2025届江苏省南京一中高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

2025届江苏省南京一中高一数学第一学期期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知角为第四象限角，则点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2．若是第二象限角，则点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3．若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.4．函数（，且）的图象必过定点A. B.C. D.5．若为所在平面内一点，，则形状是A.等腰三角形 B.直角三角形C.正三角形 D.以上答案均错6．若直线与互相平行，则（）A.4 B.C. D.7．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件8．函数的图像大致为A. B.C. D.9．若函数（，且）在上的最大值为4，且函数在上是减函数，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.10．下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．下列四个命题：①函数与的图象相同；②函数的最小正周期是；③函数的图象关于直线对称；④函数在区间上是减函数其中正确的命题是__________（填写所有正确命题的序号）12．已知，若，则的最小值是___________.13．已知函数，，则它的单调递增区间为______14．已知角的终边经过点，则的值为_______________.15．已知函数，若函数的最小值与函数的最小值相等，则实数的取值范围是__________16．在直角坐标系内，已知是圆上一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使，其中的坐标分别为，则实数的取值集合为__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.18．在①f(x)是偶函数；②是f(x)的图象在y轴右侧的第一个对称中心；③f(x)相邻两条对称轴之间距离为.这三个条件中任选两个，补充在下面问题的横线上，并解答.已知函数f(x)=sin(x+)(>0，0<<π)，满足________.（1）求函数f(x)的解析式；（2）将函数y=f(x)图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作y=g(x)；若函数F(x)=f(x)+kg(x)在(0，nπ)内恰有2021个零点，求实数k与正整数n的值.19．已知函数.（1）当时，求的定义域；（2）若函数只有一个零点，求的取值范围.20．设全集U=R，集合A={x|2x-1≥1}，B={x|x2-4x-5＜0}（Ⅰ）求A∩B，（∁UA）∪（∁UB）；（Ⅱ）设集合C={x|m+1＜x＜2m-1}，若B∩C=C，求实数m的取值范围21．已知函数..（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）若函数在区间上单调递减，且值域为，求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】根据三角函数的定义判断、的符号，即可判断.【详解】因为是第四象限角，所以，，则点位于第三象限，故选：C2、D【解析】先分析得到，即得点所在的象限.【详解】因为是第二象限角，所以，所以点在第四象限，故选D【点睛】本题主要考查三角函数的象限符合，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.3、B【解析】在上有解，利用基本不等式求出的最小值即可.【详解】即在上有解，所以在上有解，由，当且仅当，即时取得等号，故故选:B4、C【解析】因为函数，且有(且)，令，则，，所以函数的图象经过点.故选：C.【点睛】本题主要考查对数函数(且)恒过定点，属于基础题目.5、A【解析】根据向量的减法运算可化简已知等式为，从而得到三角形的中线和底边垂直，从而得到三角形形状.详解】三角形的中线和底边垂直是等腰三角形本题正确选项：【点睛】本题考查求解三角形形状的问题，关键是能够通过向量的线性运算得到数量积关系，根据数量积为零求得垂直关系.6、B【解析】根据直线平行，即可求解.【详解】因为直线与互相平行，所以，得当时，两直线重合，不符合题意；当时，符合题意故选：B.7、D【解析】根据题意“非有志者不能至也”可知到达“奇伟、瑰怪，非常之观”必是有志之士，故“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件，故选D.8、A【解析】详解】由得，故函数的定义域为又，所以函数为奇函数，排除B又当时，；当时，．排除C，D．选A9、A【解析】由函数（，且）在上的最大值为4，分情况讨论得到，从而可得函数单调递增，而在上是减函数，所以可得，由此可求得的取值范围【详解】当时，函数单调递增，据此可知：，满足题意；当时，函数单调递减，据此可知：，不合题意；故，函数单调递增，若函数在上是减函数，则，据此可得故选：A【点睛】此题考查对数函数的性质，考查指数函数的性质，考查分类讨论思想，属于基础题.10、C【解析】当时，不正确；当时，不正确；正确；当时，不正确.【详解】对于，当时，不成立，不正确；对于，当时，不成立，不正确；对于，若，则，正确；对于，当时，不成立，不正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：利用不等式的性质求解是解题关键.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①②④【解析】首先需要对命题逐个分析，利用三角函数的相关性质求得结果.