向量综合归类-2025年高考数学二轮复习（解析版）

专题4向量综合归类

目录

讲商考....................................................................................1

题型全归纳...............................................................................4

【题型一】向量夹角...............................................................4

【题型二】线性运算1：基底型基础..................................................7

【题型三】线性运算2：双线交点型..................................................9

【题型四】线性运算3：“赵爽弦图”模型.............................................13

【题型五】向量基底“象限坐标轴”................................................16

【题型七】向量最值..............................................................19

【题型八】数量积................................................................23

【题型九】模及其应用............................................................25

【题型十】投影..................................................................27

【答案】-1..............................................................................................................................................27

【题型十一】面积与奔驰定理......................................................28

专题训练........................................................................32

讲高考

1.（2022•全国•统考高考真题）已知向量£石满足|大=1,向=退,值-2加=3,则£%=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：'：\a-2b|2=|3|2-45-6+4^|2,

X\a\=\,\b|=V3,\a-2b|=3,；.9=1-4晨1+4*3=13-4晨彼，a-b-1故选：C.

2.（福建•高考真题）已知|次|=1,|砺卜百，火.方=0,点C在/内，且N/OC=30。.

-------►----m

设OC=mOA+nOB（m、〃£R）,则一等于（）

n

A.1B.3CgD.V3

【答案】B

【分析】由题意可得方，无,建立坐标系，由已知条件可得诙=（m,6"）,进而可得

an300=—=—，即可得答案.

tm3

【详解】解：因为I厉1=1,1砺1=6,少•丽=0，

所以近，砺，又因为点C在2493内，且//OC=30。，建立如图所示的坐标系：

所以竺=3.故选：B.

n

3.（山东・高考真题）在直角。3C中CD是斜边上的高，则下列等式不成立的是（）

A.［珂=就.焉B.\CB^BA-BC

,i—I?（AC-AB）-（BA-BC）

c.［AB^12AC-CDD.\CD\=A——JA——）

11\AB\

【答案】c

【分析】根据向量模、数量积的运算对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，-|3c|­|Z5|•cosA=^4c\-\AC\=|^c|2,A选项正确.

B选项，A4-5C=|5c|■|-cos5=|5C|-|5C|=|5c|2-|c^|2-B选项正确.

c选项，IZC-C5=（28+5C）CZ）=Z8C5+SC-C5

=|西阿.（-cos4。）=-函，网2,C选项错误.

D选项，根据三角形的面积公式可知：

；网西昌国•同阿.|可=阿.函;

结合AB选项的分析可知：

—H2

CD\,D选项正确.故选：C

2

画14

C

4.（2022•全国•统考高考真题）在中，点。在边45上，BD=2DA.记声=丽丽=元,

则屈=（）

A.3玩一2五B.-2m+3nC.3玩+2元D.2玩+3元

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点D在边上，BD=2DA,所以丽=2万3，即CD-C3=2（C4-CD）,

所以赤=3比一2Z=3l-2碗=-2玩+3万.

故选：B.

5.（2022•全国•统考高考真题）已知。为坐标原点，过抛物线C:必=2.（°>0）焦点厂的

直线与C交于48两点，其中N在第一象限，点M（〃0）,若贝!］（）

A.直线的斜率为2面B.|O5|=|OF|

C.|>4|OF|D.Z0AM+Z0BM<ISO0

【答案】ACD

【分析】由=及抛物线方程求得/（¥，孚），再由斜率公式即可判断A选项；表

示出直线Z8的方程，联立抛物线求得3（5,_孚），即可求出|。邳判断B选项；由抛物线

的定义求出|四=当即可判断C选项；由次.砺＜0,疝.砺＜0求得NAMB为

钝角即可判断D选项.

