辽宁省七校2024-2025学年高二年级上册期初考试数学试卷

数学试题

考试时间：120分钟满分：150分

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在题目给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求)

1.已知复数z=(l+i)+4。—i)是纯虚数，则实数4=()

A.-2B.-lC.OD.1

2.已知某圆锥的底面半径为有，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为()

A.2扃B.3兀C.4岛D.6兀

3.设机,“为空间中两条不同直线，以用为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为()

A.若加上有两个点到平面a的距离相等，则加〃a

B.若相、〃是异面直线，mua,m〃B，nuB，n〃a,则a〃夕

C.若机不垂直于a,〃ua,则加必不垂直于〃

D.若m_Lu4，则“加〃九”是“a，尸”的既不充分也不必要条件

4.已知函数/(x)=Asin(0x+0)3>O,A>O,O效如兀)的部分图象如图所示，且/(0)=1,贝|()

A./(x)=2sin[x+(JB./(x)=2sin12x一

C./(x)=2sin^2x+^D./(x)=2sin[x+^J

5.如图，在正四面体A3CD中，点E是线段AZ)上靠近点。的四等分点，则异面直线EC与3。所成角

的余弦值为()

A

A\E

BD

C

A35„V13「3713n713

26132613

6.下列命题正确的是()

A.若a=(―1,2),Z?=(根?,1),且〃_L/?则m=A/2

B.若V4£R,aw2b,则a,b不共线

C.若。比0c是平面内不共线的向量，且存在实数V使得OA+yOC=yO3+QC,则AS。三点共线

D.若a=(1,2),则。在〃上的投影向量为

7.已知2+5cos2a=coscr,cos(2a+/?)=：三,2兀)，则cos尸的值为(

€)

444444

A.----B.-----C.--------D.一

51251255

2-

8.在，ABC中，不是边A5上一定点，满足65=耳45,且对于边A3上任一点P，恒有

则ABC为()

PBPC..P0BPGC,

A.等腰三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.锐角三角形

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.已知复数4/2，下列结论正确的有()

A.若㈤:目，则z；=z；

B.若Z］-z2>0,则Z］>Z2

C.若复数Z2满足Z?=2+5i,则z2在复平面对应的点是(—1,7)

D.若4=-4+3i是关于x的方程d+px+q=o(p,qGR)的一个根，则p=8

10.设函数g(x)=sinM®>0)向左平移—个单位长度得到函数/(x),已知/(%)在［0,2兀］上有且只

有5个零点，则下列结论正确的是()

A./(x)的图象关于直线x=］对称

-1229、

B.0的取值范围是—

仁/（司在0,卡上单调递增

D.在（0,2兀）上，方程〃尤）=1的根有3个，方程/（%）=—1的根有3个

11.化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式

SR）、金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1）,已知正八面体

E—ABCD—尸的（如图2）棱长为4,则（）

64H

A.正八面体E-A5co-尸的外接球体积为一

3

32兀

B.正八面体石-A5cD-E的内切球表面积为一

3

C.若点P为棱EB上的动点，则AP+CP的最小值为4

D.若点。为棱AF上的动点，则三棱锥石-QBC的体积为定值电也

3

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

/、sin（a-3;i）+cos（5兀一。）

12.tan（7i+6z）=2,则——r-----7--------7-=_________.

'/sm（—cr）-cos（兀+1）

JI

13.在.ABC中，A=§,O为ABC的外心，若AB=AC=2，则的值为.

14.在A5c中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若石（岑池+2也］='坐坐,3=/,则2a+c

的取值范围为.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.如图，在底面是矩形的四棱锥尸―ABCD中，必_L平面ABCD,E是。D的中点.

（1）求证：依〃平面£AC；

（2）求证：平面PDCL平面R4Z）.

/、

71

16.已知向量&=(sinx,l),/?=1,sin--X,f(x)=a-b

7

(l)求函数/(%)的单调递增区间和最小正周期;

JT

(2)若当xe0,-时，关于x的不等式2/(x)T,加有解，求实数机的取值范围.

bc

17.已知，ABC的内角A,民C的对边分别为a,b,c,满足——+——=1.

c-ab-a

(1)求角A；

(2)若A5C的外接圆的面积为乂,sin3+sinC="ZsinA,求，A5。的面积.

37

18.如图，在四棱锥尸―ABCD中，

(1)求证：DC,平面PAC；

(2)若PC=A3=AC=1,求P3与平面PAC成角的正弦值；

PF

(3)设点石为A3的中点，过点CE的平面与棱PB交于点尸，且E4〃平面CEr,求——的值.

PB

19.若函数“X)满足：对任意》€氏/("=/[^^-\|=/]^^+\|,则称/(x)为“AZ■函数”.

(1)判断£(x)=sin]：x+m1力(x)=tangx是不是人/■函数(直接写出结论)；

「3兀-1「3一

(2)已在函数/(x)是v函数，且当xe0,—时，/(尤)=5加-.求/(力在-n,3n的解析式；

(3)在(2)的条件下，龙«0,6可时，关于x的方程(。为常数)有解，求该方程所有解的和

s.

