沪科版八年级数学上册专练：函数【八大题型】解析版

专题12.1函数【八大题型】

【沪科版】

＞题型梳理

【题型1函数的相关概念识别】..................................................................1

【题型2点与函数图象的关系】..................................................................2

【题型3求自变量的取值范围】..................................................................3

【题型4描点法画函数的图象】..................................................................3

【题型5从图象中获取信息】....................................................................6

【题型6确定实际问题中的函数关系式】..........................................................7

【题型7动点问题的函数图象】..................................................................8

【题型8判断函数的大致图象】.................................................................10

，举一反三

【知识点1函数的概念】

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y,如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我

们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的

值是否对应唯一确定的y值.

【题型1函数的相关概念识别】

【例1】（2023春・吉林长春•八年级校联考期中）下列关于变量尤和y的关系式:y=x,2x2-y-0,y2-x,2x-

|y|=2,其中y是x的函数的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式1-1］（2023春・河北廊坊•八年级统考期末）高师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上

的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（）

116.64金额/元

18数量/L

单价/

、6.48

J（元/L）

A.金额是自变量B.单价是自变量

C.6.48和18是常量D.金额是数量的函数

【变式1-2](2023春•辽宁辽阳•八年级辽阳市第一中学校联考期中)下列曲线中能表示y是x的函数的是()

【变式1-3](2023春・浙江台州•八年级统考期末)台州市2023年中考体育排球项目考试的评分标准如下表:

个数tt>4844<t<4740<t<4336<t<3932<t<35

分值m109876

个数t28<t<3124<t<2720<t<2316<t<1912<t<15

分值m54321

现有两种说法：①t是E的函数；②机是t的函数.下列判断正确的是()

A.①对，②错B.①错，②对C.①对，②对D.①错，②错

【知识点2求函数的值】

(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多

个.

(2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，

即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值.

【题型2点与函数图象的关系】

【例2】点P(a,b)在函数y=2x+3的图象上，则代数式一4a+26的值等于.

【变式2-1】下列各点在函数y=3x+2的图象上的是()

A.(1,1)B.(-1,-1)C.(-1,1)D.(0,1)

【变式2-2]下列函数的图象，一定经过原点的是()

A.y=|B.y=x2—1C.y=5x2—3xD.y=-3x+7

【变式2-3］根据如图所示的程序计算函数y的值,若输入的x值为3或-3时，输出的y值相等，则〃等于（

A.-9B.-3C.9D.3

【题型3求自变量的取值范围】

【例3】（2023春・全国•八年级专题练习）下列函数自变量1的取值范围错误的是（）

A.y=-2/+1中，x取全体实数

B.中，％取不等于一1的实数

C.y=\x-2中,x取大于或等于2的实数

D.中，％取大于或等于一3的实数

【变式3-1］（2023春・甘肃酒泉•八年级校考期中）函数产代与中自变量x的取值范围是（）

A.x>0B.x>0C.x>9D.x>9

【变式3-2］（2023春・北京延庆・八年级统考期末）函数y=喜的自变量式的取值范围是（）

A.x=0B.C.x=3D.

【变式3-3］（2023春・山东烟台•八年级统考期末）函数y=4自变量尤的取值范围是____________.

y/X+1

【知识点3函数的图象】

把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出

它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象.

【题型4描点法画函数的图象】

【例4】（2023春・北京西城•八年级北京市第一六一中学校考期中）函数问题：

(1)作出y与x的函数y=2|划的图象

①自变量》的取值范围是

②列表并画出函数图象：

X-2-i0i2

y

③当自变量X的值从1增加到2时，则函数y的值增加了.

(2)在一个变化的过程中，两个变量乂与y之间可能是函数关系，也可能不是函数关系：

下列各式中，y是x的函数的是.

①x+y=l；②|x+y|=l；③xy=1；®x2+y2=1；

【变式4-1](2023春・广东广州•八年级校考期中)在平面直角坐标系中画出函数y=-x+3的图象.在图象

上标出横坐标为-4的点A,并写出它的坐标；

【变式4-2](2023春・浙江•八年级期末)已知函数y=2x2—1

(1)填写下列表格.

