线性代数 课件 赵建红 第6、7章 矩阵运算法、向量空间法

第六章第六章

第一节主要学习内容矩阵的运算矩阵运算法求解线性方程组6.1矩阵运算

这一章主要介绍矩阵运算及矩阵运算法求解线性方程组.6.1矩阵运算一、引例某高校期中、期末考试有选择题、填空题、解答题三种类型的题，小王期中、期末考试答对选择题分别为10题、6题，答对填空题分别为3题、5题，答对解答题分别为6题、7题；小李期中、期末考试答对选择题分别为8题、4题，答对填空题分别为3题、2题，答对解答题分别为5题、6题.选择题每题2分，填空题每题3分，解答题每题8分.问：（1）他们两次考试各题型的分别答对了多少题？（2）他们期中、期末成绩分别为多少？（3）如果期中占40%，期末占60%，他们的总评成绩分别为多少？小王、小李在两次数学考试中答对题数如表6-1考试情况所示：

题型

答题数姓名期中期末选择题填空题解答题选择题填空题解答题小王1036657小李8354266.1矩阵运算思考：（1）如何用矩阵表示他们两次考试各题型的答对题数？（2）如何用矩阵表示他们期中、期末成绩？（3）如果期中占40%，期末占60%，如何用矩阵表示他们的总评成绩？6.1矩阵运算

二、矩阵的运算6.1矩阵运算

现实生活中的许多问题都可以转化为相应的矩阵问题来处理，矩阵加减法、数乘、乘法、转置、矩阵的逆等运算不仅符合数学逻辑，而且在现实生活中都有其实际意义.6.1矩阵运算

图6-1矩阵加法

6.1矩阵运算

图6-1矩阵加法

所以矩阵加法的几何意义就是：它可以将两个向量组合并成一个新的向量组，这个新的向量组包含了原来两个向量组中的所有向量.6.1矩阵运算

当然，如果有更多的向量组合起来，可以形成这样的矩阵乘法.6.1矩阵运算

图6-2矩阵乘法6.1矩阵运算

图6-3筛子及筛眼四、矩阵的秩图6-2矩阵乘法6.1矩阵运算那么矩阵A的秩rank(A)可以看作筛眼的大小，R(A)越小对应的筛眼越小（忽略掉筛子的形状，下面用带网格的圆来表示筛子），如图6-4秩与筛子大小所示：图6-4秩与筛子大小

图6-5网格圆表示筛子6.1矩阵运算可以用带网格两个圆来表示这两个筛子，可以看到各自的筛眼大小不同，也就是各自的矩阵的秩不相同，如图6-6不同筛眼叠加所示：

当这两个筛子叠在一起的时候，叠加部分的筛眼变小了，比单独某一个筛子的筛眼要小,此时有rank(AB)<min(rank(A)，rank(B)).当然还有可能矩阵A，B的秩相同，筛眼大小相同，这时叠在一起时，叠加部分的筛眼等于其中某一个筛子的筛眼，如图6-7相同筛眼叠加所示，此时有rank(AB)=min(rank(A)，rank(B)).

综上所述：rank(AB)≤min(rank(A)，rank(B)).图6-6不同筛眼叠加图6-7相同筛眼叠加6.1矩阵运算五、矩阵的转置

产品原料（吨）

甲

乙9445310例6.1.1一个工厂生产甲、已两种产品，需用A，B，C三种原材料.如表6-2原材料需求表所示：表6-2原材料需求表6.1矩阵运算

6.1矩阵运算六、方阵的行列式

6.1矩阵运算

6.1矩阵运算

6.1矩阵运算七、矩阵的逆基于矩阵乘法和逆矩阵定义使用待定系数法求逆矩阵

6.1矩阵运算矩阵分块法求逆矩阵

6.1矩阵运算逆矩阵的几何意义：线性变换的“逆变换”

6.1矩阵运算

6.1矩阵运算逆矩阵的应用：矩阵编制Hill密码密码学在经济和军事方面都起着极其重要的作用.1929年，希尔（Hill）通过矩阵理论对传输信息进行加密处理，提出了在密码学史上有重要地位的希尔加密算法.下面我们介绍一下这种算法的基本思想.

6.1矩阵运算

6.1矩阵运算

在实际应用中，可以选择不同的可逆矩阵，不同的映射关系，也可以把字母对应的数字进行不同的排列得到不同的矩阵，这样就有多种加密和解密的方式，从而保证了传递信息的秘密性.上述例子是矩阵乘法与逆矩阵的应用，将数学与密码学紧密结合起来，运用数学知识破译密码，进而运用到军事等方面.6.2矩阵运算法求解线性方程组

6.2矩阵运算法求解线性方程组二、矩阵乘法、逆矩阵法求解线性方程组

6.2矩阵运算法求解线性方程组

6.2矩阵运算法求解线性方程组三、逆矩阵法求解线性方程组：图6-8逆矩阵法求解线性方程组设AX=B，A可逆，则X=A-1B，A-1(A，B)=(E，X)，即(A，B)行(E，X)，求解步骤如图6-8逆矩阵法求解线性方程组所示：6.2矩阵运算法求解线性方程组

6.2矩阵运算法求解线性方程组

6.2矩阵运算法求解线性方程组

6.2矩阵运算法求解线性方程组

6.2矩阵运算法求解线性方程组

6.2矩阵运算法求解线性方程组

四、应用拓展表6-3营养成分及单价表要求既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料方案.