高二联考数学试卷参考答案及评分标准

一、单选题

1-8.BDBCACBB

二、多选题

9.CD10.BC11.BCD

三、填空题

12.313.219.(A/3,2A/7]

四、解答题

15.(13分)

解:(1)连接5。交AC于点G,连接EG.

.四边形ABC。是矩形，；.G是的中点.

又E为尸。的中点，石G.

EGu平面EAC,PB(Z平面EAC,：.PB//平面EAC

(2)出，面ABC£),C£)u面ABC。,，PA_LCZ).

ABCD是矩形，:.AD±CD.

而P4cAD=A,A。u平面PA。,..CD，平面PAD

又-CDu平面PDC.♦.平面尸Z)C_L平面B4£).

16.(15分)

1.上

(1)因为==sinx+sin—sinx+——cosx=sinx+工

22I3

所以函数/(%)的最小正周期T=2兀;

兀71

因为函数丁=sinx的单调增区间为一,+2E:，5+2E,keZ,

jIjIjI

所以---卜2kli<x+—<—+2kn,kGZ,

232

5TEJT

解得----H2kn<x<—+2防r,keZ,

66

57rjr

所以函数/(x)的单调增区间为-7+2而彳+2也,keZ.

(2)不等式2/(x)—1W机有解，即安之了(尤焉；

ec\兀匚ui、i兀/兀/7兀..7兀.5兀.7T

因为XE0,一,所以一—<—，又sin——sin—>sin—,

L4J331212123

故当x+g=m，即无=o时，/(X)取得最小值，且最小值为了(())=孝,

所以加＞y/3-1

17.(15分)

hc

(1)解：(1)因为——+——=1,

c-ab-a

所以Q)+C(0_Q)=Q),

所以b2-ab+c2-ac=bc-ac-ab+a2b1-be2-a2=bc，

由余弦定理可得：b2+c2—a2=2Z?ccosA，

所以cosA=l,

2

因为AE(O㈤,

TT

所以A=一；

3

7兀

(2)因为，ABC的外接圆的面积为一，

3

设，ABC的外接圆半径为小

即7ir2=—,

3

解得厂=变，

3

由正弦定理得，一=2厂,。=2F诂4=2乂叵义走=、万，

sinA32

因为siriB+sinC='"sinA,由正弦定理得6+c=5'a=5，

77

由(1)知/+02—

所以S+cf—7=36c,得3bc=25—7=18,则bc=6,

所以ABC的面积为SAM=^besinA=!义6x13=.

覆。2222

18.(17分)

(1)因为PC，平面ABC。,C。u平面ABC。，所以尸CLCD,

又。CJ.AC,ACcPC=C,AC,PCu平面PAC,

所以OC,平面PAC

(2)-CD〃AB,OC_L平面R4C

.•.AB，平面PAC，.■./APB为所求

Rt.PAC中，PC=AC=1,PA=y/2

.-.Rt中，PB=C

.•.sinZAPB=—

3

(3)因为B4〃平面CEF,平面？ABc平面。斯二所，

B4u平面B45,所以24〃£尸，因为点£为AB的中点,

PF1

所以点尸为P8的中点，所以——二—

PB2

19.(17分)

4兀

(1)/(x)=sin7是V函数，证明如下:

32

4714-3兀413兀4

因为<(x)=sin—x+—=cos§x,又工-----x=cos———x}=cos12TI-^X=cos—X,

322323

413三7r+X=COS®+3=cos43,3兀5+X

=cos一所以］(无)=工-----x=fi

322J(3J332

471

故<(x)=sin—x+—是M函数,

32

2

fi(%)=tan§x是“函数，证明如下:

3TT2(3兀22

因为力-----Xtan—--XtanE-tan—%=tan—%，

23I333

2f371J=tan(兀+gxj='angx,所以

tan-------Fx

•4"32

3兀与+X2

力(%)=力-----x=fi，故人a)=tanjx是"函数.

2

与+37r3兀

(2)因为/(%)=/X,所以函数〃X)的周期为T=5,又/(X)=/-----x

2

37r

所以函数/(X)关于直线％=亍对称,

33兀33J7i1

因为无£—7t37i时，所以％——e0,—,

922

,3兀「八3KI「3兀9KI,\r(3兀、.(3兀、

当工一~—0,—,即nn无£—时，f(xj=f\x---I=sinIx---I=cosx,

37i「3兀37i1「9兀I/x_J3兀)_「3兀(3兀)~|_/、

当％一"~T"~2'即％£彳'加时，f(x)=f\x__—1=/~Y~\X__2)=〃3兀一%)，

9兀37兀1

又XC—,3兀时，37t-XG0,——,所以

44

/(x)=/^x-y^=/=/(37i—x)=sin(37i—x)=sinx

3兀9兀

COSX,XG-----,------

「3~_24

综上，/(X)在-7r,37T上的解析式为/(x)=<

.9兀

S1ILX,X€——,3兀

4

(3)由(2)知，当九£—时，——xG0,——,所以

4224

3兀

又函数的周期为7=万，所x