(2)并在给定的直角坐标系中用描点法画出函数y=2x2—1的图像.

【变式4-3](2023春・山西•八年级统考期末)我们知道用描点法可以画出函数图象，这种方法是探究未知函

数图象变化规律的一个重要方法.下面是通过描点法画图探究函数y=后”图象变化规律的过程.

(1)下表是y与久的几组对应值，请完成表格：

(2)根据上表中的数据，在平面直角坐标系“Oy中描出对应的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象;

(3)根据图象，写出两条该函数具有的性质.

【题型5从图象中获取信息】

【例5】（2023春•黑龙江大庆•八年级校联考期中）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至2城，在整个行驶过

程中，甲、乙离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间f（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象

（1）甲车的速度是.

（2）乙车用了小时到达3城；

（3）求乙车出发后多少时间追上甲车？

（4）求甲车出发多少时间，两车相距50千米？

【变式5-1］（2023春•重庆沙坪坝•八年级重庆一中校考期中）小明家、学校、小艾家依次在同一条笔直的公

路旁.一天放学后，小明到家发现错拿小艾作业本，于是返回并归还作业本.小明先从家跑步到学校找小

艾，发现小艾回家后又跑到小艾家，然后骑共享单车返回，小明与自己家的距离y（米）与小明从家出发的

时间尤（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中不正强的是（）

A.小明在学校停留了10分钟B.小艾家离学校600米

C.小明跑步速度为每分钟180米D.小明骑共享单车的速度为每分钟200米

【变式5-2】（2023春・山东青岛•八年级青岛大学附属中学校考期中）为了增强抗旱能力，保证粮食丰收，某

村今年新建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同）.一

个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天。点到6点（至少打开一个水管），该蓄水池的蓄

水量如图2所示，并给出以下三个论断：①0点到1点只进水，不出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点

到6点只出水，不进水,则一定正确的论断是

图1图2

【变式5-3]（2023春・北京昌平•八年级统考期末）甲乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、

同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒；在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）

与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示.

（2）离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米；

（3）乙到达终点时，甲距离终点还有米；

（4）甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是：秒<尤<秒.

【题型6确定实际问题中的函数关系式】

【例6】（2023春•山东威海•八年级统考期末）某油箱容量为60L的汽车，加满汽油后行驶了100Km时，

油箱中的汽油大约消耗了点如果加满汽油后汽车行驶的路程为xKm,邮箱中剩油量为yL,则y与尤之间

的函数解析式和自变量取值范围分别是（）

A.y=0A2x,x>0B.y=60-0.12x,x>0C.y=0.12x,0<x<500D.y=60-0.12x,OS烂500

【变式6-1]（2023春•福建厦门•八年级统考期末）一个水库的水位在最近的10小时内将持续上涨.表二记

录了3小时内5个时间点对应的水位高度，其中t表示时间，y表示对应的水位高度.根据表中的数据，请

写出一个y关于t的函数解析式合理预估水位的变化规律.该函数解析式是：.(不写自变量取值范

(1)以无(单位：分钟)表示通话时间，y(单位：元)表示通话费用，分别就两种移动电话计费方式写出y

关于x的函数解析式.

(2)求出如何选择这两种计费方式更省钱.

【变式6-3](2023春・辽宁锦州•八年级统考期末)某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置：

排数(X)1234...

座位数(y)50535659...

(1)按照上表所示的规律，当无每增加1时，y如何变化？.

(2)写出座位数y与排数x之间的解析式.

(3)按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由.

【题型7动点问题的函数图象】

[例7](2023春・广东深圳•八年级统考期中)王警察周六在一个半圆形的广场附近巡逻，从圆心。出发，

按图1中箭头所示的方向，依次走完线段。4、半圆弧力B和线段BO.沿途中王警察遇到了一位问路的游客

停下来交谈了2min.在整个巡逻过程中，王警察始终保持速度不变，最后回到出发点.王警察离出发点的

直线距离s(m)与时间f(min)之间的关系如图2所示，以下选项中正确的是()

