黑龙江省鹤岗市萝北县某中学2025届高三8月模拟考试数学试题（含答案解析）

黑龙江省鹤岗市萝北县高级中学2025届高三8月模拟考试数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A=｛（x,y）\y=x+l,0<x<l],集合B=｛（尤/）卜=2x,0VxV10｝,则集合AC\B=

A.｛1,2｝B.｛x|0<x<l|C.｛（1,2））D.0

2.下列说法正确的是（）

A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底

B.空间的基底有且仅有一个

C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底

D.基底｛。，6,以中基向量与基底｛e,/,g｝基向量对应相等

3.已知复数Z]和Z2满足团=团=2,Z]+z2=G+i,则|z「Z2|=（）

A.1B.2百C.4D.8

4.1g逐+lgj药的值是

11

A.2B.1C.-D.—

22

5.下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（）

A.y=tanxB.y=log2x

23

C.y=—D.y—x3

尤"

6.下列结论正确的有（）

A.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，

X?和s；,S；,若X]=/，则总体方差/+S；）

B.96,90,92,92,93,93,94,95,99,100的第80百分位数为96

C.若随机变量X〜则D（3X+1）=11

D.若随机变量J〜N（3,b2）,p（^<l）=0.23,则尸（445）=0.77

7.设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第源=1,2,…，10）个人的水

试卷第1页，共4页

桶需8分钟，假设方各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他（她）们的接水次

序，使他（她）们的总的花费时间（包括等待时间和自己接水所花费的时间）最少（）

A.从我中最大的开始，按由大到小的顺序排队

B.从乃中最小的开始，按由小到大的顺序排队

C.从靠近77平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队

D.任意顺序排队接水的总时间都不变

1a

8.在给出的①eln3<3；②e21n3<2；③e。?<M3三个不等式中，正确的个数为（）

2

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、多选题

9.已知函数/(x)=cos20x+26sin0xcos0x-sin20x(<a>O)的周期为兀，当xe[O,g时，/(x)的

()

A.最小值为-2B.最大值为2C.零点为D.增区间为0.J

0

10.设S"是公比为正数等比数列｛%｝的前〃项和，若“2=!，。3。5=上，贝（）

264

A.a,=-B.S-,=一C.%,+s“为常数D.电-2｝为等比数列

1834

已知函数〃到=卜工+；龙

11.11121)-下列结论正确的有（）.

A.>=/(x)是奇函数B.y=在上单调递增

D.y=的最小值为In容

C.y=/(x)无极大值

三、填空题

12.若［子+以］的展开式中所有项的系数之和为1024,则该展开式中的常数项

是.

13.过抛物线C：产=叙的焦点厂的动直线交C于4,2两点，线段N2的中点为N,点尸

（12,4）.当|N4|+|NP|的值最小时，点N的横坐标为.

14.用1,2,3,…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数

的共有个.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.在VN8C中，8c分别是角C的对边，且cc，q空Rh

(1)求角8的大小；

(2)若a+c=l,求实数6的取值范围.

16.已知函数函x)=(x-左)e"若左=1,求/(x)在x=l处的切线方程.

22

17.已知双曲线。:1一方=1(°>0,6>0)的左、右焦点分别为片，月，且阳闾=8,尸(4,6)

是C上一点.

(1)求C的方程；

⑵过点的直线与C交于两点4B,与直线/：y=3x-12交于点N.设形=彳而,

NB=HBM,求证：2+〃为定值.

18.如图，在矩形/8CO和A8跖中，

AB=4,AD=AF=3,ADAF=^,DM=ADB,AN=AAE,0<A<1,

i&AB=a,AD=b,AF=c.

⑴当时，求MN与NE夹角的余弦值；

⑵是否存在2使得MV，平面/BCD?若存在，求出4的值，若不存在，请说明理由.

19.已知数列｛%｝是各项均为正数的等差数列.

(1)若％=2,且%9,%+1成等比数列，求数列｛%｝的通项公式。“；

(2)在(1)的条件下，数列｛6｝的前〃和为S“，设或=一一+一一+…+，一，若对任意的

»〃+1»〃+2

“eN*,不等式％V上恒成立，求实数左的最小值；

(3)若数列｛%｝中有两项可以表示为某个整数c(c>D的不同正整数次塞，求证:数列｛%｝中

试卷第3页，共4页

存在无穷多项构成等比数列.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CCBBDDBBBCDCD

题号11

答案BC

1.C

【分析】根据每个集合中对元素的描述，可得为直线求交点问题，可得答案.

【详解】由题意可得，集合A表示时线段y=x+l上的点，集合5表示OWxKlO时线

段y=2x上的点，则/C2表示两条线段的交点坐标，据此可得：ns={(1,2)).

