高考数学快速提升成绩题型训练：三个二次问题（二次函数、不等式、方程）

高考数学快速提升成绩题型训练—三个二次问题（二次

函数、不等式、方程）

1.解关于x的不等式：（1）/一（〃+l）x+〃VO,（2）2x2+mx+2>0.

2.设集合A={x|/+33三2-2x—1)},B={x|f一(2%—1)攵+F20},且A[B,试求左的取值

范围.

3.不等式（川一2加一3）——（徵一3）x—1V0的解集为R,求实数机的取值范围.

4.已知二次函数y=f+px+q,当yVO时，有解关于x的不等式qf+px

+1>O.

5.若不等式,/+qx+°〉o的解集为{X[2<X<4},求实数p与g的值.

P

6.设〃x)=/+"+4"0),若|/(0)M1,⑴卜1,/(—1)|41,试证明：对于

任意—IWXWI,<|/(x)|<|.

7.(经典题型，非常值得训练)设二次函数/(%)=依2+班+&〃>0),方程/(%)—%=。

的两个根%i，%2满足0<匹<%2<，.当］£(0,%)时，证明％v/(x)v%i.

8.已知关于x的二次方程x^+lmx+lm+1=0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(-1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求机的范围.

(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求机的范围.

9.已知二次函数/OOuaf+fcv+c和一次函数g(x)=~bx,其中〃、Z?、c满足a>b>c,a+b+c=O,(a,b,c

£R)

(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；

(2)求线段A3在x轴上的射影A/i的长的取值范围.

10.已知实数/满足关系式log”——=loga(〃>0且

aa

⑴令t二4六求y力(%)的表达式；

(2)若x£(0,2］时，)有最小值8,求〃和x的值.

11.如果二次函数y=mx1+(m—3)x^l的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m

的取值范围.

12.二次函数中实数p、q、厂满足一乙+"+-=0淇中”>0,求证：

m+2m+1m

m

(1M)<0；

m+1

(2)方程/(x)=0在(0,1)内恒有解.

13.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为尸=160—2x,生

产x件的成本R=500+30x元.

(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？

(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？

14.已知a、b、c是实数，函数f(x)uax'+bx+c,g(x)=ax+b,当一

lWxWl时，|f(x)|Wl.⑴证明：|c|Wl；

⑵证明：当一IWxWl时，|g(x)|W2；

15.设二次函数/(X)=a/+0x+da〉0),方程/(x)-x=0的两个根毛,巧满足

0<Xj<x2<—.且函数/(x)的图像关于直线x=/对称，证明：x0.

16.已知二次函数/(x)=a/+bx+l(。/eR,a>0),设方程/(x)=x的两个实数根

为xx和x2.

(1)如果不<2</<4,设函数/(%)的对称轴为x=%,求证：x0>-1；

⑵如果㈤<2,昆一再|=2，求b的取值范围.

17.设/(x)=3分之+2for+c.若Q+人+0=0,/(0)>0,求证:

丁「a

(I)〃>0且一2V—V—1；

b

(II)方程/(%)=()在(0,1)内有两个实根.

18.已知二次函数丁=a-+&x+c(a工0)的图象如图所示:

(1)试判断abc及b2-4ac的符号;

(2)若|OA|=QB],试证明ac+i>+l=Ov

19.那为何值时，关于x的方程8x2+=0的两根：

(1)为正数根；(2)为异号根且负根绝对值大于正根；(3)都大于1；(4)一根大

于2,一根小于2；(5)两根在0,2之间。

20.证明关于x的不等式(呆-2)，+2丘+化-1<0与叱-五)x+丘+1>0,当

此为任意实数时，至少有一个桓成立。

21.已知关于x的方程--2尔+4/-6=0两根为必/,试求

(所1)"-1)2的极值。

22.若不等式如+2Q<o对一切*恒成立,求实数m的范围.

mx-mx—1

23.设不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|a<x<B}(0<a<B),求不等式cx2+bx+a<0的

解集.