图2

A.广场的半径是50米B.a=2TT

C.王警察的速度为100m/minD.王警察返回起点的时间为2兀+6

【变式7-1］（2023春•广东湛江•八年级统考期末）如图1,在矩形ABCD中，动点P从点8出发，沿BC、CD、

运动至点A停止，设点尸运动的路程为％,ATIBP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩

形48CD的周长是

【变式7-2］（2023春・福建三明•八年级统考期中）如图1,在AA8C中，点P从顶点C出发，以lc7Ms的速

度沿C—A匀速运动到点A.图2是点P运动时线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线

部分的最低点，曲线两端点的高度相同，则△ABC的面积是（）

【变式7-3］（2023春.山东青岛.八年级青岛大学附属中学校考期中）已知动点P以每秒2cm的速度沿图1的

边框按从BtCtDtEt尸-4的路径移动，相应的AABP的面积y（cm2）与时间x（秒）之间的关系如图

2中的图象所示.其中48=4cm,贝！k=,当工=时，△4BP的面积是lOcm?；

【题型8判断函数的大致图象】

【例8】（2023春•新疆乌鲁木齐•八年级校考期末）如图所示，半径为2的圆和边长为5的正方形在同一水平

线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过的时间为3圆与正方形重叠部分（阴影部分）的面积

为S,则S与t的函数关系式的大致图象为（）

【变式8-1］（2023春•新疆乌鲁木齐•八年级校考期末）一组管道如图1所示，其中四边形ABCD是矩形，。是

AC的中点，管道由ZB,BC,CD,DA,OA,OB,OC,。。组成，在BC的中点M处放置了一台定位仪器.一

个机器人在管道内匀速行进，对管道进行检测.设机器人行进的时间为刀,机器人与定位仪器之间的距离为

y,表示y与尤的函数关系的图像大致如图2所示，则机器人的行进路线可能为（）

图1图2

A.A0DB.Bt0tDC.AD0D.ABt0

【变式8-2］（2023春•北京海淀•八年级校考期中）如图，点E为平行四边形ABC。边上的一个动点，并沿

A-8TCT。的路径移动到点。停止，设点E经过的路径长为X,AAOE的面积为y,则下列图象能大致反

映y与尤的函数关系的是（）

【变式8-3］（2023春•山东济南•八年级校考期中）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱

形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间

专题12.1函数【八大题型】

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►题型梳理

【题型1函数的相关概念识别】..................................................................1

【题型2点与函数图象的关系】..................................................................2

【题型3求自变量的取值范围】..................................................................3

【题型4描点法画函数的图象】..................................................................3

【题型5从图象中获取信息】....................................................................6

【题型6确定实际问题中的函数关系式】..........................................................7

【题型7动点问题的函数图象】..................................................................8

【题型8判断函数的大致图象】.................................................................10

〉举一反三

【知识点1函数的概念】

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y,如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我

们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的

值是否对应唯一确定的y值.

【题型1函数的相关概念识别】

【例1）（2023春•吉林长春•八年级校联考期中）下列关于变量尤和y的关系式:y=x,2x2-y-0,y2-x,lx—

|y|=2,其中y是x的函数的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据函数的定义进行逐一判断即可：对于两个变量x和y,对于x的每个确定的值，y都有唯一的值

与之对应，那么y就叫做x的函数.

【详解】解：y=X,2久2-y=0符合函数的定义；

y2=》对于每一个正数x,y都有两个值与之对应，y不是x的函数，

2K一|y|=2对于每一个x（x>1）,y都有两个值与之对应，y不是x的函数，

故选B.

【点睛】本题主要考查了函数的定义，熟知函数的定义是解题的关键.

【变式1-1］（2023春・河北廊坊•八年级统考期末）高师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上

的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（）

A.金额是自变量B.单价是自变量

C.6.48和18是常量D.金额是数量的函数

【答案】B

【分析】根据函数的定义依次判断.

【详解】解：单价是自变量，金额和数量是变量，金额是数量的函数，只有B正确，

故选：B.

【点睛】此题考查了函数的定义，在一个变化过程中有两个变量x和》对于x的每一个确定的值，y都有唯

一确定的值与其对应，此时y是x的函数，x是自变量，熟记定义是解题的关键.

【变式1-2］（2023春•辽宁辽阳•八年级辽阳市第一中学校联考期中）下列曲线中能表示y是x的函数的是（）

【答案】D

【分析】根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于每一个

确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可.

