2025届上海市北虹、上理工附中、同二、光明、六十、卢高、东昌等七校联考高二数学第一学期期末监测试题含解析

2025届上海市北虹、上理工附中、同二、光明、六十、卢高、东昌等七校联考高二数学第一学期期末监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在三棱锥中，，，则异面直线PC与AB所成角的余弦值是（）A. B.C. D.2．在直三棱柱中，，且，点是棱上的动点，则点到平面距离的最大值是（）A. B.C.2 D.3．在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹记为C，则曲线C的离心率为（）A. B.C. D.4．“”是“直线与直线垂直”的A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5．若平面的一个法向量为，点，，，，到平面的距离为（）A.1 B.2C.3 D.46．（一）单项选择函数在处的导数等于（）A.0 B.C.1 D.e7．已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.8．已知的周长为，顶点、的坐标分别为、，则点的轨迹方程为（）A. B.C. D.9．若等差数列，其前n项和为，，，则（）A.10 B.12C.14 D.1610．已知：，直线l：，M为直线l上的动点，过点M作的切线MA，MB，切点为A，B，则四边形MACB面积的最小值为（）A.1 B.2C. D.411．已知A，B，C是椭圆M：上三点，且A（A在第一象限，B关于原点对称，，过A作x轴的垂线交椭圆M于点D，交BC于点E，若直线AC与BC的斜率之积为，则（）A.椭圆M的离心率为 B.椭圆M的离心率为C. D.12．数列，，，，，中，有序实数对是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，四边形为直角梯形，且，为正方形，且平面平面，，，，则______，直线与平面所成角的正弦值为______14．已知点，为抛物线：上不同于原点的两点，且，则的面积的最小值为__________.15．如图，用四种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种数为______（用数字作答）16．与直线平行，且距离为的直线方程为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD，点F为棱PD的中点，二面角的余弦值为.（1）求PD的长；（2）求异面直线BF与PA所成角的余弦值；（3）求直线AF与平面BCF所成角的正弦值.18．（12分）已知直线和的交点为P，求：（1）过点P且与直线垂直的直线l的方程；（2）以点P为圆心，且与直线相交所得弦长为12的圆的方程；（3）从下面①②两个问题中选一个作答，①若直线l过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程②求圆心在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长的圆的方程注：如果选择两个问题分别作答，按第一个计分19．（12分）如图，在正方体中，是棱的中点.（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求证：直线面.20．（12分）已知等比数列的公比为，前项和为，，，（1）求（2）在平面直角坐标系中，设点，直线的斜率为，且，求数列的通项公式21．（12分）某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米（1）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；（2）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?22．（10分）如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿，，折起得三棱锥，如图乙.（1）求证：平面平面；（2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为，求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分别取、、的中点、、，连接、、、、，由题意结合平面几何的知识可得、、或其补角即为异面直线PC与AB所成角，再由余弦定理即可得解.【详解】分别取、、的中点、、，连接、、、、，如图：由可得，所以，在，，可得由中位线的性质可得且，且，所以或其补角即为异面直线PC与AB所成角，在中，，所以异面直线AB与PC所成角的余弦值为.故选：A.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角2、D【解析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，运用点到平面的距离公式，求出点到平面距离的最大值.【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,则,,,设点,故，，.设设平面的法向量为，则即，取，则.所以点到平面距离.当，即时，距离有最大值为.故选:D.【点睛】本题考查空间内点到面的距离最值问题，属于中档题.3、B【解析】设，，则由题意可得，代入圆方程中化简可得曲线C的方程，从而可求出离心率【详解】设，，则，得，所以，因为点在圆上，所以，即，所以点的轨迹方程为，所以，则所以离心率为，故选：B4、B【解析】先由两直线垂直求出的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为直线与直线垂直，则，即，解得或；因此由“”能推出“直线与直线垂直”，反之不能推出，所以“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.故选B【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型.5、B【解析】求出，点A到平面的距离：，由此能求出结果【详解】解：，，，，∴为平面的一条斜线，且∴点到平面的距离：故选：B.6、B【解析】利用导数公式求解.【详解】因为函数，所以，所以，故选；B7、B【解析】构造利用导数判断函数在上单调递减，利用单调性比较大小【详解】设恒成立，函数在上单调递减，.故选：B8、D【解析】分析可知点的轨迹是除去长轴端点的椭圆，求出、的值，结合椭圆焦点的位置可得出顶点的轨迹方程.