2025年高考数学一轮复习：课时作业四十五 空间直线、平面的垂直

四十五空间直线、平面的垂直

（时间：45分钟分值:75分）

【基础落实练】

1.（5分）（多选题）若m,n,l为空间三条不同的直线,a/,7为空间三个不同的平面，则

下列为真命题的是（）

A.若mA-l,n///,则m_Ln

B.若m邛,m〃a,则a_l_£

C.若口_1_那，%则a//B

D.若aPl尸加/Pl尸“，加〃”，则a//P

【解析】选AB.C中,a与夕可能平行或相交；

D中,a与£可能平行或相交.

2.（5分）已知a,/3是两个不同的平面工加,“是三条不同的直线，下列条件中，可以得

到l-La的是（）

A.Z±m,/-L«,wca,77Ca

D.l//m,m_La

【解析】选D.对于A,/±m,/±n,mca,nca,]JllJl与a相交、平行或/ua,故A错误;

对于//a,则/与a相交、平行或/ua,故B错误；

对于C,a_L£,/〃⑸则I与a相交、平行或/ua,故C错误；

对于D,/〃加，加_La,则/_La,故D正确

3.（5分）如图在斜三棱柱/5C4向G中,/A4C=90。乃CU4C,则G在底面ABC

上的射影〃必在（）

小

A.直线48上B.直线3C上

C.直线4c上D.&43c内部

【解析】选A.由3cb得平面/5G.

因为/Cu平面"C,所以平面平面ABC,

所以G在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.

4.（5分）如图〃。=2氏为圆O的直径,/尸。/=45。月4垂直于圆O所在的平面乃为

圆周上不与点力,。重合的点尸C,垂足为SHALL%,垂足为N,则下列结论不

正确的是（）

p

s

A.平面4NSJ_平面PBC

B.平面/NSJ_平面PAB

C.平面平面PBC

D.平面48C_L平面PAC

【解析】选B.因为PA±平面48ageu平面/5C,所以PALBC.又AB±

平面0/民所以3。，平面PAB又/Nu平面力民所以BC

UN.又因为ANtPB,BCCPB=B,PB,BCu平面可。，所以AN,平面PBC又ANu

平面/NSMNu平面及民所以平面力用,平面P5C,平面平面MC,所以

A,C正确,D显然正确.

5.（5分）如图，在四边形48c7）中40〃5。40=/民/5。。=45。,/5/。=90。.将

△ADB沿BD折起,使平面ABD±平面38构成三棱锥A口为⑺,则在三棱锥

ADBCD中，下列结论正确的是（）

A.平面48D，平面ABC

B.平面4DC_L平面BDC

C.平面ABCL平面BDC

D.平面4DC，平面ABC

【解析】选D.因为在四边形48CD中加〃BCdD=AB,/BCD=45o,NBAD=9。。,

所以8,又因为平面J_平面且平面/瓦加平面58=5。,所以

CDJ_平面48。,所以CC48,又因为ADLAB从DCCD=D,

所以AB±平面4DC,即平面ABCL平面ADC.

6.（5分）（多选题）如图，梯形488中^D〃BC,/ABC=90OHD：BC：%B=2：3：

4,E,F分别是AB,CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折,则下列结论可

能正确的有（）

A.DF工BC

B.BDLFC

C.平面平面BCF

D.平面QC/，平面BCF

【解析】选BC.对于A,因为BC//ADAD与DF相交但不垂直，所以BC与DF

不垂直，则A错误;对于B,设点D在平面BCF上的射影为点P,

当BPLCF时就有BD±FC,^AD：BC：45=2：3：4可使条件满足，所以B正

确;对于c,当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时QPU平面凡从而平

面5。9，平面5CF,所以C正确;对于D,因为点D在平面3b上的射影不可能

在方。上，所以D错误.

【加练备选】

（多选题）如图/4垂直于以43为直径的圆所在的平面,。为圆上异于4夕的任意

一点HEJ_PC,垂足为瓦点F是PB上一点，则下列判断中正确的是（）

A.3CJ_平面。4。

B.AE1EF

C.AC1PB

D.平面4成口_平面PBC

【解析】选ABD.对于A,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，而3Cu底面

圆面，则又由圆的性质可知AC±BCM平面P4C,则

5C_L平面所以A正确；

对于B,由A项可知5C_L4瓦由题意可知AE±PCM53。。=。乃。/。（=平面

PCB,

所以/百_1_平面PCR而E/七平面PCB,

所以所以B正确;

对于C,由B项可知平面PC民因而力。与平面PCB不垂直，

所以4CJ_W不成立，所以C错误；

对于D,由B项可知HE,平面平面/EF,由面面垂直的判定定理可得

平面AEFL平面WC,所以D正确.

7.（5分）如图所示是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，棱______所在

的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直.（注:填上你认为正确的一条

棱即可，不必考虑所有可能的情况）

【解析】如图，结合平面图形还原出正方体,

结合正方体性质易知棱CGQH,EH,FG所在的直线与棱所在的直线是异面

直线且互相垂直.

答案:（任选一个作答）

8.（5分）在正方体45。。口45GA中,N为底面ABCD对角线的交点,P为棱

4。上的动点（不包括两个端点）,M为线段/尸的中点，则下列结论正确的

是_______.(填写所有正确结论的序号)

(1)CM与尸N是异面直线；

(2)若p为棱4A的中点则

(3)过PAC三点的正方体的截面一定不是等腰梯形;

(4)平面R4N，平面BDDXB}.