【详解】解：A、部分x的值对应多个y的值，不是函数，不符合题意；

B、部分x的值对应多个y的值，不是函数，不符合题意；

C、部分X的值对应多个y的值，不是函数，不符合题意；

D、x的值与y的值一一对应，是函数，符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查函数的定义.熟练掌握函数的定义是解题的关键.

【变式1-3](2023春・浙江台州•八年级统考期末)台州市2023年中考体育排球项目考试的评分标准如下表:

个数tt>4844<t<4740<t<4336<t<3932<t<35

分值m109876

个数t28<t<3124<t<2720<t<2316<t<1912<t<15

分值77154321

现有两种说法：①t是爪的函数；②M是t的函数.下列判断正确的是()

A.①对，②错B.①错，②对C.①对，②对D.①错，②错

【答案】B

【分析】根据函数的定义，可直接得到答案.

【详解】解：题目中有两个变量t与小，对于每一个确定的t值，山都有唯一确定的值与其对应，所以爪是t的

函数；对于每一个确定的小值，t没有唯一确定的值与其对应，所以t不是小的函数.

故选：B.

【点睛】本题主要考查函数的定义(在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于每一个确定的x值,

y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是尤的函数)，牢记函数的定义是解题的关键.

【知识点2求函数的值】

(3)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多

个.

(2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即

给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值.

【题型2点与函数图象的关系】

【例2】点P(a,b)在函数y=2x+3的图象上，则代数式—4a+2b的值等于.

【答案】6

【分析】根据已知条件可得b-2a=3,代入代数式即可求解.

【详解】解：•..点P(a,b)在函数y=2x+3的图象上,

.,.2a+3—b

即b-2a=3

-4a+2b=2(6—2a)=2x3=6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查了求函数关系式，代数式求值，熟练掌握函数的定义是解题的关键.

【变式2-1】下列各点在函数y=3x+2的图象上的是()

A.(1,1)B.(-1,-1)C.(-1,1)D.(0,1)

【答案】B

【详解】A、把(1,1)代入y=3x+2得：左边=1,右边=3xl+2=5,左边力右边，故本选项错误；

B、把(-1,-1)代入y=3x+2得：左边=-1,右边=3x(-1)+2=-1,左边=右边，故本选项正确；

C、把(-1,1)代入y=3x+2得：左边=1,右边=3x(-1)+2=-1,左边力右边，故本选项错误；

D、把(0,1)代入y=3x+2得：左边=1,右边=3x0+2=2,左边右边，故本选项错误.

故选B.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标满足函数关系式的点一定在函数图象上.

【变式2-2］下列函数的图象，一定经过原点的是()

A.y=~B.y=x2—1C.y=5x2—3xD.y=-3x+7

【答案】C

【分析】函数的图象经过原点就是x=0时，y=0.

【详解】解：A、X#),所以不经过原点，故错误；

B、若x=0,则y=-L所以不经过原点.故错误；

C、若x=0,则y=5x0-3x0=0.所以经过原点.故正确；

D、若x=0,贝ljy=7.所以不经过原点.故错误.

故选：C.

【点睛】主要考查函数图象上点的坐标特征.函数图象上的点的横纵坐标满足函数的解析式.本题属于基础题.

【变式2-3］根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为3或-3时，输出的y值相等，则a等于()

A.-9B.-3C.9D.3

【答案】B

【分析】把x=3与x=-3代入程序中计算，根据y值相等即可求出a的值.

【详解】解：当乂=3时，由程序图可知丫=审=”，

当％=—3时,由程序图可知y=（-3）2+a=9+a,

・・,输出的y值相等，

.•.芋=9+a,解得a=-3.

故选：B.

【点睛】此题考查了函数值和代数式求值的知识，弄清程序中的关系式和理解自变量取值范围是解本题的关

键.

