《线性代数》课件 第8章 线性变换

第八章线性变换第八章

主要学习内容变换线性变换变是绝对的，不变是相对的，数学就是在研究变与不变的客观规律.变换是一个状态到另一个状态的转化关系，这种关系可以用点的坐标之间的函数关系来刻画；刚好矩阵可以用来反映坐标之间的变换关系，是研究变换的有力工具.本章主要介绍线性代数中变换和线性性的基本概念，以及线性变换的重要性和应用.【导入】在日常生活中，如缩放、旋转、投影等现象，都是线性代数中的变换用相机拍出的照片，可根据人们的需求进行适当的缩小或放大，见图8-1.

图8-1生活中常见的图片放缩.第一节变换如果只考虑拍照，拍照前，现实世界中的事物是原像，拍照后，相机拍出的照片是像，所以也叫相片.如果考虑缩放变换，相机拍出的照片的每个点称为原像，原像的集合就是定义域，而将其进行缩放后的图片对应的点称为原像在这个缩放变换下的像，像的集合就是变换的值域.第一节变换地球每天都在围绕其自转轴和公转轴进行旋转，某个图形绕一个具体的点按照一个具体方向转动一个角度等，见图8-2.图8-2地球自转可看成绕轴进行旋转第一节变换

图8-3地球表面的点可以看成随自转进行的旋转第一节变换夏天大树在阳光下的阴影可以看成大树这个立体对地面的投影，同样地将大树上任意一点叫作原像，对应到地面上的影子为该点在投影变换下的像，见图8-4.当然处理力学问题时讨论力的分解，也可以看成合力在水平、垂直方向的两个投影变换.图8-4三维空间在平面上的投影“变”这一现象在宇宙中无时无刻都在进行着，不光上面介绍的例子.更一般的，斗转星移、万物生长、量子纠缠、测量物体等都物体前后对应的关系都可以看成数学上的变换.数学上将这种对应关系称为映射，而在以往的学习中最常见的映射就是函数.上面提到的变换就是一种映射，它将变化前后的对象以一种特殊但是确定的方式联系在一起，这里的对象可以是数字、向量、函数、或是任何物体.第一节变换在8.1节中介绍到的所有变换在生活或是专业上经常遇到的，如果想要了解到这些变换的更多的性质，需要借助数学思维将这些含有实际背景的变换抽离出来.如果不考虑其他的因素，将现实世界中的景物拍成照片的过程就可以看作景物对底片做了一次投影变换。第二节线性变换仅考虑投影这一动作会发现还有许多这样的例子，计算机断层扫描（CT）同样是将病人体内的器官投影到影片上，绘制地图的时候也可以看成将地球（曲面）投影到平面上.第二节线性变换

第二节线性变换在观察某些星系的时候需要在特定的季节，特定的位置进行观测，如何通过地球自、公转的规律确定下一个观测时间和地点？在进行CT扫描时，如何确定投影平面才能得到所需内部器官的信息？这些问题都可以总结为变换是如何实现的？这样的变换在工程应用上又有怎样的用途？为了弄清这些问题，线性代数发展出一系列的工具来研究说明这一主题.第二节线性变换

前面所提到的例子中，无论是投影变换、伸缩变换还是旋转变换都有一个现象：在同一条直线上的原像经过变换后得到的像仍旧在一条直线上.

例如，拍一张含有道路的照片，如果实际的道路是笔直的那么照片中呈现的像也将会是笔直的.可能照片上路的两边会相交在一点，但仍旧是直线，也就是说投影变换能够保持直线的像仍是直线，或许角度会发生偏转但不影响直线本身的形状。即是在图片上继续进行扩大，线性代数上说所说的伸缩变换是将图片的一边或是两边同时进行拉伸，图片上的景物可能会倾斜但笔直的公路仍然是笔直的.同样在旋转变换中也能清楚的看到这一性质：地球表面笔直的公路不会因为旋转变换而变得弯曲，无论自转还是公转也就是不管春夏秋冬、白天夜晚笔直的路都不会因为（单纯的）旋转变换而变得弯曲。这些变换有一些共同的特质性质：在处理两个东西的时候会遵循向量的加法，而在处理一个东西被放大的时候会遵循数乘性.第二节线性变换这种规律不仅在数学中有用，在生活中也能帮助我们更好地理解变换的工作原理.数学上将这种性质称为变换的线性性，即可以将线段变为线段.有线性性的变换称为线性变换，是线性代数中最重要的变换，也是现实世界中最常见的变换.第二节线性变换

第二节线性变换比如：旋转变换不会改变向量之间的角度，因此它保持向量之间的线性关系.缩放变换会改变向量的大小，但不会改变它们之间的方向，因此它也保持向量之间的线性关系.可以简单地说变换是将一个对象映射到另一个对象的函数.

线性变换是一种特殊的变换，它保持向量加法和标量乘法.在后面的介绍中，还将知道线性变换可以用矩阵表示，并具有许多重要的性质.第二节线性变换但是并不是所有的变换都具有线性性，就像8.1节中最后提到的动植物的生长就不具有线性性，因为生物在生长的过程中的变化并不一致，会在某一特殊时间段内生长得快一些。同样类似量子纠缠的双星系统或者多体系统的轨道也不能由具有线性性的变换得到.生活中的变换大多都不具有严格的线性性，如果把煮面条看作一个变换，那这个变换也不具有线性性，因为原来看作线段的面条经过“煮”变换后不都会呈现线段状，这说明这个变换在作用的过程中不是“均匀的”.第二节线性变换事实上，这是数学物理中一个复杂的过程，但是在学习数学的过程中总是先简单后复杂，先陌生后熟悉，就像微积分中的微分可以用来以直代曲，在实际应用中也可以通过一些手段用比较简单的线性变换去近似复杂的变换，这也是在大学的阶段除了专业课程之外还需学习数学的原因.第二节线性变换后面将介绍在线性代数理论基础上的线性变换，主要有位似变换、旋转变换、投影变换和切变变换等几类最常见的线性变换.

因此，线性变换是一类特殊的变换，最特殊的是线性变换可以保持变换前的直线依旧是直线，而变换仅仅是一种对应关系