【详解】对于A,易得尸（5,0）,由|/尸|=H"|可得点A在的垂直平分线上，则A点横

P

坐标为2+2二32,

2一彳

代入抛物线可得好=2小/=|/,则/（学,殍），则直线的斜率为药、=2&,

T-i

A正确；

L1D

对于B,由斜率为可得直线N3的方程为x=1府了+冷，联立抛物线方程得

/_e加一,2=0,

设8（国,乂），则41?+必=逅2，则必=一也，代入抛物线得

263

%",则%，-孚），

则阿=:―+F孚j=辛刈明=mB错误；

对于C,由抛物线定义知：\AB\=^-+^+p=^＞2p=4\OF\,C正确；

对于D,无丽=（孝坐呜，一字）/卜孚］一半卜一号＜0,则405为

钝角，

乂加而=（号孚）.（T，-孚）=/卜曰+*1-孚｝-平＜0,则

为钝角，

又ZAOB+AAMB+NOAM+ZOBM=360°,则ZOAM+ZOBM＜180°,D正确.

6.（全国•高考真题）向量汰3满足（力＞3+办=-4,且⑷=2,向=4,则万与不夹角的

余弦值等于.

【答案】-^##-0.5

【分析】禾！］用向量数量积公式得至IJ（3-袱）・（23+司=2）2-户一3%=8-16-8cos6=-4,解

出即可.

【详解】0-3＞（24+3）=2东-后一色石

:=2|歼-向2-|万防|cosd

=2-22-42-2-4-COS6（

=8-16-8cos。

=-4

解得cos6=-1.

2

故答案为：

2

7.（2022•全国•统考高考真题）设向量刃的夹角的余弦值为:，且同=1,问=3,则

（2a+b）-b=.

【答案】11

【分析】设£与书的夹角为0,依题意可得cosO=；,再根据数量积的定义求出最后

根据数量积的运算律计算可得.

【详解】解：设£与］的夹角为。，因为£与］的夹角的余弦值为:，即cos8=g,

又.|=1,利=3,所以a4=".Wcos0=lx3xg=l,

所以（2£+可%=2£%+7=2々%+|邛=2x1+3?=11.

故答案为：11.

题型全归纳

【题型一】向量夹角

【讲题型】

例题L己知平面向量£、5、"满足上"-@=F-2可=1,贝1工-45与125所成夹角的最大值

是（）

.兀c乃c2九「5〃

A.-B.一C.—~D.--

6336

【答案】A

【分析】

设£-2"与夹角为a，£-4坂与"-2族所成夹角为尸，利用平面向量的数量积可得出

cos£＞0,并可得出COS2£=（2+C°SC）=三+5+4cosa——利用基本不等式可

5+4cosa81616（5+4cosa）

求得cos£的最小值，可得出〃的取值范围，即可得解.

【详解】

设Z-2"与"-2%夹角为a，Z-4B与工-2族所成夹角为尸,

a-4刃=（a-2c）+2（c-2否），

所以，|a-4S|=|o-2c|+4k-2@+4|a-2c|jc-2/j|cosa=5+4cosa,①

仅一44伍一2%[(120+2仅一2训.仅一2®=(12®&2®+2p_2邛

=2+cosi>0,②

又.=L-4^1-1c-2^1cos0=L-4^1cos/?>0=>cos/?>0,③

②与③联立可得卜一倒cos'=2+cosa=>卜一4@•cos2y0=(2+coscr)2,④

・•・①④联立可得

(2+cos<7)2COS26Z-1.16cos2a-25+935+4cosa9

cos2/?1------------=1+-------------=1+---------------------=一+-------+----------

5+4cosa5+4cosa16(5+4cosa)81616(5+4cosa)

、3_(5+4cosa93

8V1616(5+4cosa)4

当且仅当cose=-；时，取等号，cos2/7>|^cos^>^,•”«()/],则匹0,今

故£一痛与25所成夹角的最大值是£，故选：A.

O

例题2.已知单位向量b,己满足@-3B=2缶，则B与1+扬夹角的余弦值为（）

A.--B.--C.--D.--

3223

【答案】A

【分析】_

根据万，b，己为单位向量，变形后平方可得：a-b=\,b-c=-^,a-c=0,利用夹角

_33

公式求出彼与3+8/夹角的余弦值.

【详解】

a,b，3为单位向量.