【题型3求自变量的取值范围】

【例3】（2023春•全国•八年级专题练习）下列函数自变量x的取值范围错误的是（）

A.y=—2/+1中，x取全体实数

B.>=二中，尤取不等于一1的实数

C.y=Jx-2中,X取大于或等于2的实数

D.y=*中，x取大于或等于一3的实数

【答案】D

【详解】A、函数是y=2x2,x的取值范围是全体实数，正确；

B、根据分式有意义的条件得，x+l/）,解得*-1,正确；

C、由算术平方根X-2N0,解得疸2,正确；

D、根据算术平方根和分式的意义，x+3>0,解得x>-3,错误；

故选D.

【变式3-1］（2023春・甘肃酒泉•八年级校考期中）函数尸中自变量x的取值范围是（)

A.x>0B.x>0C.x>9D.x>9

【答案】D

【分析】根据算术平方根的性质，被开方数大于等于0,列不等式求解.

【详解】解：根据题意得，%-9>0

：.x>9

故选：D.

【变式3-2]（2023春・北京延庆・八年级统考期末）函数）/=三的自变量x的取值范围是（）

A.x=0B.%=#0C.%=3D.汽。3

【答案】D

【分析】根据分式有意义的条件即可得到答案.

【详解】解：当X-370,即万力3时，二-有意义，

x-3

即函数y=*的自变量％的取值范围是工。3,

故选：D

【点睛】此题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键.

【变式3-3]（2023春•山东烟台•八年级统考期末）函数y=点自变量尤的取值范围是.

【答案】工力―1

【分析】根据分式有意义的条件可进行求解.

【详解】解：由题意得：板+1H0,

AxW—1；

故答案为X力一1.

【点睛】本题主要考查函数的自变量及分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键.

【知识点3函数的图象】

把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出

它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象.

【题型4描点法画函数的图象】

【例4】（2023春・北京西城•八年级北京市第一六一中学校考期中）函数问题：

(1)作出y与x的函数y=2|用的图象

①自变量》的取值范围是；

②列表并画出函数图象：

x…—2—1012

y......

③当自变量X的值从1增加到2时，则函数y的值增加了.

(2)在一个变化的过程中，两个变量x与y之间可能是函数关系，也可能不是函数关系:

下列各式中，y是x的函数的是.

®x+y=1；②|x+y|=l；③xy=1；®x2+y2=1；

【答案】(1)①全体实数；②4,2,0,2,4；图见解析；③2

⑵①③

【分析】(1)①根据y=2|x|求出x的取值范围即可；

②根据解析式填出列表，并在坐标系中描出各点，画出函数图象即可；

③把自变量x的值从1增加到2时，代入函数解析式中求解即可；

(2)根据函数的关系式的定义来求解即可.

【详解】(1)解：①在函数y=2|x|中，x的取值范实为全体实数，

故答案为：全体实数；

函数y=2|x|变形为y=2x或y=-2x,画图如下:

③当x=1时，y=2,当x=2时，y=4,

所以当自变量久的值从1增加到2时，则函数y的值增加了2；

(2)解：在①X+y=1,②+y|=1,③xy=1,@x2+y2=1中，

①③中对于尤的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，②④中对于x的每一个值，y都有两个值与它对

应，所以①③中y是刀的函数，②④中y不是x的函数.

故答案为：①③.

【点睛】本题主要考查了函数关系式，自变量取值范围，函数图象的画法，理解相关知识是解答关键.

【变式4-1](2023春・广东广州•八年级校考期中)在平面直角坐标系中画出函数y=-％+3的图象.在图象

上标出横坐标为-4的点A,并写出它的坐标；

【分析】先列表，再在坐标系内描点，再连线即可.

【详解】解：列表如下:

X一4-3-2-10123

y76543210

点A坐标(-4,7),

描点并连线：

【点睛】本题考查的是利用描点法画函数的图形，掌握列表，描点，连线画函数的图象是解本题的关键.

【变式4-2](2023春・浙江•八年级期末)已知函数y=2/—1

(2)并在给定的直角坐标系中用描点法画出函数y=2/_1的图像.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据函数表达式，将给定的x值代入计算，从而填表;

（2）根据表格中的数据，描点，再用平滑的曲线连接即可.

【详解】解：（1）当x=0时，y=-l；当x=l时，y=l,

填表如下：

X-2-1012

y=2%2—171-117

-►

x

【点睛】本题考查了函数的图像，求函数值，属于基础题，解题的关键是画图时注意要用平滑的曲线连接各

点.