故选：C.

2.C

【分析】根据空间向量基本定理判断选项可解.

【详解】A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底，所以A错.

3项，空间基底有无数个，所以3错.

〃项中因为基底不唯一，所以。错.

故选C.

【点睛】本题考查空间向量基本定理.

如果三个向量2、标不共面，那么对空间任一向量力，存在有序实数组"，"z}使得

p=xa+yb+zc

3.B

【分析】利用复数的几何意义结合向量运算求解.

【详解】题设等价为向量/满足同咽=2,£+5=(6,1),求它建

因为(a+可+(。-q=2(口+|彳)=16,

又归++2,所以―语116-4=2瓦

故选：B

4.B

【分析】根据对数的运算性质，可直接得出结果.

【详解】lgV5+lgV20=lgV10()=l.

答案第1页，共11页

故选B

【点睛】本题主要考查对数的运算，熟记运算性质即可，属于基础题型.

5.D

【分析】根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A,y=tanx的定义域为卜XH%"+

,2兀g2rrrr71

而一万〉一,tan—7i--V3<v3=tan—,

33―33

在定义域上不是增函数，故A错误.

对于B,>=1。8工的定义域为（0,+8）,它不关于原点对称，故该函数不是奇函数，

故B错误.

对于C,因为2>1时，故y=4在定义域上不是增函数，故C错误.

对于D,因为了=/为幕函数且幕指数为3,故其定义域为R,且为增函数，

而（-x）3=-d,故了=d为奇函数，符合.

故选：D.

6.D

【分析】根据总体方差公式，即可判断A,根据百分位数公式，即可判断B,根据二项分布

的期望公式，即可判断C,根据正态分布的对称性，即可判断D.

【详解】A.根据总体方差公式，可知，总体方差与两层的样本数有关，只有两层的样本数一

样，总体方差才是s2=，s；+sj,否则不正确，故A错误；

B.将数据按照由小到大的顺序排列90,92,92,93,93,94,95,96,99,100,10x0.8=8,则

生96+产99=97.5,则第80百分位数位97.5,故B错误；

C.若随机变量X~8（5，B，则0（用=5'j；=?，则。（3X+1）=9XT=10，故C错误;

D.若随机变量J~N（3«2）,p（Jwl）=0.23,利用对称性，

Pt45）=l-尸（空5）=1-抬<1）=0.77,故D正确.

故选：D

7.B

【分析】表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用

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(2m+2T+t)减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论

【详解】事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在

拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T分钟，小桶接满水需要t分钟，并设拎大桶者开始接

水时已等候了m分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了(m+T)分钟，拎小桶者一共等候

了(m+T+t)分钟，两人一共等候了(2m+2T+t)分钟，在其他人位置不变的前提下，让这

两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了

2m+2t+T2m+2t+T

分钟，共节省了TTT-t

分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者

之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少.这样经过一系列调整后，整个队伍都是从

小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短.

故选B.

【点睛】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对

象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决.经过若干次这种局部的调整，不断

缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法.

8.B

【分析】构造函数/卜)=乎，根据导数判断单调性，可判断①；由£=，/>3,根据函

数/'(x)的单调性，可得/金)</(3),进而判断②；由函数/(X)的单调性可得：>与，

进而0.4>浮，即1.2>ln3,再构造g(x)=e-x-l,根据函数的单调性可得”>1,2,进

而判断③.

【详解】令〃力=?,则小)=子二所以0<x<e时,r(x)>0,即〃x)在(O,e)上

单调递增，当X>e时，//(x)<0,即/(尤)在(e,+8)上单调递减；可得/(e)>/(3),即

—>—^eln3<3,故①正确；

e3

/3A-3

因为3/=痴___>3,所以/e2—</⑶，即InP粤<Itn惇Q，所以3in3ez<3e"n3,即e-21n3>Q9

J2

<>e2

故②错误；

再令g(无)=e*-尤T,则g'(x)=e：_],所以当x>0时，g'(x)>0,即g(x)在(0,+e)上单

答案第3页，共11页

调递增，所以g(x)>g(O)=O,则g(O.2)=e°2一0.2-1>0,即小>1.2.X0.4>-,e<3,

e

所以/(e)>/(3),即处〉华，即工〉华，所以0.4>华，即1.2>ln3,所以e°2>1.2>ln3,

e3e33

即e°2〉ln3,故③错误；

故选：B.

