数学探究：杨辉三角的性质与应用（第一课时）教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

数学探究：杨辉三角的性质与应用（第一课时）教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）数学探究：杨辉三角的性质与应用（第一课时）教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册教学内容本节课选自人教A版（2019）选择性必修第三册，为“数学探究：杨辉三角的性质与应用（第一课时）”。内容主要包括：杨辉三角的构造方法、性质及其在组合数学中的应用。具体涉及以下方面：

1.探究杨辉三角的构造过程，理解其形成规律；

2.分析杨辉三角的对称性、组合数性质及其与二项式定理的关系；

3.应用杨辉三角解决组合问题，如排列、组合数的计算；

4.引导学生运用归纳推理和数形结合思想，深入挖掘杨辉三角的数学价值。核心素养目标本节课旨在培养学生以下核心素养：

1.逻辑推理：通过杨辉三角的构造与性质探究，提高学生的归纳推理和演绎推理能力；

2.数学建模：运用杨辉三角解决实际问题，培养学生建立数学模型、解决问题的能力；

3.数形结合：借助杨辉三角的图形特征，发展学生数形结合的数学思维；

4.数学抽象：引导学生从具体的杨辉三角实例中提炼出一般性规律，提升数学抽象素养；

5.数据分析：通过对杨辉三角中数据的分析，培养学生发现规律、总结性质的能力。重点难点及解决办法重点：杨辉三角的构造方法、性质及其在组合数学中的应用。

难点：理解杨辉三角的对称性、组合数性质及与二项式定理的联系。

解决办法及突破策略：

1.利用动态演示、实物模型等多种教学手段，帮助学生直观地理解杨辉三角的构造过程，强化重点知识；

2.通过小组合作、讨论交流，引导学生发现杨辉三角的对称性、组合数性质，培养学生合作探究能力，突破难点；

3.设计具有层次性的问题，引导学生从特殊到一般、从具体到抽象地进行思考，激发学生思维，加深对性质的理解；

4.结合实际例子，将杨辉三角与二项式定理相结合，使学生能够更好地把握知识点之间的联系，提高解决问题的能力。教学方法与策略1.选择讲授与讨论相结合的教学方法，针对学生特点，以引导启发为主，讲授杨辉三角的基本概念和性质，同时组织学生进行小组讨论，促进学生主动思考和交流；

2.设计实验性教学活动，如构造杨辉三角的实践活动，让学生在操作中感受数学之美，提高学生的实践能力；

3.利用多媒体教学资源，如PPT、动画等，展示杨辉三角的构造过程和性质，增强学生的直观感受；

4.结合具体案例，组织学生进行探究性学习，引导学生在解决问题中运用所学知识，培养学生的创新意识和解决问题的能力。教学过程设计1.导入环节（5分钟）

-利用多媒体展示杨辉三角的图案，引发学生好奇心，提出问题：“你们觉得这个图案有什么特别之处？”

-学生分享观察到的特点，如对称性、数字规律等，教师总结并引导学生思考：“这些规律是如何产生的？它们有什么用途？”