【变式4-3］（2023春・山西•八年级统考期末）我们知道用描点法可以画出函数图象，这种方法是探究未知函

数图象变化规律的一个重要方法.下面是通过描点法画图探究函数y=SE图象变化规律的过程.

（1）下表是y与x的几组对应值，请完成表格：

X-2-10123

y0V2V3V5

（2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系久Oy中描出对应的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象;

3-

2-

1-

II_______________II1A

-2-1O123x

-1-

(3)根据图象，写出两条该函数具有的性质.

【答案】(1)1,2；(2)见解析；(3)答案不唯一，例如：该函数自变量》的取值范围是x2-2；当xN-2

时，y随x的增大而增大等.

【分析】(1)把x=-l,2代入y=lx+2求出y的值即可求解;

(2)用描点法画出函数的图像；

(3)根据函数图像的特征写出两条即可.

(2)画出的图象如答图所示.

(3)答案不唯一，例如：该函数自变量x的取值范围是xN-2；

当x2-2时，y随工的增大而增大等.

【点评】本题考查函数的图象及性质；利用所学函数知识探索新的函数性质，综合运用描点法.

【题型5从图象中获取信息】

【例5】(2023春•黑龙江大庆•八年级校联考期中)甲、乙两车从A城出发匀速行驶至2城，在整个行驶过

程中，甲、乙离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间f(小时)之间的函数关系如图所示，根据图象

(1)甲车的速度是.

(2)乙车用了小时到达B城；

(3)求乙车出发后多少时间追上甲车？

(4)求甲车出发多少时间，两车相距50千米?

【答案】(l)60km/h

(2)3

(3)1.5小时

(4)三小时、1.25小时、3.75小时或空小时

66

【分析】(1)根据函数图象可知甲车5小时行驶了300公里；

(2)根据函数图象可知甲车出发1小时后乙车出发，用了3小时到达;

(3)根据题意求出乙车的速度，再列方程解答即可；

(4)根据题意列方程解答即可.

【详解】(1)解：由题意得，甲车的速度是：300+5=60(km/h).

故答案为：60km/h；

(2)由题意可知，乙车用了3小时到达B城；

故答案为：3；

(3)乙车的速度为：3004-3=100(km/h),

设乙车出发后x小时追上甲车，根据题意得：

100%=60(x+1),

解得x—1.5,

答：乙车出发后1.5小时追上甲车；

（4）设甲车出发y小时，两车相距50千米，根据题意得：

60%=50或60%-100（x-1）=50^100（%-1）-60x=50或60x=300-50,

解得%=|或1.25或3.75或学

答：甲车出发三小时、1.25小时、3.75小时或交小时时，甲、乙两车相距50千米.

66

【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解

答.

【变式5-1］（2023春•重庆沙坪坝•八年级重庆一中校考期中）小明家、学校、小艾家依次在同一条笔直的公

路旁.一天放学后，小明到家发现错拿小艾作业本，于是返回并归还作业本.小明先从家跑步到学校找小

艾，发现小艾回家后又跑到小艾家，然后骑共享单车返回，小明与自己家的距离y（米）与小明从家出发的

时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中不亚做的是（）

A.小明在学校停留了10分钟B.小艾家离学校600米

C.小明跑步速度为每分钟180米D.小明骑共享单车的速度为每分钟200米

【答案】C

【分析】首先根据图象可知：随着时间的推移，第一个水平线段为小明在学校停留的时间，第二个水平线段

为小明在小艾家停留时间，再结合速度等于路程除以时间，即可作答.

【详解】解：随着时间的推移，第一个水平线段为小明在学校停留的时间，第二个水平线段为小明在小艾家

停留时间，

即小明用了10分钟就从家到了学校，在学校停留10分钟，再出发花了5分钟去小艾家，在小艾家停留5

分钟，从小艾家离开，花了9分钟返回家，

结合图象：小明在学校停留了10分钟，小明家距离学校为1200米，

小明跑步速度为：—-120（米/分钟），

小艾家离学校距离：1800-1200=600（米），

小明骑共享单车的速度为：臂=200（米/分钟）,

故错误的为C项，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了函数图象的应用，解题的关键是理解图象所包含的信息.