答案：

1.解：⑴原不等式可化为：(X—Q)(x—1)<0,若a>1时，解为IVXVQ,若。>1时,

解为a<x<1,若a=l时,解为。

(2)△二机2—16.

①当m2-16>。即根<-4或加>4时，△>0.

-m-4m2-16-m+4m2-16

方程2/+如+2=0有二实数根：玉"，

原不等式的解集为L|x<一〃7疗16或无>一m+3”-16

44

m

①当加二±4时，△=(),两根为七=%——

若根=4,则其根为一1,原不等式的解集为卜|xeR,且x关-1}.

若加=-4,则其根为1,.•.原不等式的解集为{x|xeR,且xwl}.

②当一4(加<4时，方程无实数根.原不等式的解集为R.

2.解：A={x|[x-(3^-l)][x-(^+l)]>0},比较北一1«+1的大小，

因为(3无_1)_(无+1)=2/-1),

(1)当上>1时，3k~l>k+l,A={无仇\3左一1或x4k+1}.

(2)当k=l时，xeR.

(3)当人<1时，3A—1<左+1,A={x|x2左+1则V3左+1}.

B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式A=4/—4(r+左)=—4左，

(1)当上。时，A<0,xe7?.

(2)当人>0时，△<(),x&R.

(3)当k<0时，A〉。,x〈左一V—kE^jX2k+J-k.

故：当上上0时，由B=R,显然有A。瓦

3k_i<k—~\1-k

当k<0时，为使需要<——nkN—l,于是kN—l时，40左

k+l>k+yl-k

综上所述，k的取值范围是：左二0或一1K左<0.

3..解：（1）当用2一2加一3=0,即根=3或m=-1时,

①若m=3,原不等式解集为R

②若m=—1,原不等式化为4x—1<0

.♦.原不等式解集为｛尤I无<工=,不合题设条件.

4

（2）若浮一2H1-3W0,依题意有

m2—2m—3<0-1<m<3

BP1

A=(m—3)2+4(m2—2m—3)<0—<m<3

[5

1

——<m<3

5

综上，当一时，不等式（苏一2机一3）/—（»i—3）x—1<0的解集为R.

；，工2=；是方程x2+px+q=0的根,

4..解：由已知得沏

11

.・一p=-1+1q=-—x-

2323

1_1

"q~~6,，不等式qf+px+lX)

即—L+L+AO

66

.,.x2-6<0,-2<x<3.

即不等式G^+px+l>。的解集为｛xI—2<x<3].

5..解：由不等式工—+/+〃>o的解集为｛%12<x<4｝,得

P

2和4是方程+/+〃=o的两个实数根，且工<0.（如图）

解得P=-2-\/2,q=*V2.

6.解：:/(-1)=a-b+c,/(1)=a+b+c,/(0)=c,

•1•a=1(/(1)+/(-1)-2/(0))力=1(/(1)-/(-l)),c=/(O),

•••/W=j+/(o)(i-x?)..•・当—1K0时,

/(小|〃1)|•安+I〃T|・曰+|"0)|・”灯

<2!、(2、

X+XX-X2

+—^―+(Z11—冗)、

2J\27

-x2-x+1=-(%+—)2+—<—.

244

22

当0W尤WT时，/(耳K丁+1/(-1J-号+1/(0).|1-^2|

22/2、/2、

X+%X-xL2|%%—X+X2\

<++H=-+—+Z(11)

22\27</7

T+X+j-W/.

244

7.证明：由题意可知/(x)-x=^(x-xx)(x-x2)-

0<X<Xl<X2<—,〃(九一玉X九一九2)>0，

q

当%£(0,匹)时，/(X)>X.

又/(%)_X]=a(X_X1)(X_12)+X_再=(%_/)(〃X_ax2+1)，

x-x1<0,-ax2+1>1-ax2>0,/(x)<xx,

综上可知，所给问题获证.

