广西贺州市平桂区某中学2024-2025学年高三考前综合训练数学试题（含解析）

广西贺州市平桂区高级中学2024-2025学年高三考前综合训练数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有

一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略

不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（）

A"

I6

2.已知双曲线C：，—卓=1（。〉0]〉0）的焦距为2~焦点到双曲线C的渐近线的距离为则双曲线的渐

近线方程为（）

A.y=B.y=±^/2xC.y=±%D.y=i2x

3.已知三棱锥尸—A5c中，AABC是等边三角形，AB=45PA=PC=2®PA工BC,则三棱锥尸—ABC的

外接球的表面积为（）

A.2571B.75»C.80»D.100万

mx+1

4.已知函数丫=优一2（。〉。且a/1的图象恒过定点「，则函数y=__图象以点P为对称中心的充要条件是（）

x+n

A.m=l,n=—2B.m=-l,n=2

C.m=l,n=2D.m=—1,n——2

5.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要

求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样.马吃了牛的一半，羊吃了马的一半.”请问各畜赔多少？它的大意

是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升）,

三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同.马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半.问羊、

马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）

255010025255010020040050100200

A•,,B♦,,C-•,,D•,,

7771477777777

,[x-ay+3>0

6.已知y=ax+人与函数/（x）=21nx+5和g（x）=f+4都相切，则不等式组/"八所确定的平面区域在

x+oy-2>0

必+/+2%—2y—22=0内的面积为（）

A.2TtB.3〃C.67rD.12万

7.关于圆周率孙数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可

以通过设计下面的实验来估计万的值：先请全校/〃名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对（尤,y）；再统计两数

能与1构成钝角三角形三边的数对（光广）的个数最后再根据统计数。估计万的值，那么可以估计万的值约为（）

4aa+2a+2m4〃+2加

A.B.------C.---------D.

mmmm

2

8.若复数其中】为虚数单位，则下列结论正确的是（）

A.Z的虚部为-iB.|z|=2C.z的共辗复数为_]_/D.z2为纯虚数

9.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|y=lg(l-x)},则()

A.{2}B.{-1,0}C.{-1}D.{-1,0,1}

io.如图，正方体ABC。—A4G。中，E,F,G,4分别为棱A/、CG、Bg、AM的中点，则下列各直

线中，不与平面AC2平行的是（）

A.直线EFB.直线GHC.直线EHD.直线

11.阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时

中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不

同的阅读计划共有（）

A.120种B.240种C.480种D.600种

12.已知函数/（%）=次1,若对于任意的小e（0,e],函数g（x）Wnx—x?+aV—〃x（））+l在（。㈤内都有两个不

同的零点，则实数。的取值范围为（）

2222

A.（1,e]B.（e—,e]C.（e——]D.（1,c—]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在[2f-的二项展开式中，x的系数为.(用数值作答)

412

14.在6c中，内角AB,C所对的边分别是a,b,c,^cosB=-,cosC=—,b=l,则。=.

2\x<l,

15.已知函数=loggx〉i,则/(/(2))=——.

16.已知函数y=f(x)为R上的奇函数，满足/'(X)>—2.则不等式/(x—1)<x2(3-21nx)+3(l-2x)的解集为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

_1

17.(12分)已知函数u(x)=xlnx,v(x)=—mx9+x-1,m£R.

2

u(x)

(1)令m=2,求函数h(x)的单调区间;

v(x)-x+l

(2)令f(x)=u(x)-v(x),若函数f(x)恰有两个极值点XI,X2,且满足l<」<e(e为自然对数的底数)

X]

求X1«X2的最大值.

18.(12分)如图，在四面体。ABC中，AB±BC,DA=DC=DB.

(1)求证:平面ABC，平面AC。；

(2)若A£)=2,AB=2BC,ZC4T>=30°,求四面体ABC。的体积.