【变式5-2】（2023春・山东青岛•八年级青岛大学附属中学校考期中）为了增强抗旱能力，保证粮食丰收，某

村今年新建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同）.一

个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天。点到6点（至少打开一个水管），该蓄水池的蓄

水量如图2所示，并给出以下三个论断：①。点到1点只进水，不出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点

到6点只出水，不进水，则一定正确的论断是.

图1图2

【答案】①

【分析】根据图1可知进水速度小于出水速度，且出水速度为进水速度的2倍，结合图2每一个时间段的蓄

水量增减变化即可判断各时间段内进水管和出水管的打开情况.

【详解】解：由图1可知，每小时每个出水管的水速是每个进水管水速的两倍；

由图2可知，0点到L点打开两个进水管，没有打开出水管；

1点到4点蓄水量没有变化，说明打开两个进水管和一个出水管或者进水管和出水管都不打开；

因某天0点到6点（至少打开一个水管），故1点到4点打开两个进水管和一个出水管；

4点到6点打开一个进水管和一个出水管.

故答案为：①.

【点睛】本题主要考查了函数图象的分析能力和函数与实际问题结合的应用，能够根据图象的性质结合给出

的数据准确分析出图象中各段代表的实际意义是解题的关键.

【变式5-3]（2023春・北京昌平•八年级统考期末）甲乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、

同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒；在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）

与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示.

（1）甲的速度为米/秒，乙的速度为米/秒；

（2）离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米；

（3）乙到达终点时，甲距离终点还有米；

（4）甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是：秒<%<秒.

【答案】⑴4,5

（2）60

（3）68

（4）44,89.

【分析】①由12+3=4（米/秒）即得甲的速度，乙速度为400+80=5（米/秒）；②求出乙用12秒追上

甲，即甲、乙两人第一次相遇，即知此时距离起点5x12=60（米）；③列式计算可得乙到达终点时，甲

距离终点还有68米；④乙用12秒追上甲，再过32秒两人相距32米，故从x>44时起，两人距离超过32

米，当乙用80秒到达终点时，甲距离终点还有68米，甲再跑36米，两人相距32米，故当x<89时，两

人距离超过32米，即可得到答案.

【详解】（1）由图象可知，乙出发时，甲，乙之间距离为12米，即甲先出发3秒跑了12米，

.••甲的速度为12+3=4（米/秒），

•.•乙80秒到达终点，

，乙的速度为400+80=5（米/秒），

故答案为：4,5；

（2）:卢=12（秒）,

5—4

乙出发后，用12秒追上甲，即甲、乙两人第一次相遇，

此时距离起点5x12=60（米），

故答案为：60；

（3）V400-（12+80x4）=68（米），

，乙到达终点时，甲距离终点还有68米，

故答案为：68；

（4）当乙用12秒追上甲后，因每秒比甲多跑1米，

,再过32秒两人相距32米，即从x>44时起，两人距离超过32米，

当乙用80秒到达终点时，甲距离终点还有68米，

二甲再跑36米，两人相距32米，所需时间为36+4=9（秒），

二当x<89时，两人距离超过32米，

甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44<x<89；

故答案为：44,89.

【点睛】本题考查函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息.

【题型6确定实际问题中的函数关系式】

【例6】（2023春•山东威海•八年级统考期末）某油箱容量为60L的汽车，加满汽油后行驶了100Km时，

油箱中的汽油大约消耗了£如果加满汽油后汽车行驶的路程为xKm,邮箱中剩油量为yL,则y与尤之间

的函数解析式和自变量取值范围分别是（）

A.y=0.12x,x>0B.y=60-0.12x,x>0C.y=0.12x,0<x<500D.y=60-0.12x,00烂500

【答案】D

【详解】因为油箱容量为60L的汽车，加满汽油后行驶了100Km时，油箱中的汽油大约消耗了

可得：|x60-?100=0.12L/km,604-0.12=500（km）,

所以y与x之间的函数解析式和自变量取值范围是：y=60-0.12x,（0W烂500）,故选D

【变式6-1］（2023春•福建厦门•八年级统考期末）一个水库的水位在最近的10小时内将持续上涨.表二记

录了3小时内5个时间点对应的水位高度，其中t表示时间，y表示对应的水位高度.根据表中的数据，请

写出一个y关于t的函数解析式合理预估水位的变化规律.该函数解析式是：.（不写自变量取值范

围）

“小时00.512.53

w米33.13.23.53.6

【答案】y=[t+3.