【详解】对于①，，所以两个函数的图象相同，所以①对；对于②，，所以最小正周期是，所以②对；对于③，因为，所以，，，因为，所以函数的图象不关于直线对称，所以③错，对于④，，当时，，所以函数在区间上是减函数，所以④对，故答案为①②④【点睛】该题考查的是有关三角函数的性质，涉及到的知识点有利用诱导公式化简函数解析式，余弦函数的周期，正弦型函数的单调性，属于简单题目.12、16【解析】乘1后借助已知展开，然后由基本不等式可得.【详解】因为，所以当且仅当，，即时，取“=”号，所以的最小值为16.故答案为：1613、（区间写成半开半闭或闭区间都对）；【解析】由得因为，所以单调递增区间为14、【解析】到原点的距离.考点：三角函数的定义.15、【解析】由二次函数的知识得，当时有．令，则，．结合二次函数可得要满足题意，只需，解不等式可得所求范围【详解】由已知可得，所以当时，取得最小值，且令，则，要使函数的最小值与函数的最小值相等，只需满足，解得或.所以实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查二次函数最值的问题，求解此类问题时要结合二次函数图象，即抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系进行求解，同时注意数形结合在解题中的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题16、【解析】由题意，∴A（3，2）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，∴圆上不相同的两点为B（1，4），D（5，4），∵A（3，2），BA⊥DA∴BD的中点为圆心C（3，4），半径为1，∴⊙C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=4过P，M，N的圆的方程为x2+y2=m2，∴两圆外切时，m的最大值为，两圆内切时，m的最小值为，故答案为[3，7]三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）根据对数函数的定义域及单调性求解即可；（2）由题意原问题转化为在上恒成立，分与两种情况分类讨论，求出最值解不等式即可.【详解】(1)时，函数定义域为解得不等式的解集为(2)设，由题意知，解得，在上恒成立在上恒成立令，的图象是开口向下，对称轴方程为的抛物线.①时，上恒成立等价于解得，这与矛盾.②当时，在上恒成立等价于解得或又综上所述，实数的取值范围是【点睛】关键点点睛：由题意转化为在上恒成立，分类讨论去掉对数符号，转化为二次函数在上最大值或最小值，是解题的关键所在，属于中档题.18、（1）（2），【解析】（1）根据三角函数的图象和性质，求出和的值即可，（2）根据函数图象变换关系，求出以及的解析式，根据函数零点性质建立方程进行讨论求解即可【小问1详解】解：①是偶函数；②，是的图象在轴右侧的第一个对称中心；③相邻两条对称轴之间距离为若选择①②，由①是偶函数，即，由②，是的图象在轴右侧的第一个对称中心；则，得，即选择①③：由①是偶函数，即，由③知：相邻两条对称轴之间距离为，即，则，则，则若选②③：③知：相邻两条对称轴之间距离为，即，则，则，则，由②，是的图象在轴右侧的第一个对称中心；，得，则，综上【小问2详解】解：依题意，将函数的图象向右平移个单位，得，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到，可得，所以，当时，，则在内的零点个数为偶数个，在内恰有2021个零点，为奇数个零点，故，令，可得，令，，则，△，则关于的二次方程必有两个不等的实根，，，且，则，异号，①当，且时，则方程和在区间，均有偶数个根，从而在区间，有偶数个根，不符合题意；②当，且时，则方程在区间有偶数个根，无解，从而方程在有偶数个根，不合题意同理，当且时，从而方程在有偶数个根，不合题意③当，，当时，只有一根，有两根，所以关于的方程在有三个根，由于，则方程在只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实解，在区间上有两个根所以关于的方程在区间上有2020个根．在区间上有2022个根．不合题意④当时，则，当时，只有一根，有两根，所以关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根由于方程在区间上有两个实数根，在区间上只有一个实数根因此关于的方程在上有2021个根，在区间上有2022个根，因此所以解得，19、（1）；（2）【解析】（1）当时，求的解析式，令真数位置大于，解不等式即可求解；（2）由题意可得，整理可得只有一解，分别讨论，时是否符合题意，再分别讨论和有且只有一个是方程①的解，结合定义域列不等式即可求解.【小问1详解】当时，，由，即，因为，所以.故的定义域为.【小问2详解】因为函数只有一个零点，所以关于的方程①的解集中只有一个元素.由，可得，即，所以②，当时，，无意义不符合题意，当，即时，方程②的解为.由（1）得的定义域为，不在的定义域内，不符合题意.当是方程①的解，且不是方程①的解时，解得：，当是方程①的解，且不是方程①的解时，解得：且，无解.综上所述：的取值范围是.20、（Ⅰ）{x|x＜1或x≥5}，（Ⅱ）（-∞，3].【解析】（Ⅰ）求出集合A，B，由此能出A∩B，（∁UA）∪（∁UB）（Ⅱ）由集合C＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}，B∩C＝C，得C⊆B，当C＝∅时，2m﹣1＜m+1，当C≠∅时，由C⊆B得，由此能求出m的取值范围【详解】解：（Ⅰ）∵全集U=R，集合A={x|2x-1≥1}={x|x≥1}，B={x|x2-4x-5＜0}={x|-1＜x＜5}∴A∩B={x|1≤x＜5}，（CUA）∪（CUB）={x|x＜1或x≥5}（Ⅱ）∵集合C={x|m+1＜x＜2m-1}，B∩C=C，∴C⊆B，当C=∅时，解得当C≠∅时，由C⊆B得，解得：2＜m≤3综上所述：m的取值范围是（-∞，3]【点睛】本题考查交集、补集、并集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并