2.讲授新课（15分钟）

-介绍杨辉三角的构造方法，通过动画演示和板书相结合的方式，使学生理解其形成过程。

-讲解杨辉三角的性质，如对称性、组合数性质，结合具体例子，让学生感受其在组合数学中的应用。

-解释杨辉三角与二项式定理的关系，引导学生运用数形结合的思想，理解数学知识的内在联系。

3.巩固练习（15分钟）

-设计具有梯度的问题，让学生独立完成，如计算杨辉三角中特定位置的数值、找出对称性质等。

-学生相互讨论、分享解题思路，教师点评并给予指导，确保学生掌握重点知识。

-针对学困生，进行个别辅导，帮助他们克服难点。

4.课堂提问（5分钟）

-提问学生在杨辉三角中发现的规律，检查学生对性质的理解程度。

-针对学生的回答，进行追问，引导学生深入思考，培养逻辑推理和数学抽象素养。

5.创新教学（5分钟）

-组织学生进行小组活动，要求每组设计一个与杨辉三角相关的实际问题，并给出解决方案。

-各小组分享问题及解决方案，其他小组评价、提问，教师总结并进行点评。

6.核心素养能力拓展（5分钟）

-引导学生思考杨辉三角在其他领域的应用，如计算机编程、图形设计等，激发学生的创新意识。

-布置课后作业：要求学生运用杨辉三角的知识，解决生活中的实际问题。

7.总结与反思（5分钟）

-教师与学生一起总结本节课的学习内容，强调重点和难点。

-学生分享学习收获和感悟，教师给予鼓励和指导。

教学过程设计中，教师需关注以下几点：

1.确保教学双边互动，充分调动学生的主观能动性。

2.关注学生的个体差异，因材施教，提高教学效果。

3.结合生活实际，培养学生的数学建模和数据分析能力。

4.注重数学思想的渗透，提高学生的数学核心素养。教学资源拓展1.拓展资源：

-推荐阅读：《数学的奇妙世界：杨辉三角》一书，该书详细介绍了杨辉三角的历史、性质和应用，有助于学生更深入地了解这一数学工具。

-视频资料：寻找有关杨辉三角的科普视频，如“探索发现：杨辉三角的奥秘”等，通过视觉呈现，使学生更直观地感受杨辉三角的美妙。

-实践活动：组织学生参与数学俱乐部或社团，开展杨辉三角相关的主题活动，如制作杨辉三角模型、研究杨辉三角在计算机编程中的应用等。

2.拓展建议：

-鼓励学生阅读拓展资料，了解杨辉三角的起源和发展，提高学生的数学文化素养。

-建议学生观看拓展视频，从不同角度认识杨辉三角，加深对性质和应用的理解。

-引导学生参与实践活动，将所学知识运用到实际中，培养学生的动手能力和创新精神。

-鼓励学生探索杨辉三角在其他领域的应用，如计算机科学、概率论等，拓宽知识视野。

-布置拓展性作业，如研究杨辉三角在古代数学发展中的作用，撰写小论文等，提高学生的研究能力和写作水平。板书设计①条理清楚、重点突出：

-杨辉三角的构造方法

-杨辉三角的性质

-对称性

-组合数性质

-与二项式定理的关系

-杨辉三角的应用

②简洁明了：

-关键公式：二项式定理

-核心性质：对称、组合数

-实例应用：排列、组合数计算

③艺术性和趣味性：

-杨辉三角图案直观展示，强调视觉美感

-采用不同颜色粉笔标出重点知识，增加视觉冲击力

-结合实际例子，以趣味故事或谜语形式引入杨辉三角，激发学生兴趣

-设计互动环节，如让学生上黑板参与构造杨辉三角，增强课堂趣味性

板书设计旨在帮助学生清晰掌握知识结构，同时注重艺术性和趣味性，以提高学生的学习兴趣和主动性。课后作业1.杨辉三角的构造与应用

-作业1：请根据杨辉三角的构造方法，自行完成一个5行的杨辉三角，并标出其中的对称性和组合数性质。

-举例：第5行第3个数是10，表示组合数C(5,3)，同时它也是第3行第5个数，体现了杨辉三角的对称性。

2.杨辉三角与二项式定理

-作业2：利用杨辉三角的性质，证明二项式定理中的组合数部分，即：

(a+b)^n=Σfromk=0ton(nchoosek)*a^(n-k)*b^k

-举例：以n=3为例，展开(a+b)^3，利用杨辉三角的组合数性质，可以得到：

(a+b)^3=C(3,0)*a^3+C(3,1)*a^2*b+C(3,2)*a*b^2+C(3,3)*b^3

3.杨辉三角解决排列组合问题

-作业3：给定一组数字1,2,3,4,5，使用杨辉三角计算所有可能的3个数字的组合数量。

-举例：答案为C(5,3)=10，即{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5}。

4.杨辉三角的递推关系

-作业4：证明杨辉三角中每一行的数字都满足以下递推关系：

C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)

-举例：C(5,3)=C(4,3)+C(4,2)=4+6=10。

5.杨辉三角的数学建模

-作业5：设计一个实际情境，使用杨辉三角来建立数学模型，并解决该情境中的问题。

-举例：假设一个球队有5名球员，教练需要从这5名球员中选择3名参加比赛，使用杨辉三角计算教练有多少种不同的选择方式。教学评价与反馈1.课堂表现：

-观察学生在课堂上的参与程度，如积极回答问题、主动提问、与同学互动交流等，评价学生的学习态度和积极性。

-关注学生在杨辉三角构造与应用实践活动中的表现，评估学生的动手能力和合作意识。

2.小组讨论成果展示：

-评价各小组在杨辉三角性质探究、实际应用问题解决等方面的成果，考察学生的团队合作和问题解决能力。

-鼓励学生分享学习心得，从同伴互助中汲取经验，提高自身学习能力。

3.随堂测试：

-设计针对杨辉三角知识点的随堂测试，包括填空题、解答题等，评估学生对课堂所学知识的掌握程度。

-分析测试结果，针对学生的薄弱环节进行有针对性的辅导和讲解。

4.课后作业完成情况：

-检查学生对课后作业的完成