对4-3石=2岳两边平方，即片-6展5+/=2后2,可得：a-b=1；

由=可得：a=2A/2C+3b>两边平方，可得：b-c=-----;

3

由3-35=27^可得：a-242c=3b,两边平方，可得：a-c=0,所以

\a+V2c|=Va2+2>/2a-c+2c2=6.

。（3+后）

cos(b,a+42c)=故选:A

酢+母

【讲技巧】

求平面向量夹角的方法：

一7a・b一一

（1）定义法：利用向量数量积的定义得cos<a,6>=H^,其中两向量<°力>的取值

范围是［0,司；

(2)坐标法：若非零向量。=(%%)、6=(孙%)，贝心0S<%6>=&+；2点+,.

两个向量的夹角为锐角，则有a力>0,反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有。力

反之不成立

【练题型】

1.已知。=(cosa,-l,sina),B=(sina,-l,cosa),则向量Z+B与Z—石的夹角为()

A.90°B.60°C.30°D.0°

【答案】A

【分析】

结合空间向量的夹角坐标运算公式以及三角恒等变换化简求出夹角的余弦值，进而可得到结

果.

【详解】

因为〃=(cos%-1,sina),b=sincr,-l,coscr),

所以a+B=(cosa+sina,-2,sina+cosa),a-b=(cosa-sina,0,sina-cosa),

设向量Z+B与Z-B的夹角为夕，则

cosa+sina)x(cosa-sina)+(-2b0+gina+cosa)^ina-cosa)

cos0=

cos6Z+sin6Z)2+(-2)2+gina+cosajxa-sma)+02+iina-cosa

cos2a—sin2a+0+sin2a-cos2a

=0,

V6+2sinlaxj2-2sin2a

2.已知向量刃满足忖=2,6=(1,1),a-b=-2>设£与£+5的夹角为。，则cos(9=

1「V2V2

A，—2B.——V/•----D.

22~2

【答案】c

【分析】

由已知条件,求出卜+@及q.(a+B),然后利用向量的夹角公式即可求解.

【详解】

解：因为卜1=2,h=(l,l),=-2，所以.==后,

=，

3.已知两个单位向量3的夹角为三，则之与的夹角为(

“兀《_271

A.—BCD.——

3-T3

【答案】A

【分析】

先由数量积的定义及运算律求出［伍-5)弧/，再由夹角公式求解即可.

【详解】

f/ff2ff11TT12

a'\a-b^=a-a-b=l-lxlx—=—\a-b—2a,b+b-1,

设£与的夹角为氏则COS*"：（"』=2=L又6«0，句，则之与的夹角为R

忖卡-@1x123

故选：A.

【题型二】线性运算1：基底型基础

【讲题型】一一一

例题1.在中，BD=DC，AP=PD^且丽=2益+〃％,贝!M+M=（）

11

A.1B.—C.-----D.-1

22

【答案】c

【分析】

根据向量的线性运算法则，化简得而=-^益，再结合而=2万+〃k,求

得以九〃的值，即可求解.

【详解】

由题意在ANBC中，BD=DC,AP=PD^

—•1—■1—■1—■1—-

根据向量的线性运算法则，可得：BP=-BA+-BD=-BA+-BC

2224

1—►1/—►—►\3—»1—►

二——AB+-\AC-AB\^——AB+-AC,

24、744

—►—»—►31311

又由RP=+〃幺C,所以2=-^，〃=^，所以2+〃=-^+^=-5,故选：,

例题2.设。为AZBC所在平面内一点，BD=2DC,M为AD的中点，则而=（）

5—■1--1—■5—■

A.-AB——ACB.-AB——AC

6336

5—■1—.1—-5—■

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

6336

【答案】A

【分析】

画出图形，由平面向量的线性运算法则结合图形即可得解.

【详解】

由题意画出图形，如图，

因为百万=2万3，M为40的中点,

—•2—■—■1—.

所以5。=—8C,MA=——AD,

32

所以=+二——4D+4B=——（AB+BD+Z5=-AB--x-BC

22、>223

「方」阮-益）=?方-匕花.故选：A.

