金学导航大联考2025届高二上数学期末复习检测试题含解析

金学导航大联考2025届高二上数学期末复习检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.2．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不仅是著名物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（）A B.C. D.3．直线的倾斜角的大小为（）A. B.C. D.4．若执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A.18 B.78C.6 D.505．已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A或1 B.或C. D.16．已知数列{}满足，且，若，则＝（）A.－8 B.－11C.8 D.117．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：污染指数3060100110130140概率其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（）A. B.C. D.8．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.且9．设的内角的对边分别为的面积，则（）A. B.C. D.10．已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（）A. B.C. D.11．已知等比数列满足，则q＝（）A.1 B.－1C.3 D.－312．已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，表示向量是A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的左，右焦点分别为，，右焦点到一条渐近线的距离是，则其离心率的值是______；若点P是双曲线C上一点，满足，，则双曲线C的方程为______14．抛物线的准线方程是，则实数___________.15．已知等比数列的前n和为，若成等差数列，且，，则的值为_______________16．已知数列的前n项和为，则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的焦点为F，以F和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，过的直线交抛物线E于A，B两点（1）求抛物线E的方程；（2）是否存在常数，使得，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由；（3）证明：内切圆的面积小于18．（12分）已知等差数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，用符号表示不超过x的最大数，当时，求的值.19．（12分）我们知道，装同样体积的液体容器中，如果容器的高度一样，那么侧面所需的材料就以圆柱形的容器最省.所以汽油桶等装液体的容器大都是圆柱形的，某卧式油罐如图1所示，它垂直于轴的截面如图2所示，已知截面圆的半径是1米，弧的长为米表示劣弧与弦所围成阴影部分的面积.（1）请写出函数表达式；（2）用求导的方法证明.20．（12分）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一点，且的面积为1.（1）求椭圆的短轴长；（2）过原点的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的一点，若为等边三角形，求的取值范围.21．（12分）已知圆心在直线上，且过点、（1）求的标准方程；（2）已知过点的直线被所截得的弦长为4，求直线的方程22．（10分）已知函数（a为常数）（1）讨论函数的单调性；（2）不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得.故选：D.2、C【解析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于的方程组，求解方程组即可得答案【详解】由题意，设椭圆的方程为，由椭圆的离心率为，面积为，∴，解得，∴椭圆的方程为，故选：C.3、B【解析】由直线方程,可知直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又，所以，故选4、A【解析】根据框图逐项计算后可得正确的选项.【详解】第一次循环前，；第二次循环前，；第三次循环前，；第四次循环前，；第五次循环前，此时满足条件，循环结束，输出S的值是18故选：A5、A【解析】分截距都为零和都不为零讨论即可.【详解】当截距都为零时，直线过原点，；当截距不为零时，，.综上：或.故选：A.6、C【解析】利用递推关系，结合取值，求得即可.【详解】因为，且，，故可得，解得（舍）,；同理求得，，.故选：C.7、A【解析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可.【详解】由表知空气质量为优的概率是，由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为，所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率，故选：A【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.8、A【解析】根据双曲线定义，且焦点在y轴上，则可直接列出相关不等式.【详解】若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则必有：，且解得：故选：9、A【解析】利用三角形面积公式、二倍角正弦公式有，再由三角形内角的性质及余弦定理化简求即可.【详解】由，∴，在中，，∴，解得.故选：A.10、C【解析】设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，进而得，再结合余弦定理得，进而根据基本不等式求解得.【详解】解：设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则，因为点为线段中点，所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为，因为，所以在中，由余弦定理得，所以，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故.所以的最大值为.故选：C【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设，进而结合抛物线的定于与余弦定理得，，再求最值.11、C【解析】根据已知条件，利用等比数列的基本量列出方程，即可求得结果.【详解】因为，故可得；解得.故选：C.12、C【解析】根据所给的图形和一组基底，从起点出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论【详解】解：故选：【点睛】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.##1.5②.【解析】求得焦点到渐近线的距离可得，计算即可求得离心率，由双曲线的定义可求得，计算即可得出结果.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，焦点到渐近线的距离为，又，，，，.双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为，即，，即，解得：，由，解得：,.双曲线C的方程为.故答案为：；.14、##【解析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数.【详解】抛物线化为标准方程：，其准线方程是，而所以，即，故答案为：15、107【解析】根据等比数列和等差数列的通项公式，根据题意列方程可得，从而求出或，再根据，确定，进而求出，代入记得：.【详解】由题意可设等比数列的公比为，首项为，由成等差数列可得：，代入可得：，解得：或，又因为，易知，又因为，，所以，，故答案为：107.【点睛】本题考查了等差中项和等比数列的通项公式，考查了和的关系，同时考查了计算能力，属于中档题.16、【解析】先通过裂项相消求出，再代入计算即可.【详解】，则，故.故答案为：3.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）存在，1；（3）证明见解析.【解析】(1)根据几何关系即可求p；(2)求解为定值1，即可求λ＝1；(3)先求的面积，再由(为三角周长)可求内切圆半径r.【小问1详解】由题意焦点到准线的距离等于该正三角形一条边上的高线，因此，∴抛物线E的方程为【小问2详解】设直线的斜率为，直线方程为，记，，消去，得由，得且，，，，因此，即存在实数满足要求【小问3详解】由(2)知，，点F到直线AB的距离，∴的面积记的内切圆半径为r，∵，∴∴内切圆的面积小于18、（1）（2）9【解析】(1)首先根据已知条件分别求出的首项和公差，然后利用等差数列的通项公式求解即可；(2)首先利用等差数列求和公式求出，然后利用裂项相消法和分组求和法求出，进而可求出的通项公式，最后利用等差数列求和公式求解即可.【小问1详解】不妨设等差数列的公差为，故，，解得，，从而，即的通项公式为.【小问2详解】由题意可知，，所以，故，因为当时，；当时，，所以，由可知，，即，解得，即值为9.19、（1），（2）证明见解析【解析】（1）由弧长公式得，根据即可求解；（2）利用导数判断出在上单调递增，即可证明.【小问1详解】由弧长公式得，于是，【小问2详解】cos，显然在上单调递增，于是.20、（1）2（2）【解析】（1）根据题意表示出的面积，即可求得结果；（2）分类讨论直线斜率情况，然后根据是等边三角形，得到，联立直线和椭圆方程，用点的坐标表示上述关系式，化简即可得答案.【小问1详解】因为，所以，又因为，所以，，所以，则椭圆的短轴长为2.【小问2详解】若为等边三角形，应有，即.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，且，此时若为等边三角形，则点应为长轴顶点，且，即.当直线的斜率为0时，直线的方程为，且，此时若为等边二角形，则点应为短轴顶点，此时,不为等边三角形.当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为，则直线的方程为.由得,同理.因为，所以，解得.因为，所以，则，即.综上，的取值范围是.21、（1）；（2）或.【解析】（1）由、两点坐标求出直线的垂直平分线的方程与直线上联立可得圆心坐标，由两点间距离公式求出半径，即可得圆的标准方程；（2）设直线的方程，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理结合勾股定理列方程求出的值，即可得直线的方程【详解】由点、可得中点坐标为，，所以直线的垂直平分线的斜率为，可得直线的垂直平分线的方程为：即，由可得：，所以圆心为，，所以的标准方程为，（2）设直线的方程为即，圆心到直线的距离，则可得，即，解得：或，所以直线的方程为或，即或22、（1）当