人教版九年级数学上册专项复习：旋转模型之奔驰型（原卷版）

专题19旋转模型之奔驰型

1.如图，P是等边三角形ABC外一点，PA=3,PB=4,PC=5,求的度数.

B

产A

2..已知二，如图，P为,等边三角形ABC内一点，24=3,1叨=4,PC=5,求AABC的面积.

n(,

3.P是等边AABC内一点，PA=3,PB=4,ZAPS=15i00,求尸C的长.

4.如图，点尸是等边三角形A5c内一点，且上4=3,PB=4,PC=5,若将AAPB绕着点5逆时

针旋转后得到ACQ8.

(1)求点P与点。之间的距离.

(2)求NAP3的度数.

A

AC

5.如图①，在等腰RtAAOB中,ZAOB=9Q°,OA=OB,点Af,N分别是边AO,3c上的点,

且O暇=ON,连接跖V,如图②,将AMON绕点O顺时针旋转一定角度，使AM//ON,连接AV,

BN.

(1)求证：M^OA=^NOB-,

(2)若NAON=30。，BN=3,求AAOB的面积.

A三」

图①图②

6.已知AABC为等边三角形，D,E分别是边AB,AC上的点，且=将AADE1绕点A旋

转至如图所示的位置，连接BD,CE交于点Q.

(1)求证：A4BD=AACE；

(2)连接AQ,求证：QA是NBQE的平分线.

7.如图①，AABC和AADE■中，ABAC=ZDAE^90°,点D、E分别在边钻、AC上,

ZABC=ZADE=45°.

(1)如图②，将AADE绕点A逆时针旋转到如图位置，若NS4£>=30。，求NS4E1的度数；

(2)如图②，将AADE绕点A逆时针旋转过程中，当旋转角度夕=时，直线AC与DE垂直

(0°<a,,360°)；

(3)如图③，A4DE绕点A在平面内自由旋转，连接BD,且A£)=4,AB=10,求BD的最大值

和最小值.

8.(1)如图1,点尸是等边AABC内一点，已知R4=3,PB=4,

要直接求Z4的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把

这三边集中到一个三角形内，如图2,作440=60。使连接PD,CD,则AR4D是等

边三角形.

=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=60。

AABC是等边三角形

AC=AB,ABAC=60°

:.ZBAP=

.-.AABP=AACD

：.BP=CD=4,=ZADC

「在APCD中，PD=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2=PC2

:.ZPDC=°

ZAPB=ZADC=ZADP+ZPDC=60°+90°=150°

(2)如图3,在AABC中，AB=BC,NABC=90。，点尸是AABC内一点，PA=1,PB=2,PC=3,

求NAPS的度数.

9.如图，尸是等边三角形ABC内的一点，连接R4,PB,PC,以3尸为边作=60。，且3P=3。,

连接CQ.

(1)观察并猜想"与C。之间的大小关系，并说明理由.

(2)若PA=3,/>5=4,PC=5,连接PQ,判断APQC的形状并说明理由.

10.阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1,在等边三角形ABC内有一点尸，且上4=3,PB=4,PC=5,

求44PB度数.

小明发现，利用旋转和全等的知识构造△铲C,连接尸P,得到两个特殊的三角形，从而将问题

解决(如图2).

请回答：图1中/4PB的度数等于—，图2中々C的度数等于—.

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3,在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为(-6,1),连接40.如果点3是x轴上的一动点，

以钻为边作等边三角形ABC.当C(x,y)在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式.

11.平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集

中，以达到解决问题的目的.

(1)探究发现

如图(1),P是等边AABC内一点，PA=3,尸3=4,PC=5.求NARB的度数.

解：将AAPC绕点A旋转到AA/方的位置，连接尸P,则AA/火是三角形.

PP=PA=3,PB=4,PB'=PC=5,

P'P2+PB-=P'B2ABPP为三角形.ZAPB的度数为.

(2)类比延伸

在正方形ABCO内部有一点P,连接上4、PB、PC,若B4=2,PB=4,ZAPB=135°,求尸C

的长；

(3)拓展迁移

如图(3),在四边形ABCD中，线段相＞与3c不平行，AC=BD=a,AC与SD交于点O,且

NA8=60。，比较AD+3C与。的大小关系，并说明理由.

12.(1)在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题.

如图1,已知AABC中，NACB=90。，AC^BC,尸是AABC内的一点，且24=3,PB=1,PC=2,

求N3PC的度数.

小强在解决此题时,是将AAPC绕C旋转到NCBE的位置(即过C作CE_LCP,且使CE=CP,连

接EP、EB).你知道小强是怎么解决的吗？

(2)请根据(1)的思想解决以下问题：

如图2所示，设P是等边AABC内一点，PA=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度数.

13.如图，P是等腰AABC内一点，AB=BC,连接上4,PB,PC.

（1）如图1,当Z4BC=90。时，将AR4B绕5点顺时针旋转90。，画出旋转后的图形；

（2）在（1）中，若P4=2,PB=4,PC=6,求NAM的大小；

（3）当NABC=60。时，且R4=3,PB=4,PC=5,则AAPC的面积是（直接填答案）

14.（1）如图①，P是正方形ABCD内一点，连接R4,PB,PC.

①画出将APAB绕点B顺时针旋转90°得到的△PCB；

②若PA=2,PB=4,ZAPB=135°,求尸C的长.

（2）如图②，设P是等边三角形45c内的一点，B4=3,PB=4,PC=5,则NAP3的度数是—

①②

15.（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1,尸是正方形ABCD内

一点，连结PA,PB,PC现将APAB绕点B顺时针旋转90°得到的4PCB,连接PP.若PA=&,

PB=3,NAPB=135。，则PC的长为,正方形ABCD的边长为.

（变式猜想）（2）如图2,若点P是等边AABC内的一点，且R4=3,PB=4,PC=5,请猜想/4PB

的度数，并说明理由.

（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：

如图3,在四边形ABCD中，AD=3,CD=2,/45。=/48=//4£）。=45。，则瓦》的长度为.

16.下面是一道例题及其解答过程，请补充完整.

(1)如图1,在等边三角形ABC内部有一点P,上4=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度数.

解：将AAPC绕点A逆时针旋转60。，得到△AP5,连接小，则AAP户为等边三角形.

pp=PA=3,PB=4,PB=PC=5,

PP2+PB2=PB2.

:MPP为三角形.

.•./4PB的度数为.

(2)类比延伸

如图2,在正方形ABCD内部有一点P,若Z4PD=135。，试判断线段上4、PB、PD之间的数量

关系，并说明理由.

17.问题提出

(1)如图，点、M、N是直线/外两点，在直线/上找一点K,使得MK+MC最小.

问题探究

(2)在等边三角形ABC内有一点P,且上4=3,PB=4,PC=5,求NAPB度数的大小.

问题解决

(3)如图，矩形ABCD是某公园的平面图，A8=30坦米，8c=60米，现需要在对角线3。上修

一凉亭E,使得到公园出口A