夕2

19.(12分)在极坐标系0%中，曲线C的极坐标方程为=V2+psin6>,直线/的极坐标方程为

yl2-psin0

夕(cos8—sin9)=1,设/与C交于4、B两点,中点为"，A5的垂直平分线交C于E、尸.以。为坐标原点,

极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系xOy.

(1)求C的直角坐标方程与点〃的直角坐标;

(2)求证：|舷叫=

22=l（a〉6〉0）,点4（1,0）,5（。］），点尸满足砺+年砺=而（其中。为坐标原

20.（12分）已知椭圆斗

CTb2

点），点且P在椭圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设椭圆的右焦点为产，若不经过点尸的直线/：丁=丘+加（左＜0,加＞0）与椭圆。交于两点.且与圆

必+/=1相切.4加入丁的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.

21.（12分）在锐角AABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，AABC的面积S=2,且满足

6zcosB=Z?（l+cosA）,贝！）（c+Q—人）（0+人一〃）的取值范围是（）

A.（8^/2-8,8）B.（0,8）C.递心,88D.递心,8

I3）I3,

2213

22.（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=+==13＞》＞0）的离心率为一.且经过点（1,-）,

a2b222

A,5分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点尸的直线/交椭圆C于。，E两点（其中。在x轴上方）.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若AAE尸与A8。尸的面积之比为1：7,求直线/的方程.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定

此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.

【详解】

当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.

此时椭圆长轴长为7122+62=6G，短轴长为6,

所以椭圆离心率e==2且，

V1675J5

r2.]

所以ee0,——.

故选：C

本题考查了楠圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.

2.A

【解析】

利用双曲线C：W—•4=1（。〉0]〉0）的焦点到渐近线的距离为3°,求出。，b的关系式，然后求解双曲线的

a~b~2

渐近线方程.

【详解】

双曲线C：1―4=1（。〉0力〉0）的焦点（。,0）到渐近线法+分=0的距离为近0,

ab2

可得：/A二旦,可得2=走，-=73,则C的渐近线方程为、=±后.

J/+'2c2a

故选A.

本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.

3.D

【解析】

根据底面为等边三角形，取中点”，可证明3cL平面R4M，从而即可证明三棱锥P—A5C为正

三棱锥.取底面等边AABC的重心为。'，可求得尸到平面ABC的距离，画出几何关系，设球心为。，即可由球的性质

和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.

【详解】

设〃为中点，AA5C是等边三角形，

所以AML5C,

又因为B4L5C,且上4。4欣=4,

所以3CL平面？AM，则

由三线合一性质可知PB=PA=PC,

所以三棱锥P—ABC为正三棱锥，AB=4区PA=PB=PC=275,

设底面等边AABC的重心为0',

可得AO'=gAM=gx6=4，po,=个PA2—AO?=J20—16=2,

所以三棱锥P-A5C的外接球球心在面ABC下方，设为。，如下图所示：

由球的性质可知，尸0,平面ABC,且P,。,。在同一直线上，设球的半径为H,

在RAM?。中，AO?=49〃+。0,2，

即R2=16+(H-20,

解得R=5,

所以三棱锥P—ABC的外接球表面积为S=4»R2=4〃X25=100%，

故选：D.

本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高,

属于中档题.

4.A

【解析】

由题可得出P的坐标为(2,1),再利用点对称的性质，即可求出相和〃.

【详解】

鼠一2=0

根据题意，〈，，所以点P的坐标为(2,1),

b=1

“mx+im(x+n)+1-mn1—mn

又y=-----=---------------=m+----,

x+nx+nx+n

所以机=1,〃=一2.

故选：A.

本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.

5.D

【解析】

设羊户赔粮田升，马户赔粮与升，牛户赔粮。3升，易知如。2，。3成等比数列，4=2吗+g+。3=50,结合等比数列的性质

可求出答案.

【详解】

设羊户赔粮4升，马户赔粮升，牛户赔粮应升，则%，。2，。3成等比数列，且公比4=2,%+出+%=50,则

“2、“必5050c100-200

4(1+4+4)=50,故%=]+,+22=F，"2=2%=——,a3—2ax——^―.