饲料蛋白质（克）矿物质（克）维生素（毫克）价格（元/斤）1310.50.2220.510.736220.3410.50.80.4求最优问题例6.2.7

某动物园饲养动物，设每头动物每天需要300克蛋白质，90克矿物质，100毫克维生素.现有4种饲料可供使用，各种饲料每公斤营养成分含量及单价如表6-3营养成分及单价表所示：6.2矩阵运算法求解线性方程组

求解线性方程组首先要判断线性方程组是否有解，若无解则结束；若有解，则利用高斯消元法化简方程组并求得全体未知数的取值

6.2矩阵运算法求解线性方程组

6.2矩阵运算法求解线性方程组

6.2矩阵运算法求解线性方程组逆矩阵法求解线性方程组回顾与小结第七章向量空间法第七章

第一节主要学习内容向量导入向量是线性代数中最基本的概念，在数学和应用科学领域发挥着重要的作用，它不仅是解决几何问题的桥梁，而且在物理学、计算机图形学、数学建模等领域中扮演着重要的角色.向量空间是满足某些性质的集合，在向量空间中通过描述向量与矩阵的关系，向量与向量的线性组合来解决线性方程组解的问题.本章主要介绍了二维向量，三维向量，n维向量以及向量空间的基础概念和性质，在向量空间中通过向量组的性质来求解齐次（非齐次）线性方程的解.一、向量《自然哲学的数学原理》（PhilosophiaeNaturalisPrincipiaMathematica）是艾萨克·牛顿（IsaacNewton，1643-1727）的伟大著作，在这本书中他确立了牛顿物理学的原理，用经典的二维和三维几何学为“运动”和“力”这两个新演员搭建舞台，牛顿发现，对力的分析需要人们同时获取“力有多大？”以及“在什么方向上施力？”在这方面，他预见了向量的概念，向量是具有大小和方向的数学量.第一节向量向量是指既有大小又有方向的量，仅有大小没有方向的量叫做标量或数量.二、二维向量存在于在同一个平面的“向量”称为二维向量，又称为平面向量.例如物理中的力和速度，这些量是既有大小又有方向的二维向量的三种表示：几何表示：带有方向的线段叫做有向线段，如图7-1二维向量所示，A是起点，B是终点，箭头表示方向.向量可以用有向线段表示.其中有向线段的方向表示向量的方向，有向线段的长度表示向量的大小.图7-1二维向量

一切向量的共性是它们都有大小和方向，因此与起点无关的向量称为自由向量.即自由向量可在同一平面自由平移，平移后不影响向量的大小及方向.本文所研究的向量均为自由向量.

图7-3向量a的坐标表示

图7-2向量的坐标表示

两个向量的夹角及位置关系图7-4向量的夹角

图7-5木块滑动

图7-6向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则两向量首位顺次相接，首指向尾为和

图7-7向量加法的平行四边形法则两向量共起点为邻边作平行四边形，共起点对角线为和.向量加法的平行四边形法则

图7-11平行向量的和

图7-12向量加法的交换律

图7-13向量加法的结合律

向量减法运算

即两向量相减，共起点，连终点，方向指向被减向量图7-14向量减法的平行四边形法则

图7-15向量减法的三角形法则

向量的数乘运算向量数乘运算的性质：

图7-16向量加法的结合律向量数乘运算的性质：

图7-17向量加法的分配律（1）图7-18向量加法的分配律（2）

定理7.1.1

向量线性运算的坐标表示

三、三维向量图7-21空间直角坐标系

图7-22右手法则空间直角坐标系中任意两条坐标轴可以确定一个平面，这样的平面称为坐标面.空间直角坐标系有三个坐标面，分别是由x轴、y轴所确定的xoy面，由y轴、z轴所确定的yoz面，由x轴、z轴所确定的zox面.三个坐标面把空间分成八个部分，每一个部分称为一个卦限，如图7-23空间直角坐标系卦限图所示.图7-23空间直角坐标系卦限图

表7-1空间直角坐标系的八个卦限+--++--+++--++--++++----卦限IIIIIIIVVVIVIIVIII几何表示：与二维向量类似，空间中的有向线段可以表示三维向量，如图7-24三维向量，A是起点，B是终点，箭头表示方向.有向线段的方向表示向量的方向，有向线段的长度表示向量的大小.图7-24三维向量三维向量的三种表示

图7-25三维向量的坐标表示

两个向量的夹角及位置关系图7-26空间两向量的夹角

向量的共线与共面

三维向量的线性运算

向量线性运算的坐标表示

向量的方向角与方向余弦图7-27向量的方向角

向量在轴上的投影图7-28向量投影

数量积的坐标表示

图7-30数量积的分配律

图7-30数量积的分配律

图7-31数量积的数乘

向量积

向量的运算

向量的运算

向量与矩阵的关系

向量组

类似地

线性方程组的向量表示

五、向量空间

定义7.1.1线性关系

定义7.1.2

定义7.1.3

若向量组有一个部分组线性相关，则向量组整体线性相关．定理7.1.2

推论7.1.2-1

定理7.1.3

定理7.1.4

定理7.1.5

向量组的秩

定义7.1.4

定义7.1.5

定理7.1.6

推论7.1.6-1

等价的向量组具有相等的秩．

推论7.1.6-2

推论7.1.6-3

1、二维向量，2、三维向量，3、n维向量以及向量空间的基础概念和性质回顾与小结思考题：课后习题A第一题的2、3、6；第二题的4、5。

作业题：课后习题A第三题的2、4、5。复习思考题或作业题第七章向量空间法第七章

第二节主要学习内容向量空间法求解线性方程组线性方程组在现实生活中的应用非常广泛，不仅在工程学、计算机科学、通信、航空等学科和领域广泛应用，同时在理工类的后续课程中广泛应用，如电路、理论力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理等课程.为了更好地解决问题，必须在解题过程中理论联系实