2022年上海市高考数学试卷

第1页（共1页）2022年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知（其中为虚数单位），则．2．（4分）双曲线的实轴长为．3．（4分）函数的周期为．4．（4分）已知，行列式的值与行列式的值相等，则．5．（4分）已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为．6．（4分），，求的最小值．7．（5分）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则．8．（5分）若函数，为奇函数，求参数的值为．9．（5分）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为．10．（5分）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，1，2，，中不同的数值有个．11．（5分）若平面向量，且满足，，，则．12．（5分）设函数满足，定义域为，，值域为，若集合，，可取得中所有值，则参数的取值范围为．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.13．（5分）若集合，，，则A．，，0， B．，0， C．， D．14．（5分）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是A． B． C． D．15．（5分）如图正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，联结，．空间任意两点、，若线段上不存在点在线段、上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为A．点 B．点 C．点 D．点16．（5分）设集合，，①存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧；②存在直线，使得集合中存在无数点在上；A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.17．（14分）如图所示三棱锥，底面为等边，为边中点，且底面，．（1）求三棱锥体积；（2）若为中点，求与面所成角大小．18．（14分）．（1）若将函数图像向下移后，图像经过，，求实数，的值．（2）若且，求解不等式．19．（14分）在如图所示的五边形中，，，为中点，曲线上任一点到距离相等，角，，关于对称；（1）若点与点重合，求的大小；（2）在何位置，求五边形面积的最大值．20．（16分）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，．（1），中点在轴上，求点的坐标；（2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求；（3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值．21．（18分）数列对任意且，均存在正整数，，满足，，．（1）求可能值；（2）命题：若，，，成等差数列，则，证明为真，同时写出逆命题，并判断命题是真是假，说明理由；（3）若，成立，求数列的通项公式．

2022年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知（其中为虚数单位），则．【解答】解：，则，所以．故答案为：．2．（4分）双曲线的实轴长为6．【解答】解：由双曲线，可知：，所以双曲线的实轴长．故答案为：6．3．（4分）函数的周期为．【解答】解：，．故答案为：．4．（4分）已知，行列式的值与行列式的值相等，则3．【解答】解：因为，，所以，解得．故答案为：3．5．（4分）已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为．．【解答】解：因为圆柱的底面积为，即，所以，所以．故答案为：．6．（4分），，求的最小值．【解答】解：如图所示：由，，可知行域为直线的左上方和的右上方的公共部分，联立，可得，即图中点，，当目标函数沿着与正方向向量的相反向量平移时，离开区间时取最小值，即目标函数过点，时，取最小值：．故答案为：．7．（5分）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则10．【解答】解：二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，即，即，，故答案为：10．8．（5分）若函数，为奇函数，求参数的值为1．【解答】解：函数，为奇函数，，（1），，即，求得或．当时，，不是奇函数，故；当时，，是奇函数，故满足条件，综上，，故答案为：1．9．（5分）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为．【解答】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有种，而所有的抽取方法共有种，故每一类都被抽到的概率为，故答案为：．10．（5分）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，1，2，，中不同的数值有98个．【解答】解：等差数列的公差不为零，为其前项和，，，解得，，，，1，，中，，，其余各项均不相等，，1，，中不同的数值有：．故答案为：98．11．（5分）若平面向量，且满足，，，则．【解答】解：由题意，有，则，设，则得，，由同角三角函数的基本关系得：，则，，则．故答案为：．12．（5分）设函数满足，定义域为，，值域为，若集合，，可取得中所有值，则参数的取值范围为，．【解答】解：令得，或（舍去）；当时，，故对任意，都存在，，，故，故，，，而当时，，故当，，时，参数的最小值为，故参数的取值范围为，，故答案为：，．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.13．（5分）若集合，，，则A．，，0， B．，0， C．， D．【解答】解：，，，，0，，故选：．14．（5分）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是A． B． C． D．【解答】解：因为，所以，当且仅当时取等号，又，所以，故正确，错误，，当且仅当，即时取等号，故错误，故选：．15．（5分）如图正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，联结，．空间任意两点、，若线段上不存在点在线段、上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为A．点 B．点 C．点 D．点【解答】解：线段上不存在点在线段、上，即直线与线段、不相交，因此所求与可视的点，即求哪条线段不与线段、相交，对选项，如图，连接、、，因为、分别为、的中点，易证，故、、、四点共面，与相交，错误；对、选项，如图，连接、，易证、、、四点共面，故、都与相交，、错误；对选项，连接，由选项分析知、、、四点共面记为平面，平面，平面，且平面，点，与为异面直线，同理由，选项的分析知、、、四点共面记为平面，平面，平面，且平面，点，与为异面直线，故与，都没有公共点，选项正确．故选：．16．（5分）设集合，，①存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧；②存在直线，使得集合中存在无数点在上；A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立【解答】解：当时，集合，，，当时，集合，，，表示圆心为，半径为的圆，圆的圆心在直线上，半径单调递增，相邻两个圆的圆心距，相邻两个圆的半径之和为，因为有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，当时，同的情况，故存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧，存在直线，使得集合中存在无数点在上，如，综上，①成立②成立，故选：．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.17．（14分）如图所示三棱锥，底面为等边，为边中点，且底面，．（1）求三棱锥体积；（2）若为中点，求与面所成角大小．【解答】解：（1）在三棱锥中，因为底面，所以，又为边中点，所以为等腰三角形，又．所以是边长为2的为等边三角形，，三棱锥体积，（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，1，，，，，，，，平面的法向量，0，，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为，所以与面所成角大小为．18．（14分）．（1）若将函数图像向下移后，图像经过，，求实数，的值．（2）若且，求解不等式．【解答】解：（1）因为函数，将函数图像向下移后，得的图像，由函数图像经过点和，所以，解得，．（2）且时，不等式可化为，等价于，解得，当时，，，解不等式得，当时，，，解不等式得；综上知，时，不等式的解集是，，时，不等式的解集是，．19．（14分）在如图所示的五边形中，，，为中点，曲线上任一点到距离相等，角，，关于对称；（1）若点与点重合，求的大小；（2）在何位置，求五边形面积的最大值．【解答】解：（1）点与点重合，由题意可得，，，由余弦定理可得，所以，在中，由正弦定理得，所以，解得，所以的大小为；（2）如图，设与相交于点，由题意知五边形关于对称，所以四边形，设，结合（1）可知，所以，且为锐角，因为，所以，故，显然，的底边为定值，则在劣弧中点位置时，边上的高最大，此时，故，而，故的最大值为，同理，当在劣弧中点时，也取得相同的最大值，故点在劣弧中点或劣弧的中点位置时，五边形的面积最大，且为．20．（16分）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，．（1），中点在轴上，求点的坐标；（2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求；（3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值．【解答】解：（1）由题意可得，，的中点在轴上，的纵坐标为，代入得．（2）由直线方程可知，①若，则，即，，．②若，则，，，，．即，，，综上或．（3）设，由点到直线距离公式可得，很明显椭圆在直线的左下方，则，即，，，据此可得，，整理可得，即，从而．即的最小值为．21．（18分）数列对任意且，均存在正整数，，满足，，．（1）求可能值；（2）命题：若，，，成等差数列，则，证明为真，同时写出逆命题，并判断命题是真是假，说明理由；（3）若，成立