23、>63

【讲技巧】

用已知向量表示某一向量的两个关键点：

（1）用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.

（2）要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等

于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.

【练题型】

1.设M是AA8C边BC上任意一点，N为AM的中点，若福=2万+〃％,则2+〃的值

为（）

,111

A.1B.—C.—D・一

234

【答案】B

【分析】

_____1_______1-/——t___

设BM=tBC，通过ZN=—ZM，再利用向量的加减运算可得ZN=——AB+-AC,

222

结合条件即可得解.

【详解】

设两=辰，

则有

AN=-AM=-（AB+BM}=-AB+-tBC=^AB+-（AC-AB）=1-2^AB+-AC

22、'2222、'22

又款=2万+，

2=—

所以<，有2+〃=-----1—=-.故选B.

t222

______.—.1—.

2.已知在△NBC中，点M在边8C上，且万心=一2而，点E在边NC上，且AE=—EC,

2

则向量万面=()

1—-1—.1—-1—.

A.-AC+-ABB.-AC+-AB

2362

1—■1—■1—■3—•

C.-AC+-ABD.-AC+-AB

2662

【答案】B

【分析】

根据平面向量的线性运算得前=反+屈，由此可求出答案.

解：5C=-2CM>~AE=^EC,：.CM=EC=^AC,

：.EM=EC+CM=]-AC+-AB,故选：B.

62

3.已知在平行四边形48CZ）中，点M、N分别是BC、C£＞的中点，如果标=£,疝5=B，

那么向量丽=()

1-171-17一]7

A.—a——bB.——a+—oC.aH—bD.--a--b

2222222

【答案】B

【分析】

作出图形，利用平面向量加法法则可求得结果.

【详解】如下图所示：/

3--------------«

•・•点M、N分别是BC、CD的中点，

:.MN=MC+CN=-BC+i-CD=]-AD-]-AB=-]-a+与.故选：B.

222222

【题型三】线性运算2：双线交点型

【讲题型】

例题L如图，A45C中，AD=DB,AE=EC,CD与BE交于F,设/1=1，AC=b

)

C.Ki

【分析】

延长4F交3C于点由于4D=DB,AE=EC,CD与BE交于F,可知：点尸是

AA8C的重心，利用三角形重心的性质和向量的平行四边形法则即可得到答案.

【详解】

延长4F交8C于点M；•/AD=DB,AE=EC,CD与BE交于

R

F,

—2——1——

...点/是A45C的重心，AAF=-AM,AM=-{AB+AC),

f2f2

/.AF=-AM=-x-(^+AC)=-(AB+AC)=-a+-b又•:AF=xa+yb

332333J

1

x二一

］，贝I」(x,y)为；故答案选A

y=-

-3

例题2.在AZBC中，~AD=2DB，BE=2EC＞直线CD与NE交于点P,若

AP=mAB+nAC♦贝!!(叫〃)=()

Ac仁』D仁朗

〔7司B〔7旬〔7旬〔7另

【答案】D

【分析】

由向量三点共线，以及由基底的不同表示，由此能求出加，n.

因为而=2反，所以

2—■2—•

=-AC--AB

33

—*—*—*—*2—*2—*2—-1—*—►—►2s--s--

AE=AB+BE=AB+-AC--AB=-AC+-AB。设/尸=s/E='/C+士AS

333333

所以。「=/尸一/。=[§-5卜3+3/。，DC=AC-AD=一一AB+AC„由。、P、。共

线，所以丽//皮

s__22

£一£T56——•2——•4——•74

/.=—:.s=-：.AP=-AB+-AC：.m=~,n=—.故选：D.

_2177777

-3

【讲技巧】

向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量刃与非零向量Z共线的充要条件是有且只有一

个实数2,使得7筋.

变形形式：已知直线/上三点A、B、P,O为直线/外任一点，有且只有一个实数2,

使得：OP=(1-A)-OA+A-OB.

特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“£工胪，否

则2可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意

向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；

另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.

