安徽省池州市贵池区2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题（含答案）

九年级数学随堂练习（九月份）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1.”长城是中华民族的骄傲"的英文是"TheGreatWallistheprideoftheChinesenation",在这句英文中,

字母“i”出现的频率是（）

111

A.B.C.D.

77To8

2.适量的运动有助于身体健康.经常运动的人在静息状态下心率的范围是60〜80次/分.某班班主任随机

测量了15名学生的心率，统计结果如下表所示：

心率/（次/分）6068707380

人数/名25512

这15名学生的心率的中位数是（）

A.65次/分B.67.5次/分C.70次/分D.72.5次/分

3.3知J3x-6+J6-3x+y=2024,则,2024中的值为（）

A.2024GB.20240C.2024D.2025

4.象棋是中国的传统棋种。在如图所示的象棋盘中，每个小正方形的边长均为1,“马”从图中的位置出发,

按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是（

D.Vn

5.下列运算正确的是（）

A.V6—V4=V2B.2V5x375=675

C.（3-V10）（3+V10）=lD.V18-V8=V2

6.若关于x的一元二次方程（a-l）/+x—；=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）

A.a/1B.a>'且awlC.且a/1D.a>1

22

7.生活中，我们可以用肘、挥、步长等来估计距离，某校教室里新安装了一台屏幕为矩形的多媒体设备,

小明同学想知道屏幕有多大，他用手测得屏幕的长是12挥，宽是5挥，则屏幕的对角线长大约是（）

（如图,1挂220cm）

B.240cmC.260cmD.340cm

8.某校举办了运动会，在200m赛跑中，有5位同学的成绩如下表所示，其中有两个数据被墨水遮盖了,

那么被遮盖的两个数据依次是（）

同学甲乙丙T戊平均成绩方差

时间/s3234.363333.

A.30,4B.30,2C.32,4D.32,2

9.如图，在Y/3C。中，2。=2幺民厂是4。的中点，作CEL4B,垂足E在线段45上，连接

£尸，。尸，下列结论中错误的是（）

A.ZDCF=-ZBCDB.EF=CFC.ZDFE=3ZAEFD.BC=BE

2

10.如图，在正方形4BC。中，X,N是对角线AD上的两点，且NMZN=45°,若BM=1,DN=2,

则MN的长为（）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.计算：V3xV8-V6=.

12.睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容，为了了解学生的睡眠

情况，张老师统计了八（3）班40名学生每天的睡眠时间，结果如下表所示，该班学生每天的平均睡眠时

间是h.

睡眠时间/h8910

人数/人62410

13.在△4BC中，ZC=90°,AB=c,BC=a,AC=b.若b—a=6,c=3y/6，则AABC的面积为

14.如图，在菱形4BCD中，AB=2,NABC=120°.

(1)菱形48CD的面积为.

(2)若点E,尸分别在48,8上，且DF=BE,连接。£,4F,则OE+4F的最小值为

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15.解方程.

(1)3%2+x—4=0.(2)(3x—2)~=(2.x—3)~.

16.计算.

(1)V6x^1+V12-V27.(2)(V7+75)(77-75)+(V3-2)2.

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”.

(1)如图，在△4BC中，AB=AC=5,BC=245.求证：△4BC是“梦想三角形”.

(2)在RtAASC中，ZC=90°,AC=2^3,若△48C是“梦想三角形”，求3C的长；

18.若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=加有实数根七,》2，且占7%-

(1)求加的取值范围.

(2)七'X[%2+X]X2=15,求m的值.

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19.2023年10月4日，杭州第19届亚运会龙舟项目在温州龙舟运动中心开赛，某商店为满足龙舟爱好者

的需求，特推出了龙舟模型，己知该模型每件成本30元，当模型售价为50元时，10月售出300件，11月、

12月销量持续走高，假如12月售出507件.

(1)求H月、12月这两个月的月平均增长率.

(2)为了让利于爱好者，商店决定在每月售出507件的基础上降价销售，己知模型单价每降低1元，可多

售出5件.若要使该商店仍能获利5570元，则每件模型应降价多少元？

20.观察下列等式.

第1个等式：（22—1丫+42=52;

第2个等式：（32-1）2+62=102；

第3个等式：（42—1）2+82=172;

第4个等式：,-1）2+1（）2=262.

（1）请用含〃（〃为正整数，且〃>1）的等式表示上面的规律，并证明其正确性.

（2）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3,4,5）.现有一个直角

边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若

不能，请说明理由.

六、（本题满分12分）

21.像（指+2）（君—2）=1,后・布=4（420）,（3+1）（指—1）=6—1仅20）,两个含有二次根式的

代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”。例如、石与石，、历+1与

、/5-1,26+3后与2百-36等都是互为“有理化因式”.进行二次根式计算时，利用“有理化因式”

可以化去分母中的根号.

21

（1）化简：①:=______；②厂厂=

3V2V7-V5

]]

（2）计算:+…+

V3+V2V4+V3

(3)已知a=42023-J2022,0=J2024-J2023,c=J2025-J2024，试比较a,瓦c的大小，并说明

理由.

七、（本题满分12分）

22.为了“弘扬载人航天精神，厚植爱国主义情怀”，某校团委从八、九年级学生中各抽取10名进行航天

（3）若八年级学生成绩的方差是1.2,请求出九年级学生成绩的方差，并判断哪个年级学生的成绩更为稳

定.

八、（本题满分14分）

23.如图，在正方形4BC。中，尸为5。的延长线上一点，连接尸4,过点P作尸£1.尸/,交的延长

线于点E,过点E作于点尸.