9.BCD

【分析】先对函数化简变形，再由周期求出Q的值，从而可求出/(%),然后逐个分析判断

【详解】/(x)=cos2cox+2y/3sintaxcostax-sin2cox(co>0)

=5/3sin2cox+cos2cox

=2sinl,

因为〃x)的周期为万，所以2三7r=%，得0=1,

2a)

所以/(X)=2sin+J

当不£[0,刍时，2x+—G—<sin|2x+—j<l,所以—1W2sin(2%+工]42,

26662\26)6k676

所以/(x)的最小值为-1,最大值为2,所以A错误，B正确,

TT57r

由/(x)=2sin2x+—=0,2x+—e—,——得2x+%*,解得.区,所以小)的

I6)6|_66

零点为5工7r，所以c正确，

咤口+5隹，得。X?所以小)的增区间为［咱，所以D正确,

故选：BCD

10.CD

【分析】设等比数列｛%｝的公比为q(q>0)，由等比数列的性质求出q,4可判断A;求出

S—21

等比数列的通项公式和前〃项和公式可判断B,C；由7可判断D.

【详解】设等比数列｛〃〃｝的公比为9(9>0),

以/%=%,%.43=a；q4=—4———,贝Iq=—9

又因为。2=%=5%=或，则a1=1，故A错误；

答案第4页，共11页

2

,故B错误;

因为辿」

故电-2｝为等比数列，故D正确.

故选：CD.

11.BC

【分析】对于A,判断/(-x)J(x)是否互为相反数即可;对于B,根据导函数在这个区间的

正负即可;对于C,根据函数的单调性判断有无极大值即可;对于D,根据函数的单调性可知,

在x==lng处，取最小值，代入即可.

23

【详解】对于A,/(-x)=ln(e^+l)+1x

.-./(-x)+/(尤)=历卜2+1)+：尤+为卜2工+1卜:尤=111(1+尸'+62'+1/0,

A错误;

32

对于B,

2-e2x+l

39

当八月;二声口:。时'+1=?

2x=ln—,x=—In—

323

且e2rl为增函数，所以在［-8,fn；)上，=T-告^<0"3单调递减;

在m，+j上，y，(x)=|一m>0,/(力单调递增；

且-故B正确；

223

答案第5页，共11页

对于C,由/(x)单调区间可知，/(X)无极大值，C正确;

,、(1orin1ii4ii4也

对于D,由单调区间可知，=/-In-=Ine3+1--In-=In--In-=In——,

\乙l/r*JDI—/J

故D错误；

故选：BC.

12.90.

【分析】利用所有项的系数和求出〃=5,结合二项式的展开式的通项公式即可求出结果.

【详解】令x=l,的展开式中所有项的系数之和为二+苗=4",

由题意可得4"=1024,即4"=4$，所以〃=5,

5—15

而的展开式的通项公式为G=G35"'xk,

令"2=0,则厂=3,所以该展开式中的常数项是屐35-3=10x9=90,

O

故答案为：90.

13.9

【分析】根据椭圆定义问题可转化为的最小值问题，数形结合可得M,N,P三点

共线时有最小值.

【详解】分别过点aB,N作准线的垂线，垂足为4,Bl,M,如图所示，

由抛物线的定义知，如/|=|4尸|,北比|=|明,

：.\AB\=\AF\v\BF\=\AAi^t\BBi\^=2\MN\,

\NA|+|^|=^\AB\+\NP\=\MN\+\NP\,

故原问题可转化为|W+|NP|的最小值问题，

当跖N,P三点共线时，|AW|+|NP|取得最小值，此时必=婕=4,

答案第6页，共11页

设/（xi,yi）,B（X2,H）,则;,1,

bf=4X2

y—y44411

两式相减得，1红=-----=『==：,即直线N3的斜率为；,

Xjf乂+%262x422

又直线经过点尸（1,0）,

直线的方程为y=g（x-1）,

把%=4代入，得4=；（0-1）

解得/=9,

.•.当|附|+|酒|的值最小时，点N的横坐标为9.

故答案为：9

14.600

【详解】解析：依题意，要使得各位数字之和为奇数，则可能是3个奇数1个偶数或3个偶

数1个奇数，

若为3个奇数1个偶数，则偶数一定排在个位，从4个偶数中选一个排在个位，有Cl=4

（种），

再在5个奇数中选出3个排在其余三个数位，有Al=60（种）排法，故有C1A1=24O（个）

数字；

若为3个偶数1个奇数，则奇数不排在个位，从5个奇数中选一个排在前三位有C|Al=15

（种），

再在4个偶数中选出3个排在其余三个数位，有A1=24（种）排法，故有ClA<A]=360（个）

数字.

综上，可得一共有240+360=600（个）数字.

15.（1）—3（2）UJ

【分析】（1）根据题设条件和正弦定理，结合三角恒等变换的公式，化简得到cos8=-；,

即可求解；

（2）由余弦定理得到从=/+,2+℃,结合基本不等式，即可求解.