故选:D.

本题考查数列与数学文化，考查了等比数列的性质，考查了学生的运算求解能力,属于基础题.

6.B

【解析】

根据直线y=与/(%)和g(x)都相切，求得。涉的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆

x2+_y2+2x-2y-22=0,由止匕求得正确选项.

【详解】

,2,2

/'(%)=-,g'(x)=2x.设直线y=奴+匕与/(x)相切于点A(x0,21nx0+5),斜率为一，所以切线方程为

xxo

22,21(1)1

y_(21nXo+5)=-(x_x()),化简得y=-x+21nx()+3①.令g'(x)=2x=—，解得％=—，g一=—+4,

%%毛/片

、、(1、x—工］,化简得>=二》一=+

2214②.由①②对比系数得21nX+3=-4+4,

所以切线方程为y-=+40

%不

7X。%

11792(戈+1?"1),所以〃(x)在

化简得21n%o+=一1=。③.构造函数力(%)=21nx+-y—l(x>0),h(x)=--------

xoxxxX

(o/)上递减，在(1,+8)上递增，所以MX)在x=i处取得极小值也即是最小值，而网1)=0,所以〃(％)=o有唯一

x-ay+3>0x-2y+3>0

解.也即方程③有唯一解不=1.所以切线方程为丁=2尤+3.即4=2力=3.不等式组<即《

x+by-2>0x+3y-2>0'

画出其对应的区域如下图所示.圆%2+/+2x—2y—22=0可化为(％+1)2+(y—1)2=24，圆心为A(—1,1).而方程组

九一2y+3=0x=­lx-2y+3>0

的解也是《1.画出图像如下图所示，不等式组ccc所确定的平面区域在

%+3y—2=0b=l［x+3j-2>0

炉+V+2%—2y—22=0内的部分如下图阴影部分所示.直线x—2y+3=0的斜率为:，直线x+3y—2=0的斜率

II

1—1—

为一］所以1皿/84。=1311(4££>+/4£)£)=上3=1,所以NBAC=£,而圆4的半径为后=2n，所

1---X一

23

以阴影部分的面积是3义?义(2指『=3》.

故选：B

本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考

查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.

7.D

【解析】

0<%<1

由试验结果知相对。〜i之间的均匀随机数羽y，满足《八小面积为1,再计算构成钝角三角形三边的数对(乂丁)，

满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计"的

值.

【详解】

0<%<1

解：根据题意知，机名同学取相对都小于1的正实数对(x,y),即<

0<y<l'

对应区域为边长为1的正方形，其面积为1,

x2+y2<1

x+y>1

若两个正实数阳丁能与1构成钝角三角形三边，则有〈

0<%<1

0<y<1

7114a+2m

其面积s=——则有解得"

42m

故选：D.

本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题.线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直

接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变

量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.

8.D

【解析】

将复数z整理为l-z•的形式，分别判断四个选项即可得到结果.

【详解】

_2_2(1-0.

z的虚部为—1,A错误；目=，币=夜，3错误；z=l+i,C错误；

22

z=(l-0=-2i,为纯虚数，。正确

本题正确选项：D

本题考查复数的模长、实部与虚部、共辗复数、复数的分类的知识，属于基础题.

9.B

【解析】

求出集合3,利用集合的基本运算即可得到结论.

【详解】

由l-x>0,得X<1,则集合BHxIxVl},

所以，AnB={-1,0}.

故选：B.

本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合3是解决本题的关键，属于基础题.

10.C

【解析】

充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据跖〃AC判断A的正误.根据阳///AC,

判断B的正误.根据即//G仅与2c相交，判断C的正误.根据AB//2C，判断D的正误.

【详解】

在正方体中，因为跖〃AC,所以EF//平面ACD],故A正确.

因为阳//4q，4q/A4C,所以GH//AC,所以GH//平面ACR故B正确.

因为43//。。，所以45//平面AC2,故D正确.

因为EH//C[D,C[D与QC相交，所以与平面ACR相交，故C错误.