【分析】从表格看，t=0时，y=3,而每半个小时增加0.1米，即每个小时增加0.2,即可求解.

【详解】从表格看，t=0时，y=3,

而每半个小时增加o.i米，即每个小时增加0.2,

故函数的表达式为：y=/+3,

故答案为y=[t+3.

【点睛】本题考查的是函数的关系式，此类题目通常按照找规律的方法，列出函数表达式.

(2)求出如何选择这两种计费方式更省钱.

【答案】⑴方式一：y=58+0.2x；方式二：y=88+0.Lv；

(2)当通话时间少于300分钟时，选择方式一合算，当通话时间是300分钟时，两种方式费用相等；当通话

时间多于300分钟时，选择方式二合算.

【分析】(1)根据费用等于月租加上通话时间乘以单价即可得到函数解析式；

(2)分三种情况求解即可.

【详解】(1)解：方式一的函数解析式为y=58+0.2r；

方式二的函数解析式为y=88+0.1x；

(2)当两者方式费用相等时，58+0.2x=88+0.1x,解得x=300；

当方式一合算时，58+0.2r<88+0.1x,解得x<300；

当方式二合算时，58+O.2x>88+O.lx,解得x>300；

.♦.当通话时间少于300分钟时，选择方式一合算，当通话时间是300分钟时，两种方式费用相等；当通话

时间多于300分钟时，选择方式二合算.

【点睛】此题考查了列函数关系式，一元一次方程与一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列得函数关

系式是解题的关键.

【变式6-3](2023春・辽宁锦州•八年级统考期末)某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置：

排数(X)1234...

座位数(y)50535659...

(1)按照上表所示的规律，当x每增加1时，y如何变化？.

(2)写出座位数y与排数x之间的解析式.

(3)按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由.

【答案】(1)当％每增加1时，y增加3；(2)y=3久+47；(3)某一排不可能有90个座位，理由见解析

【分析】(1)根据表格中数据直接得出y的变化情况；

(2)根据x,y的变化规律得出y与x的函数关系；

(3)利用(2)中所求，将y=90代入分析即可.

【详解】解：(1)由图表中数据可知；当x每增加1时，y增加3；

(2)由题意可知：y=50+3(x-l)=3x+47,

(3)某一排不可能有90个座位

理由：由题意可知：y=3x+47=90解得：%=y

故》不是整数，则某一排不可能有90个座位.

【点睛】本题主要考查了分析图表列函数解析式，解题的关键是认真分析图表，从中获取关键信息列出解析

式.

【题型7动点问题的函数图象】

[例7](2023春・广东深圳•八年级统考期中)王警察周六在一个半圆形的广场附近巡逻，从圆心。出发，

按图1中箭头所示的方向，依次走完线段04半圆弧力B和线段BO.沿途中王警察遇到了一位问路的游客

停下来交谈了2min.在整个巡逻过程中，王警察始终保持速度不变，最后回到出发点.王警察离出发点的

直线距离s(m)与时间t(min)之间的关系如图2所示，以下选项中正确的是()

图2

A.广场的半径是50米B.a=2TI

C.王警察的速度为100m/minD.王警察返回起点的时间为2兀+6

【答案】D

【分析】根据图象可知判断A,C；用半圆的弧长除以速度即可得出沿半圆弧力B巡逻时所用时间，可以判断

B；再求出王警察在整段路程中所用时间即可判断D.

【详解】解：由图象可知，广场的半径为100米，

故A错误，不符合题意；

由图象知，王警察的速度为—=50(m/min),

故C错误，不符合题意；

当王警察沿半圆弧4B巡逻时，距离出发点的直线距离是圆弧的半径，即s=100,

...所用时间为甯=2兀，

[a=2兀+2,

故B错误，不符合题意；

王警察返回起点所用时间为2+2兀