【详解】（1）因为咨

cosC2a+c

答案第7页，共11页

ccqRsinR

由正弦定理。=2Ksin46=2Rsin5,c=2RsinC,可得>2二——..—

cosC2sin4+sinC

即2sin4cos3+sinCcosB+cosCsinB=0

即2sinAcosB+sin(3+C)=0,

因为/+3+C=;r,可得sin(5+C)=sin4,

所以2sin/cos5+sinZ=0,即sinA(2cos8+1)=0

因为sinZwO,所以COSB=—L,

2

)

又因为Be(O/),所以8=羊7T.

(2)因为Q+C=l,cosB=--,

2

由余弦定理得〃=tz2+c2-2accosB=a1+c2+ac

={a+c)2-ac=l-ac>1-=j，所以6之日，

又因为6<“+c=l,所以,即6的取值范围为

2L2)

16.y=ex-e.

【分析】根据导数的几何意义求解即可.

【详解】•・•〃x)=(x-l)e"/(1)=0

-：f\x)=x^,加1)=e.

.•・/(X)在x=l处的切线方程为：J-O=e(x-D,即歹=夕一0

【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.

22

17.⑴：哈=1

412

(2)证明见解析

【分析】（1）根据双曲线的定义和焦距的概念求出。、c,进而得出结果；

⑵设/（国,为），8（%，%），N（m,n）,显然直线的斜率存在，设直线的方程为

y-\=k（x-\）,联立双曲线方程并消去y,利用韦达定理得出王+马、王龙2表达式；将点N

坐标代入直线方程，结合福=4而可得4=Y-,同理求得〃一,

1-X]l-x2

答案第8页，共11页

进而化简计算2+〃即可.

【详解】（1）设。的焦距为2c,则忸用=2c=8,

即c=4,片（一4,0）,2（4,0）；

由双曲线的定义，得2a=归用一「四=J（4+4），62_«-4j+6?=4，即a=2,

__________22

所以Z）=y/c23*-a2=J16-4=26,故C的方程为------=1.

412

（2）设/（尤”%），8（%,%）,N（m,n）,显然直线48的斜率存在，

可设直线AB的方程为了-1=后卜-1）,代入3/-/=12,

得（3—左）x2—2人（1一女）x+2左一13—斤2=o.

由过点M（L1）的直线与C交于两点4B,得3-后2k0,

2k13k2

由韦达定理，得占+%=也匕J,Xlx2=~；；①

3-k3—k

由N（孙〃）在直线/:>=3x—12上，得〃=3加—12,即12—3冽+〃=0；②

由在直线45上，得〃-1=左（冽-1）.③

由福=4万7,得（王一冽,必一九）二4（1一再，1一%）,

即再一加=2（1-七）解得X=-j.同理，由NB=/nBM,得〃二-j

X»A-iI人）

(冽+1)(玉+^)-2xyX-2m

结合①②③，得几+〃=于心+9?2

］一再l-x2(1-再)(1-%)

2人(1一左)2"13-斤2.

(加+1)3-下"文§一4-2m_2k(m-\)-6m+26

(1-X1)(1-X2)Q-X])^-X2)

2(〃一1)一6加+262(n-3m+l^

=0.故几+4是定值.

(1-^)(1-^2)(l-^)(l-x2)

3

18.(1)—

v710

,,2

(2)存在；/1■=-

【分析】（1）利用空间向量的数量积求夹角即可;

（2）利用空间向量证明线面垂直即可.

答案第9页，共11页

【详解】（1）AE=AB+AF=a+c,

在矩形ABEF中,易知囤=5,

MN=AN-AM=AN-^AD+75M^

=2（5+c）-p+A（a-^）］=0_l>+/lc,

9

MNAEJ』

cos（MN.AE}=.r-

\/\MN\AE\

x5ic

3

故MN与/E夹角的余弦值—.

（2）若AW_L平面48cO,

•・•ABCD,

MN±AB,MN±AD.

贝i］丽.布=［（力_1）彼+同与=（/1_1）1与+/1己3=0,显然成立，

又丽.75=［（4-1）3+到Z=（2-1）铲+衣石=0,BP9（A-l）+^=0,

2

解得a=H，满足题意.

2

故存在4=5，使得跖V_L平面45CD

19.（1）a=2n•（2）—；（3）证明见解析.

n6

【分析】（1）根据给定条件列式，求出等差数列｛6｝的公差即可计算作答.

（2）由（1）求出S“，进而求得“，再求出”的最大值即可作答.

（3）用。的两个不同次幕表示数列｛。.｝的两项，由此分析、推理计算｛g｝存在无穷多项是

与某一项的差是公差的正整数倍作答.

答案第10页，共11页

【详解】(1)因为｛%｝是