【练题型】

I.AABC中，M、N分别是8C、ZC上的点，且8河=2MC,AN=2NC,AM与BN

交于点P,则下列式子正确的是（）

人那+?就

A.Jp=-AB+-ACB.

42

11-1—►1—►

C.-AB+-ACD.AP-=-AB+-AC

2442

【答案】D

【分析】

MP1—■3——•

作出图形，连接MN,利用相似三角形计算得出一=一，进而可得出=结

AP34

合平面向量的基本定理可得解.

【详解】

如下图所示：

、-g,NCMC1PMMN_]

连接JW,n则——=——=—,，MN//AB，•:AAPMNs&AAB,

ANBM2~AP~BC~3

因此,

石4•。西+嬴）4方+泊卜

3—•1/--—■\1—•1—■

=-AB+-(AC-AB]=-AB+-AC.

42、'42

故选：D.

，一-1一->1

2.如图，在AZBC中，AD=-AB,AE=-ACBE和CD相交于点尸，则向量弱等

49

于（）

].3f

B.-AB+-AC

77

].2f].3f

C.—AB+—ACD.—AB+—AC

14141414

【答案】B

【分析】过点E分别作N7/N3交NC于点作FN//AC交.AB于氤N,由平行线

―>i—>―>1―>―>3->

得出三角形相似，得出线段成比例，结合2。=—4B,AE=-AC,证出ZM=—Z。和

427

—>1->

AN=-AB,最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得薪和N"表示XF-

【详解】解：过点厂分别作EM//48交ZC于点M,作下N///C交48于点N,

f16f1f

已知AD=-AB,AE=-AC,-：FNI/AC,则AMFE〜AABE和AMCF-AACD,

42

MC

MFMEcMFMCMF2ME-——

——=——且——=——，即an：——=----且rl1~AC所以

ABAEADACABAC-AB

4

MF2ME^MC,

AB—AC-AC

3-3―

则：MC=8ME,所以/M=—ZC,解得：AM=-AC,

77

NFNBNFND

同理FM//AB,丛NBF~dABE和丛ANFD~AACD，则：--------且----=----，

AEABACAD

NFNBNFND1

-------------------------——NR

即：1“28且ZC14R，所以NF24ND,

24ACABAB

则：NB=8ND,即ZB—ZN=8（AD—ZN）,

所以/B-/N=81；A8-NN],即ZB—NN=2Z5—8ZN,得：AN=；AB,

f1f.

解得：AN=-AB,•.•四边形ZMF"是平行四边形，

7

—>i3f

..•由向量加法法则，得办=/+向，所以ZEu'/B+'ZC.

故选：B.

—►1—►—►2—►—>

3.在AZBC中，BE=iBA,AD=m4C,BD,CE交于息F,则8歹=()

2—»1——>1--?—►

A.一BA.~\—BCB・—BAT—BC

3363

1—2—1—1一

C.-BA+-BCD.-BA+-BC

4363

【答案】D

【分析】B,F,D三点、共线,~BF=^BD-进而将於用前1c表示，同理利用CRE三

点共线，又将砺用诙，能表示，根据向量基本定理建立等量关系，即可求解.

—»——»—►——►2—»——►2——»——►1——►2——-

【详解】由题意可知++=BA+-(BC-BA)=-BA+-BC

3333

__.24______________►____

；民乙。三点共线，.•.而=2而=3目+3-反"C,F,E三点、共线，：.而=而，

----»----•----»----»----►----►----►1—II---------►----------►

BF-BE=〃(BC-BE),BF=〃BC+(1-〃)BE=^-BA+〃BC,

【题型四】线性运算3：“赵爽弦图”模型

【讲题型】

例题L如图所示,在中，设/=①/=6,4P的中点为。，8。的中点为R,

C7?的中点恰为P,则/=O

24-42-

A.-aH—bB.-a+-bC.-a+-bD.-a+-b

22337777

【答案】C

【分析】

由向量的三角形法则以及向量中点关系结合向量的基本定理可表示出AP-

【详解】如图，连接8尸，则/=衣+丽=3+丽＞®AP=AB+BP=a+RP-RB.②

①+②，得2衣=5+3-前.③

又而=；诬=；(/—0)=3|^_3衣］,@

—■_:1——24-

将④代入③，得2Ap=a+b—a---AP,解得/尸=——6.故选C.