(1)求证：ASE尸为等腰直角三角形.

(2)求证：①CE=6PD；

②BD=2PF.

(3)若BP=BE,求证：PF=(V2+1)DF.

九年级数学

参考答案及评分标准

、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)

题号12345678910

答案CCBADBCADD

10•【解析】如图，将绕点Z逆时针旋转90。得到zMOH,连接NH,

ZMAN=45°,ZMAN=ZHAN=45°,:/\ABM绕点A逆时针旋转90°得到AADH,

AH=AM,DH=BM=1,ZABM=ZADH=45°,

AM=AH,

在AAMN与AAHN中,JAMAN=ZHAN,

AN=AN,

AAMN^&4HN(SAS),:.MN=HN;:ZNDH=ZADN+ZADH=450+45°=90°,

MN=HN=^DH2+DN2=亚.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

11.V612.9.113.-

2

14.(1)2A/3(2)4

【解析】(2)如图，连接CE,作点。关于直线48的对称点N,连接CE,BN,NE,DB,可得

DE=NE,DK=NK,DNLAB,:四边形是菱形，:.AB=CD,AB//CD,AD//BC,

DF=BE,ZABC=120°,AE=CF,ZDCB=ZDAB=60°,二四边形AECF为平行四边形，

AF=CE,:.DE+AF=NE+CE>CN,当E,N,C三点N共线时，+/尸最小，•.•四边形

4BC©是菱形，N4BC=120。,；.=4D,N4BD=60。,；.A4BD为等边三角形,：.AD=BD,

•••DN1AB,:.AK=BK,-：DK=NK,ZAKD=ZBKN,△ADK"ABNK,

ZNBK=/DAB=60°,BN=AD=2,•/ZABC=120°,/.NNBK+NABC=180°,N,B,C三点

共线，当E,N,C三点共线时，点E,B重合，<BN=BC=2,:.CN=4,即DE+Z/的最小值为

4.

N

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15.解：(1)3x~+x—4=0,

3x~-3+x—1=0,

3(x+l)(x-1)+(x-1)=0,

(x-l)(3x+4)=0,

x-1=0或3x+4=0,

4

X]=1,%2=~—,

(2)(3x-2)2=(2x-3)2,

(3x-2)2-(2x-3)2=0,

[(3x-2)+(2%-3)][(3x-2)-(2%-3)]=0,

(5x-5)(x+1)=0,

5x-5=0或x+l=0,

x1=l,x2=-1.

16.解：(1)原式=+2J5—=0.

(2)原式=7—5+3—46+4=9—4百.

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17.(1)证明：如图1,过点4作4D_L8C于点。，

VAB=AC,AD1BC,:.BD=-BC=6，

2

由勾股定理得AD=4AB2-BD2=275,

AD=BC,即AABC是“梦想三角形

(2)解：如图2,当NC边上的中线=时，BC7B>—CD?=3,

当边上的中线4E=5C时，AC2AE2-CE2,即BC?—[/台。)=(2百了，解得8C

=4,

综上所述，BC=3或4.

18.解：(1)(%—2)(%—3)=加化为一般形式为一—51+6—加=0,

•・•原方程有实数根Xi，%，且%尸%2,

A=Z)2—4QC=(-5)2—4(6—加)>0,

解得加＞--.

4

(2)由(1)得玉+%2=5,匹、2=6-加，

,/+X；%2=15,

X[X2+》2）=15,

/.（6-m）x5=15,

解得m=3.

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.解：（1）设11月、12月这两个月的月平均增长率为x,

根据题意可得300（1+%）2=507,

解得Xj=0.3=30%,x2=-2.3（不合题意,舍去）.

答：11月、12月这两个月的月平均增长率为30%.

（2）设当模型降价加元时，该商店获利5570元，根据题意可得（50—30—切）（507+5切）=5570,

解得叫=10,%=-91.4（不合题意，舍去）。

答：每件模型应降价10元.

20.解：（1）由题中等式的规律可得（及2—1）2+（2〃）2=（“2+1）2,

证明：左边="4一2〃2+1+4/2=/+2"?+1=（a?+1）=右边.

（2）它的三边长能为勾股数.理由如下：

•.•35=36—1=62—1,

把〃=6代入，得（62-）+（2x6）2=（62+,

§P352+122=372,

它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35,12,37.

六、（本题满分12分）

21.解：(1)①e②®26

32

f?x面弋—正_1।M_-V2V4-V3

一(亚+1)(亚-1)(0+司

(V2025+V2024)(72025-V2024)f)

=(V2-l+V3-V2+V4-V3+---+V2025-V2024)(V2025+1)

=(72025-1)(72025+1)

=2025-1

=2024.

11________J2023+J2022________

(3)=72023+72022

a-J2023-J2022(V2023+V2022)(V2023-V2022)

1_1

同理:=J2024+J2023,

~b~V2024-V2023

-=,1.J2025+J2024,

cV2025-V2024

111,

*.*—<一<—.a>b>c.

abc

七、（本题满分12分）

22.解:（1）8

（2）把八年级学生的成绩按从小到大的顺序排列为6,7,7,8,8,8,8,9,9,10,

QIQ

中位数是——=8（分）.

2

(3)九年级学生成绩的方差是看><[4x(7—8)2+2x(9—8)2+3x(8—8)2+1x(10—8)2]=1,

•.•八年级学生成绩的方差是1.2,九年级学生成绩的方差是1,

.•.九年级学生的成绩更为稳定.

八、（本题满分14分）

23.