故选：C

本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题.

11.B

【解析】

首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果.

【详解】

一种分组方法；

将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有:

将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：禺=24种分配方法；

由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：10x24=240种

本题正确选项：B

本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.

12.D

【解析】

将原题等价转化为方程Inx—/+3；+1=/(%)在(0,团内都有两个不同的根，先求导尸(X),可判断xe(0,1)时，

/'(x)>0,“可是增函数；

当xe(l,e)时，/'(X)<0,7(%)是减函数.因此O</(X)W1,再令/(x)=lnx—Y+ax+l,求导得

F\x)=-2x~~aX~Y,结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点看，使得/'(x)=0在(0,e)有解，通过导

数可判断当％«0,不)时尸(x)>0,蜜⑺在(0,石)上是增函数;当x«x，e)时尸(力<0,蜜⑴在(和e)上是

减函数；则应满足-x)1mx=/(石)>1,再结合2x；-g-1=0,构造函数帆(x)=lnx+%2—1,求导即可求解；

【详解】

函数g(x)=lnx-f+依一在(o,e]内都有两个不同的零点，

等价于方程Inx—V+㈤；+1=/(%)在(0,句内都有两个不同的根.

/'(x)=ei—xei=(l—x)/一，所以当xw(0,l)时，/(%)>0,/(尤)是增函数;

当xe(l,e)时，f'(x)<0,/(%)是减函数.因此0</(x)Wl.

设/(x)=Inx-x2+tzx+1,F\x)=--2x+a=——――,

XX

若尸(x)=0在(0,e)无解,则/(力在(0㈤上是单调函数，不合题意;所以<'(x)=0在(0,e)有解,且易知只能有

一个解.

设其解为X],当%«0,玉)时尸⑴>0,/(%)在(0,%)上是增函数；

当」武石,6)时尸(x)<0,b(%)在(%,e)上是减函数.

因为V/e(0,e],方程111%-％2+<^+1=/(%0)在(0,6]内有两个不同的根，

所以尸(力1mx且尸(e)<0.由/(e)«。，即lne—/+ae+i«o，解得iVe—j

由/(')max=/(石)>1，即In%—％；+g+1>1,所以In玉一工；>0.

因为2%；—a%1—1=0,所以。=2%],代入In%—>0,得111玉+工；—1>0.

X]

设加(x)=lnx+x2-1,=—+2x>0,所以加(x)在(0,e)上是增函数，

而加⑴=lnl+1—1=0,由ln%+%；—l>0可得加(%)>加⑴，得

cl/、1

由a=2X]——在上是增函数，得l<a<2e——.

€

综上所述1<a<e-—,

e

故选：D.

本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力,

属于难题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-40

【解析】

由题意，可先由公式得出二项展开式的通项(+]=G25f(-1)'寸0-3,,再令得F3即可得出X项的系数

【详解】

=C；（2x2pT-^

的二项展开式的通项公式为

Tr+l

r=0,1,2,3,4,5,

令10-3r=1/=3,

所以12x2—!]

的二项展开式中X项的系数为Cf22-(-l)3=-40.

故答案为：-40.

本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.

56

14.

39

【解析】

先求得sin8,sinC的值，由此求得sinA的值，再利用正弦定理求得。的值.

【详解】

由于cos3=*,cosC="，所以sin5=-cos?3=，,sinC=Jl-cos?C=』,所以

513513

4A;:二

sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=—x--1——x—=——.由正弦定理得

51351365

56

a_b_b・sinA_65_56

sinAsinBsin3339

5

56

故答案为:

39

本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和

定理，属于中档题.

1

15.-

2

【解析】

先由解析式求得了(2),再求/(2)).

【详解】

f(2)=%2一,/(-1)=2-1=1,

所以/(/(2))=/(-!)=：,

故答案为：~

2

本题考查对数、指数的运算性质，分段函数求值关键是“对号入座”，属于容易题.