8.解：⑴条件说明抛物线1%)1+2加什2m+1与x轴的交点分别在区间(一1,0)和(1,2)内,

画出示意图，得

1

m<——

/(0)=2m+l<0,2

meR,

/(-1)=2>0,

<n<1

/(I)=4m+2<0,m<——,

/(2)=6m+5>0%

m>——

I6

51

——<m<——

62

/(0)>0,

(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0,1)内，列不等式组，/I：。'

0<-m<1

1

m>——

2

1

m>一5，(这里0<—m<l是因为对称轴x=-m应在区间(0,1)内通过)

m>1+血或m<1-V2,

-1<m<0.

9.(1)证明：由aX消去y得〃

y=-bx

3

22c22

d=4/?—4QC=4(—C)—4QC=4(Q2+GC+C2)=413+_)+—c]

*.*a+b+c=0,a>b>c,a>0,c<0

3

.,--c2>0,.\4>0,即两函数的图象交于不同的两点.

4

_27?c

(2)解：设方程OX2+Z?X+C=0的两根为XI和X2,贝IX\+X2=——,X1X2=—.

aa

|A1B1|2=(X1—X2)2=(%l+X2)2—4处也

22

2b24c4b-4ac4(-tz-c)-4ac

~-2—2

aaaa

C2CC1、23

=44r[z(-)+-+1]=4[(-+-)2+-]

aaa24

*.*«>Z?>c,4z+Z?+c=0,6z>0,c<0

「1

a>—a—c>c,解得一金(一2,——)

a2

/(£)=4[(£)2+£+i]的对称轴方程是£=一」.

aaaa2

u1

为减函数

a2

AIA1B1I2W(3,12),故|A向斤(V3,2V3).

10..解：(1)由loga-^=logf4得log/—3=logL310g刈

aa

由/=〃知x=log”,代入上式得x—3="g"'

XX

log^=x2—3x+3,即y=ax-3-¥+3(xWO).

33

(2)令u=x1~3x+3=(x--)2+-(xWO),则y=au

①若0V〃VI,要使广〃"有最小值8,

33一

则"=(x——P+—在(0,2]上应有最大值，但〃在(0,2]上不存在最大值.

24

33

②若要使产。"有最小值8,则〃=(x——>+―,x£(0,2]应有最小值

24

33-

・・当X=—时，Uin=~。4

2m4

-、3

由“4=8得〃=16..••所求。=16尸一.

2

11.解：vy(o)=i>o

(1)当mVO时，二次函数图象与X轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.

A>0

(2)当心0时，则,3-相解得OVmWl

^-^>0

、m

综上所述，机的取值范围是{m且加W0}.

、-r口口~m、ATI2/m、

12.证明：(I)小(--)=p[p(-------)+q(------)+r]

m+lm+1m+1

pmqr、pmp

=pm[r----------+----+一]=pm[r---------------------]

(m+1)m+1m(m+1)m+2

=2〃H〃S+2)-(，”+%

(m+l)2(m+2)

=pm2---------J--------，由于是二次函数，故.wo,又m>0,所以，pf(-m-)<o.

(m+1)(m+2)m+1

(2)由题意，得10)=哂l)=p+q+r

vyi

①当p<0时，由(1)知八----)<0

m+1

TT1

若厂>0,则大0)>0,又«----)<0,所以於)二0在(0,-------)内有解；

m+1m+1

若rW04(J/(l)=p+q+r=p+On+D=(———-----—)+r=——-------—>0,

m+2mm+2m

又八一?一)<0,所以八x)=0在(二一,1)内有解.

m+1m+1

②当pVO时同理可证.

13..解：(1)设该厂的月获利为％依题意得

y=(160—2x)x—(500+30无)=-2炉+130%—500

由yN1300知一2炉+130;(—50021300

.,.^-65^+900^0).,.(尤一20)(无一45)忘0,解得20WxW45

，当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.