【解析】由A,N,C三点共线〃为AP的中点，可得直线CA,PM为相交直线，所以

CM,PN为相交直线，故(1)错误；

设正方体的棱长为2,则AC=2"MP=P)MT4N=",

537

C^AkP+AC^-IAM-AC-cosZPACq+8_2gc0sN尸/C^-2y/10cosZPAC,

222

PN^AN+AP-2AN-AP-cosZPAC^2+5-2yJ10cosZPAC^-2yfl0cosZPAC,

379

。心-川2^々々〉。,即故⑵正确；

在GA上取一点&连接KRKC4G,使得PK〃A[C],

由4G〃力°,可得PK//AC,

则截面PKCA为过PAC的正方体的截面,由正方体的性质可得AP=CK,

则过P"三点的正方体的截面是等腰梯形，故(3)错误；

由正方形的性质可得AC±BD,

3/工平面力平面43CD,可彳导BiBLAC,BDCB、B=B,

所以4C_L平面5noi及又4Cu平面R4N,所以平面尸/NJ_平面5DD向，故(4)正

确.

答案:⑵(4)

9.(5分)在正方体/5皿口48。。1中0是底面的中心，瓦EG,〃分别是棱

44B]B,CiCQQ的中点，请写出一个与40垂直的正方体的截面:.

【解析】如图，连接/C,瓦#GQG4G0G4G,

易知BDLAC,BD±AA],XACQAA^A,

故平面4CG4,因为/0u平面ACQAr,

故_L4。,设正方体的棱长为2,

贝U小O=(AA：+402=^^二m0G=Jo犬+靖=^^7TM4G=

+cd

=18+1=3，故/1G2=4O2+OG2,

故4。_1_。6,。6门5。=0,故40，平面GBD.

答案:平面G5。（答案不唯一）

10.（10分）如图所示，在直角梯形BCEF中,NCBF=/BCE=90°AD分别是BF,CE

上的点4D〃3C,且Z）E=2"）=2/F（如图1）,将四边形ADEF沿AD折起，连接

5E石尸,CE（如图2）.

（1）判断四边形5C即是否是平面四边形，并写出判断理由；

【解析】（D结论:四边形5。斯不可能是平面四边形.理由如下:若民。乃尸共面,

则由BC//AD,BC//W^4DEF,可推出BC//EF,

又BC//AD^4D〃EF,矛盾.

所以四边形BCEF不可能是平面四边形.

（2）当EFLCF时，求证:平面40斯_1_平面ABCD.

【解析】⑵在平面3即中易得E7UQ,

又因为EF±CF,FDCCF=F,

所以平面CDF,又CZ）u平面DCF,

所以皿LCD,

又因为CD_L4D,而40,四延长后相交，

所以CC平面4DEF,

又因为CQu平面ABCD,

所以平面ADEFL平面ABCD.

【能力提升练】

11.（5分）《九章算术》中将底面是矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为

阳马，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖月需.在如图所示的阳马2/5cZ）

中，侧棱底面ABCDMPD=CD=BC点E,F分别为线段PB,PC的中点.下列

说法正确的是（）

A.四面体E-BCD和四面体F-BCD都是鳖月需

B.四面体E-BCD和四面体F-BCD都不是鳖月需

C.四面体E-BCD是鳖月需,四面体F-BCD不是鳖月需

D.四面体E-BCD不是鳖月需,四面体F-BCD是鳖月需

【解析】选D.不妨设立）=。£>=3。=2厕DE=BE=5BD=2立

r）p2।RF2乙RD21

所以cos/BED=—皿）=一卜0,即切为钝角，所以△瓦加为钝角三角形,

乙U匕B匕3

则四面体E-5CZ）不是鳖月需；

即，底面458,贝UPDLBC,

又因为ABCD为正方形，

贝UCD1BC,PDCCD=D,

所以5UL平面PCZ）,

PCQbu平面则BC±DF,BC±PC,

又因为PQ=QC,且点F为线段PC的中点，

贝UPCLDF,

055。=。,所以。方，平面PBC,

3bu平面可。，贝［JDF±BF,

即可得CD±BC,BC±PC,PC±DFJ）F±BF,

所以△5CZ）,"'5CACZ）凡△瓦加均为直角三角形，则四面体F-BCD是鳖月需.

12.（5分）正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF

折成直二面角如图所示,M为矩形4EFD内的一点斯于点O,如果N

1

MSE=NMSC,tanNM5。与，那么线段MO的长为.

【解析】设跖)=q>0,由于平面/EF0_L平面5EFC,且交线为ERMOLEF,所以

平面3EFC,贝UMO1OB,

所以tanN〃SO4^=^1,则0B=2x,

则OE=j4%2-1,0上2=-14%2.LBM=&C,EM=®2."B^+EM^BM^BE1EM.

O0=(2-a抬-1『+12,g=

(2-+H+x2,由于N〃5E=NMSC,所以cosZWE=cosZWC,gP

5x+2+1+%'

2x巡xx2

解得即MO=^~.

13.（10分）如图所示，在四棱锥PDABCD中，底面ABCD是/。48=60。且边长为a

的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面48cA若G为AD的中点.

p