16.(0,1)

【解析】

构造函数g(x)=/(x—1)—三(3—21nx)—3(1—2x),利用导数判断出函数y=g(九)的单调性，再将所求不等式变

形为g(%)<g⑴，利用函数V=g(x)的单调性即可得解.

【详解】

-^g(x)=/(x-l)-x2(3-21nx)-3(l-2x),则g'(x)=/,(x-l)+4xlnx-4x+6,

设=4xlnx-4x+6,则/(x)=41nx.

当0<x<l时，此时函数y=〃(x)单调递减；当x>l时，〃(尤)>0,此时函数y=〃(％)单调递增.

所以，函数y=〃(九)在x=l处取得极小值，也是最小值，即/2(%需=/1⑴=2,

,.1/f(x-l)>-2,7?(%)>2,/f(x-l)+/z(x)>0,即g'(x)>0,

所以，函数y=g(x)在(0,+8)上为增函数，

:函数y=/(%)为R上的奇函数，则/⑼=0，

•••g(l)=/(。)-3+3=。,则不等式〃x—1)〈为(3—21nx)+3(l—2%)等价于g(x)<g⑴,

又0,解得Ovxvl.

因此，不等式1)<%2(3—21nx)+3(l—2x)的解集为(0,1).

故答案为：(0,1).

本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键.综合

性较强.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

e+1

17.(1)单调递增区间是(0,e),单调递减区间是(e,+oo)(2).鬲

【解析】

(1)化简函数。(X)=——,求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出

X

(2)函数/(x)恰有两个极值点X2,则/(x)-MX=0有两个正根，由此得到加(X2-xi)=lnx2-lnx\,m

巡+1

rt+1

(X2+X1)=lnx2+lnxi,消参数机化简整理可得/〃CxiX2)=ln—•-----,设/=一,构造函数g⑺=(------)Int,

再2__]玉1

利用导数判断函数的单调性，求出函数的最大值即可求出X1-X2的最大值.

【详解】

u(x)xlnxInx1-lnx

(1)令m=2,函数h(x)=/、-----=—^-----：-----;=---,「.h'(x)=-------,

v(xj-x+lX+X-1-X+1Xx

令h，(x)=0,解得x=e,

.,.当*£(0,e)时，hr(x)>0,当*£(e,+00)时，hr(x)<0,

.・・函数h(x)单调递增区间是(0,e),单调递减区间是(e,+00)

12

(2)f(x)=u(x)-v(x)=xlnx--mx—x+1,

2

/.f(x)=l+lnx-mx-1=lnx-mx,

•・,函数f(x)恰有两个极值点XI,X2,

.*.f(x)=lnx-mx=0有两个不等正根，

Inxi-mxi=0,Inx?-mx2=0，

两式相减可得lnx2-lnxi=m(X2-xi),

两式相加可得m(X2+X1)=lnx2+lnxi,

X.

--2--F1

.In(XjX2)_x,+X]_X]

InaX2-X1强_]

xiX1

x2，

xX]

In(X1X2)=ln—2•—!——

xi

xi

x2，X2,

设1=­，/.l<t<e,

xixi

t?-1-2tint

设g(t)=Int,•••g'(t)

t(t-l)2

令(p(t)=t2-1-2tlnt,.,.(pr(t)=2t-2(1+lnt)=2(t-1-Int),

.*.pr(t)=1—；>0恒成立,

再令p(t)=t-1-Int,

.*.p(t)在(1,e]单调递增，.'.(pz(t)=p(t)>p(1)=1-1-lnl=O,

A(p(t)在(1,e]单调递增，.*.gz(t)=(p(t)>(p(1)=1-1-21nl=0,

e+1

Ag(t)在(1,e］单调递增,Ag(t)max=g(e)

e-1

.e+1e+l

••In(X1X2)—,••X1X2^e-l

e-1-e

故X1・X2的最大值为0二I.

本题考查了利用导数求函数的最值和最值，考查了函数与方程的思想，转化与化归思想，属于难题

,4

18.(1)证明见解析；(2)—.

