所以|25+可=丽.

16.已知V4SC内角Z,8,C的对边分别为a也c,设（si"-sinC）2=sin2Z-sinSsinC.

（1）求A；

（2）若6+C=4Q4BC的面积为@,求。的值.

2

71

【正确答案】（1）A=-

3

（2）”回

【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；（2）

根据题意，由三角形的面积公式可得秘=6,结合余弦定理即可得到结果.

【小问1详解】

原式化简可得：sin25-2siii5sinC+sin2C=sin2^-sinfisinC，

整理得：sin25+sin2C-sin2?!=sinfisinC，

由正弦定理可得：b2^c2-a2=bcf

722_21-

:.cosA=°C~a因此三角形的内角Z='；

2bc23

【小问2详解】

.。11入G6

・SARC~—bcsix\A——be,———‘

"BC2222

:.be=2,

va1-b1+C1--(b+c)2-3bc=16-6=10，

a=VTo-

17.某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员

工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在[40,100]内，现将所得数据分成6组：[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求。的值，并估计这200名员工所得分数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点

值代表)；

(2)求这200名员工所得分数的中位数(精确到0.1)；

(3)现从[70,80),[80,90),[90,100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24

人，求[70,80)这组中抽取的人数.

【正确答案】(1)a=0.015,x=72.5

(2)72.9(3)14

【分析】(1)根据小矩形面积和为1得到关于。的方程，解出。值，再利用频率分布直方图中

平均数公式即可；

(2)首先确定中位数所在区间，再设中位数为加，列出方程，解出即可；

(3)求出各区间人数，再根据分层抽样的特点即可得到答案.

【小问1详解】

由题意知(0.005+0.010+0.025+0.035+4+0.010)x10=1,

解得a=0.015.

估计这200名员工所得分数的平均数

x=45x0.05+55x0.1+65x0.25+75x0.35+85x0.15+95x0.1,

x=72.5.

【小问2详解】

[40,70)的频率为(0.005+0.010+0,025)x10=0.4,

[40,80)的频率为(0.005+0.010+0.025+0,035)x10=0.75,

所以中位数落在区间[70,80),设中位数为加，

所以(0.005+0.010+0.025)x10+(加—70)x0.035=0.5,

解得加合72.9,即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9.

【小问3详解】

[70,80)的人数:0.035x10x200=70,

[80,90)的人数:0.015x10x200=30,

[90,100]的人数:0.010x10x200=20,

70

所以[70,80)这组中抽取的人数为.24x——-——=14

70+30+20

18.如图，在正方体48co中,

(1)求证：48〃平面4瓦。。；

(2)求证.zql^C

【正确答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)根据正方体的性质得到48〃。。，即可得证；

(2)根据正方体的性质得到BQ,用。、ABLBXC,即可证明平面NBCQi,从而

得证.

【小问1详解】

在正方体ABCD-AXB<CADX中ABHDC,

又28<z平面4片。。，。。匚平面4片。),所以平面4片。)；

【小问2详解】

连接8G、AD-在正方体48c