【详解】由已知可得，，且、、三点不共线，故点的轨迹是以、为焦点，且除去长轴端点的椭圆，由已知可得，得，，则，因此，点的轨迹方程为.故选：D.9、B【解析】由等差数列前项和的性质计算即可.【详解】由等差数列前项和的性质可得成等差数列，，即，得.故选：B.10、B【解析】易知四边形MACB的面积为，然后由最小，根据与直线l：垂直求解.【详解】：化为标准方程为：,由切线长得：,四边形MACB的面积为，若四边形MACB的面积最小，则最小，此时与直线l：垂直，所以，所以四边形MACB面积的最小值，故选：B11、C【解析】设出点，,的坐标，将点，分别代入椭圆方程两式作差，构造直线和的斜率之积，得到，即可求椭圆的离心率，利用，求出，可知点在轴上，且为的中点,则.【详解】设，，，则，，，两式相减并化简得，即，则,则AB错误；∵，，∴，又∵，∴，即，解得，则点在轴上，且为的中点即，则正确.故选：C.12、A【解析】根据数列的概念，找到其中的规律即可求解.【详解】由数列，，，，，可知，，，，，则，解得，故有序实数对是，故选：二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①..②..【解析】以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系,根据空间向量的线性运算求得向量的坐标，由此求得，由线面角的空间向量求解方法求得答案.【详解】解：以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如下图所示）由题意可知，，，因为，，所以，故设平面的法向量为，则，令，得因为，所以直线与平面所成角的正弦值为故答案为：；.14、【解析】设，，利用可得即可求得，利用两点间距离公式求出、，面积，利用基本不等式即可求最值.【详解】设，，由可得，解得：，，，，，所以，当且仅当时等号成立，所以的面积的最小值为，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是设，坐标，采用设而不求的方法，将转化为，求出参数之间的关系，再利用基本不等式求的最值.15、48【解析】由已知按区域分四步，然后给，，，区域分步选择颜色，由此即可求解【详解】解：由已知按区域分四步：第一步区域有4种选择，第二步区域有3种选择，第三步区域有2种选择，第四步区域也有2种选择，则由分步计数原理可得共有种，故答案为：4816、或【解析】由题意，设所求直线方程为，根据两平行直线间的距离公式即可求解.【详解】解：由题意，设所求直线方程为，因为直线与直线的距离为，所以，解得或，所以所求直线方程为或，故答案为：或.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）【解析】（1）以为轴，为轴，轴与垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，设，，由空间向量法求二面角，从而求得，得长；（2）由空间向量法求异面直线所成的角；（3）由空间向量法求线面角【小问1详解】以为轴，为轴，轴与垂直，由于菱形中，轴是的中垂线，建立如图坐标系，则，，，设，，，，设平面一个法向量为，则，令，则，，即，平面的一个法向量是，因为二面角余弦值为.所以，（负值舍去）所以；【小问2详解】由（1），，，，所以异面直线BF与PA所成角的余弦值为【小问3详解】由（1）平面的一个法向量为，又，，所以直线AF与平面BCF所成角的正弦值为18、（1）（2）（3）答案见解析【解析】（1）联立方程组求得交点的坐标，结合直线与直线垂直，求得直线的斜率为，利用直线的点斜式，即可求解；（2）先求得点到直线的距离为，由圆的的垂径定理列出方程求得圆的半径，即可求解；（3）若选①：设直线l的的斜率为，得到，结合题意列出方程，求得的值，即可求解；若选②，设所求圆的圆心为，半径为，得到，利用圆的垂径定理列出方程求得的值，即可求解.【小问1详解】解：由直线和的交点为P，联立方程组，解得，即，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，所以过点且与直线垂直的直线方程为，即.【小问2详解】解：因为点到直线的距离为，设所求圆的半径为，由圆的的垂径定理得，弦长，解得，所以所求圆的方程为.【小问3详解】解：若选①：直线l过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为，设直线l的的斜率为，可得直线的方程为，即，则直线与坐标轴的交点分别为，由，解得或，所以所求直线的方程为或.若选②，设所求圆的圆心为，半径为，因为圆与x轴相切，可得，又由圆心到直线的距离为，利用圆的垂径定理可得，即，解得，即圆心坐标为或，所以所求圆的方程为或.19、（1）平面AEC，理由见解析（2）证明见解析【解析】（1）以线面平行的判定定理去证明直线与平面平行即可；（2）以线面垂直的判定定理去证明直线面即可.【小问1详解】连接BD，设，连接OE.在中，O、E分别是BD、的中点，则.因为直线OE在平面AEC上，而直线不在平面AEC上，根据直线与平面平行的判定定理，得到直线平面AEC.【小问2详解】正方体中，故，又，故同理故，又，故又根据直线与平面垂直的判定定理，得直线平面.20、（1），；（2），【解析】（1）设出等比数列的首项和公比，根据已知条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则通项公式可求；（2）根据题意表示出斜率关系，然后采用累加法求解出的通项公式.【详解】（1）因为等比数列的公比为，，，由已知，，得，解得或（舍），所以，，由得，所以所以，（2）由直线的斜率为，得，即，由，，，，，可得，所以，当时也满足，所以，21、（1)1600,（平方米）；（2）池底设计为边长40米的正方形时总造价最低，最低造价为268800元.【解析】（1）根据题意，由于修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米可得底面积为1600，池壁面积s=.（2）同时池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元设池底长方形长为x米，则可知总造价s=,x=40时，则.故可知当x=40时，则有可使得总造价最低,最低造价是268800元.考点：不等式求解最值点评：主要是考查了不等式求解最值的运用，属于基础题.22、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取的中点为，连接，，证明，，即证平面，即证得面面垂直；（2）建立如图空间直角坐标系，写出对应点的坐标和向量的坐标，再计算平面法向量，利用所求角的正弦为即得结果.【详解】（1）证