【解析】

(1)取AC中点产，连接根据等腰三角形的性质得到AC,利用全等三角形证得DPLEB,由此

证得DF±平面ABC,进而证得平面ABC±平面ACD.

(2)由(1)知D尸，平面ABC,即止是四面体ABCD的面ABC上的高，结合锥体体积公式，求得四面体ABCD

的体积.

【详解】

(1)证明:如图，取AC中点产，连接ED,EB,

D

由。A=DC,则。Ed.AC,

■：ABLBC,则E4=EB=FC,

故ADFA空ADFB-DFC

兀

故/Db3=/DE4=—,

2

•.•DF±AC,DF±FB,ACcFB=F

...OF，平面ABC.

又DFu平面ACD,

故平面ABC，平面AC。

（2）由（1）知£）尸_1_平面ABC,

即。歹是四面体ABC。的面ABC上的高，

且£）尸=ADsin3Q0=1,AF=ADcos30°=y/3.

在H^ABC中，AC=2AF=2AAB=2BC，

由勾股定理易知3C=冬叵,A3=勺叵

55

故四面体ABCD的体积

V^-S△A”

3Az>C32555

本小题主要考查面面垂直的证明，考查锥体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

19.(1)C：y+/=1,(2)见解析.

【解析】

"2_22

(1)将曲线C的极坐标方程变形为夕2+(夕sind)2=2,再由＜°—"+'可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标

[psmO=y

方程，将直线/的方程与曲线。的方程联立，求出点A、5的坐标，即可得出线段A5的中点M的坐标;

(2)求得==手，写出直线EF的参数方程，将直线EF的参数方程与曲线C的普通方程联立，利用韦

达定理求得|阿卜|"耳的值，进而可得出结论.

【详解】

(1)曲线。的极坐标方程可化为夕2=2—Ssin6>y,即22+(psind)2=2,

"2_22

将。—X+'代入曲线。的方程得必+2丁=2,

psin0=y

所以，曲线C的直角坐标方程为C:曰+y2=i.

将直线I的极坐标方程化为普通方程得x-y=l,

4

x-y=1

x=0

联立《,则点4(0,—1)、B

—+/=1

12」

因此，线段AB的中点为M

(2)由⑴^MA\=\MB\=^^，:.\MA\-\MB\=^,

X=

32

易知AB的垂直平分线EF的参数方程为<a为参数),

1V2

y二一+——t

32

-4

代入C的普通方程得』产—迪r—3=08

2339

因此，4HM8]=|“£卜|人用.

本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用,

考查计算能力，属于中等题.

20.(1)y+y2=1(2)是，2&

【解析】

(1)设尸(x,y),根据条件可求出p的坐标，再利用5,P在椭圆上，代入椭圆方程求出a,6即可;

⑵设&%,%）（%>°，彳2>°）运用勾股定理和点满足椭圆方程，求出|M2|，|NQ|,再利用焦半径公式

表示出进而求出周长为定值.

即0,。）+冬。」-小等即小

。+，=1d

因为3『均在。上，代入得《£，解得片=2/2=1,所以椭圆。的方程为土+y2=l；

\2一1

官+7一1

⑵由（1）得F（l,0）,e=等,。=JL作出示意图,

设切点为QM（%，X）,>°，W>°），

则IWP=IOA/p-lOQF=才+才一1=gx；,

同理|NQ『=x；+y；-1=3年

即|〃。|=¥%,|2\^|=等々，所以1削|=曰&+々），

[TA/2

X|AfF|=a-ex}=A/2———\y\NF\=a—ex?=72—x?,

则AMNF的周长|MN|+|"F|+|NF|=，（X]+々）+痣—日药+加—=20,

所以周长为定值2血.

标准方程的求解，椭圆中的定值问题，考查焦半径公式的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力，难度较难.

21.A

【解析】

由正弦定理化简得sin(A—B)=sinB,解得A=23(工，进而得到C=»―33e(三,工)，利用正切的倍角公式求得