(2)由(1)知y=—2f+130x—500=—2(x—^)2+1612.5

：尤为正整数，；.x=32或33时，y取得最大值为1612元,

当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.

14.解⑴|c|=|f(0)]Wl(因为0£[—1,1]).

rf(0)=c,f(l)=a+b+c

(2)因为由＜

f(-l)=a-b+c

解得｛:

|b=-[f(1)-f(-1)],c=f(0)

所处x)=+f(-l)]-f(0：)L:

X*1,X-1

=—f(l)+—f(-l)-xf(0),

所以当一lWxWl时，

V+1X—1

Ig(x)I=H-f(D+—f(-i)-rf(o)

<|瑁IRl)I+要1f<-1)I+IxIIRO)|

15.解：由题意—x—ax2+(b—1)%+c.

它的对称轴方程为九=互二1

-2a

由方程/(x)—X=0的两个根毛,%2满足o<X]<<)，可得

cb-11口b-1b-1

(J<X]<----<%2<-9且-------—%2---------，

—2QQ—2。—2。

.b-1b-11b-1

•.------X]=------<---------，

—2。—2au—2。

卜

即一—<七，而X=—g

a°la

故/<三.

16.解：设g（X）=/（九）一犬=。九2+（。-1）%+1,则g（%）=0的二根为七和

g(2)<。

(1)由〃>0及九1<2<%2<4,可得

S(4)>0’

4〃+2Z?—1<0

即\

16tz+4Z?-3>0

b3

3+3--------<0,

2a4a

即

-4-2--+—<0,

2a4〃

b

两式相加得——<1,所以，/>—1;

2a

(2)由($―9产=(B)2-土可得2a+l=J(6_l)2+L

aa

又七九2=l>0，所以同号.

a

0<<2<x2x2<-2<<Q

.•.周<2,I%-再|=2等价于<__________4_____________

2a+1=7(^-l)2+1-[2a+1=^(Z?-1)2+1

g⑵〉0g(-2)>0

即〈g(0)〉0或vg(0)>0

2a+1=也-1)2+12a+l=J3_l)2+1

17

解之得b<一或b>—.

44

17.证明：（错误!未找到引用源。）因为/（0）>0,/⑴>0,

所以。>0,3a+2Z?+c>0.

由条件a+8+c=0,消去人，得

a>c>0；

由条件a+b+c=O,消去。，得

a+b<0,2a+b>0.

故

a

（错误！未找到引用源。）抛物线/（%）=3af+2"+c的顶点坐标为

b3ac-b2

（一亮’3a，

b11b2

在—2〈一<—1的两边乘以——，得一<——<-.

a333a3

又因为/（0）>0"⑴>0,

72,2

，”力、a+c-ac

而/(----)二-------------<0,

3a3〃

bb

所以方程/（X）=0在区间（0,-土）与（-土』）内分别有一实根。

3a3a

故方程/（x）=0在（0,1）内有两个实根.

18.解析：解本题主要是应用抛物线的几何特性（张口方向，对称轴，截距，与x轴交点

个数）及函数零点（方程）的有关知识，即

（1）由抛物线张口方向、对称轴位置、截距及与x轴交点个数，立即可得：a>0,

2

b<0rc<0rb-4ac>0

-b-Vi2-Aacs/1।])

ax2+8x+c=0Q『=--------------=|Q4|=|以

⑵由方程JO5|=-c,\OA\=\OB\结论

19.解析：关于方程根的讨论，结合二次函数图象与x轴的交点位置的充要条件即可

求：即设方程两根为X1，X2则

rA>0

«再+芯2>0=749或冽225

1）［网,通>°

rA>0

<X1+X2<0=$>?M<1

⑵l*〈0；

「△20

<五+X?>2=冽225

（3）S-1）（叼-2）>0.

rA>0

=>w>27

（x「2）（x「2）<0

4）

'△20

Xj+%>0