212)17

例题2.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，

后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方

形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若病二，易=],康=3层，则族=（）

C.-ci-\—b

【答案】B

【分析】利用平面向量的加法法则和数乘向量求解.

【详解】由题得

->->->—3ff3(―->3,3f

BF=BC+CF=BC+-EA=BC+—EB+BA=BC+---BF+BA

4J414J

f-3，3f，16t12—♦16f12-

即5E=8C+———BF+BA,解得BF=—BC+—B4,^BF=—a+—b,

4(4)25252525

故选：B

【练题型】

L如图是由等边和等边AKGC构成的六角星，图中的5,D,F,H,J,L均

____177

为三等分点，两个等边三角形的中心均为。.若刀=后元+〃如，贝!J—=()

【答案】B

【分析】

以点。为坐标原点，为x轴，C%为y轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为

2囱，得出点4CJ的坐标，由向量的运算可求得加，〃的值，可得答案.

【详解】

由平行四边形法则，OA=2OB+~dj=2(dC+W)+OJ=2dC+3dj，所以机=2,

11=3,所以2=2

n3

以点。为坐标原点，。。为工轴，。/为V轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设等边三角形的边长为2省.则等边三角形的高为

由3,D,F,H,J,L均为三等分点,贝“。4|=gx3=2,|O/=gxG所以

/(0,2),J-------,0,Cy/3,1j

、3J

a4=(o,2),oc=(V3,i),a7=|-^,o|

6加-2拒"=0=3m2

所以3，解得°所以一=—故选：B.

m=2n3

m=2

2.如图，在AA8C中，设荏=万，衣=5,4P的中点为。，3。的中点为R,CR的中

点为P,若N=〃夜+"5，贝!)"，+〃=()

6

C.D.1

7

【答案】C

1—.—.

【分析】根据平面向量基本定理及其几何意义，结合条件可得值=万20+2QR及

3——一--——24-

-AP-QR=b,解方程可求得/0=+,即可得到m,n的值，所以得到

结果.___________________

【详解】解：由题意可得用=2/，函=2函，

-.-AB=a=AQ+QB=^AP+2QR,①

__,__________________1____3_____

AC=AP+PC=AP+RP=AP+QP-QRAP+-AP-QR=-AP-QR=b,②

一24-

由①②解方程求得NP=—万+—b.

77

246

—._m=—，n=—，m+n=一

再由4P=加万+应）可得777.

【题型五】向量基底“象限坐标轴”

【讲题型】

例题L如图，OM//AB,点尸由射线、线段0B及AB的延长线围成的阴影区域内（不

含边界）.S.OP=xOA+yOB，则实数对（x，N）可以是（）

【答案】A

【分析】

本题可利用平面向量基本定理和平行四边形法则将四个答案一一代入,然后判断点尸的位置,

排除错误答案，即可得出结果.

【详解】

根据平面向量基本定理和平行四边形法则可知：

<_13、,则无=一!就+士砺=前+少赤，点尸在阴影区域内，正确；

若取2_A

<4'幻4444

,则历=一工科+工赤=正+:砺，点在直线的上方，错误;

若取1P48B

155；5555

口_r,则无=工况—丽=上况+百点尸在直线的下方，错误;

若取LL5,/oc

142,4242

,则无=—就+砺前+乙砺，点尸在射线上，错误，

若取22=20MD

133J3333

故选：A.

例题2.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量万，OB=b>其中1=（3,

1）,b=（1，3）.若玩=入。+环，且屿吆狂1,那么C点所有可能的位置区域用阴

影表示正确的是（）

【答案】D

【分析】可以使用特殊点代入排除法，即取值，然后计算满足条件点的位置，然后排除到一

定错误的答案.

【详解】当入=口=1时，OC=Aa+/j.b=a+b=（4,4）,故可以排除C答案

当入=尸0时，OC=^a