常用逻辑用语-2025年高考数学复习讲义及练习解析

2025年高考数学复习讲义及练习解析

第二节常用逻辑用语

课标解读考向预测

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；新高考对常用逻辑用语直接考查的频率比较

理解判定定理与充分条件、性质定理与必要低，一般与其他知识交汇考查，难度为中等

条件、数学定义与充要条件的关系.偏易.2025年备考仍以选择题为主训练，主要

2.理解全称量词与存在量词的意义；能正确使涉及与函数、数列、三角的有关性质、不等

用存在(或全称)量词对全称(或存在)量词命题式的解法及直线与平面位置关系的判定等相

进行否定.关知识结合考查.

必备知识——强基础

知识梳理

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

p与q的关系结论

。是〃的质1充分条件,。是。的应必要条

p*q

件

p0q且。是。的辰］充分不必要条件

p^>q且q0Pp是q的血必要不充分条件

P是g的辰］充要条件

poq

p打q且q^>pp是q的同既不充分也不必要条件

2.充分、必要条件与集合的子集之间的关系

设/={x以x)},B={x\q(x)},则

(1)若/=£则p是q的应充分条件；

⑵若A?B,则p是g的园必要条件;

(3)若/=£则p是4的应充要条件；

(4)若/B,则。是。的应充分不必要条件;

⑸若/B,则。是「的川必要不充分条件.

1

2025年高考数学复习讲义及练习解析

3.全称量词命题与存在量词命题及其否定

^名称

全称量词命题存在量词命题

形式

U存在M中的元素x,p(x)成立

结构对"中11任意一个%,p(x)成立

]VxGM,p(x)

简记值£M,p(x)

否定Vx£M,“(x)

常用

1.在判断充分、必要条件时，小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围.

2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.对省略了全称量词的命题否定时，

要对原命题先加上全称量词再对其否定.

诊断自测

1.概念辨析(正确的打y”，错误的打“X”)

(1)当4是p的必要条件时，p是g的充分条件.()

(2)已知集合B,的充要条件是4=8.()

(3)“*WM,0(x)”与“VxWM,R(X)”的真假性相反.()

答案(1W(2)7(3)4

2.小题热身

(1)(2024・四川绵阳南山中学模拟)“sina=sin旷是“a=〃'的________条件.(用“充分不必要”“必

要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)

答案必要不充分

解析若<7=四，,则满足sina=sin£,而不满足(7=或；当a=£时，sina=si叩一定成立，

66

所以"sina=sin夕”是％=夕”的必要不充分条件.

(2)已知p：是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数Q的取值范围是.

答案(一8,2]

解析由已知可得{x|2<x<3}{x\x>a],所以aW2.

(3)(人教A必修第一册习题1.5T6改编)已知“若x>l,则2x+l>/T是假命题，则实数丸的取

值范围是.

答案(3,+8)

解析因为“若x>L则2x+l>4”是假命题，所以Tx>l,使是真命题.因为当

2

2025年高考数学复习讲义及练习解析

X>1时，2x+l>3,所以实数力的取值范围是(3,+8).

(4)设命题/SxGR,x2—2x+m—3=0；命题q：VxGR,x2—2(m—5)x+〃”+19W0,若p,

g均为真命题，则实数加的取值范围为.

答案［it

解析若命题p：N—2%+加一3=0为真命题，则/=4-4(初一3)20,解得加<4；

若命题夕：2(加一5)x+加2+19WO为真命题，则/=4(加一5/—4(加2+19)<0,解

Q,4-oolIm>-.R,4

得加J.又p,q均为真命题，所以实数加的取值范围为{剂冽W4}n］^I5j=15

考点探究——提素养

考点一充分条件、必要条件的判断

例1(1)(2023•全国甲卷)“sida+sii?产=1”是“sina+cos/=0”的()

A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

答案B

解析当sin2(x+sin2£=l时，例如a=；,0=0,但sina+cos£/0,即sinZa+sid胃=1推不出

sina+cos£=0；当sina+cos£=0时，sin2a+sin2^=(—cos^)2+sin2/?=1,即sina+cos£=0

能推出sin2a+sin2^=1.综上可知，“sin2a+sin2y?=1”是“sina+cos£=0"的必要条件但不是充分

条件.故选B.

(2)(2023•河北石家庄模拟)已知a,b,cGR,则“a=b=c”是“a2+62+c2=a6+bc+ac'^()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析若a=b=c,贝I屋+62+c2=3屋，a6+6c+ac=3屋，即a=b=c=>a2-\-b2-\-c2=ab-\-bc

+ac,满足充分性；若a2+b2+c2=ag+6c+ac,贝！］2a2+2Z?2+2c2=2a6+26c+2ac,所以a?

22222

-2ab+b+b—2bc+c+a—2ac+c—Q,即(a-b)2+(6—c)2+(a—c)2=0,则a—b=c,满

足必要性.故选C.

(3)(多选)下列四个条件中，能成为的充分不必要条件的是()

3

2025年高考数学复习讲义及练习解析

A.xc2>yc2B.YY。

xy

C.\x\>\y\D.Inx>lny

答案ABD

2222

解析对于A,若xc>yc,则。2£0,则x>y,反之x>y,当c=0时得不出xc>yc,所以

是“的充分不必要条件，故A符合题意.对于B,由可得yVx〈O,即能推出％*,

xy

但不能推出1<1（）（因为x,y的正负不确定），所以“Ho”是“x>y”的充分不必要条件，故

xyxy

B符合题意.对于C,由可得好>、2,则（x+y）（x—y）>0,不能推出x>y；由也不能推

出国力（如x=1,y=—2）,所以“|x|川”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故C不符合题意.对

于D,若lnx>lny,则x>y>0,反之x>y得不出lnx>lny,所以“lnx>lny"是"x>y”的充分不必

要条件，故D符合题意.

【通性通法】

充分、必要条件的两种常用判断方法

【巩固迁移】

1.（2023•北京高考）若刈W0,则“x+y=O"是包+三=一2”的（）

xy

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析因为孙W0,且工=一2,所以炉+歹2=一2苫y，即x?+y2+2孙=0,即（x+y）2=0,所

xy

以x+y=O.所以“x+y=O"是超+工=—2”的充要条件.故选C.

xy

2.（多选）（2023•广东广州华南师大附中模拟）函数人^usintx+o+j为偶函数的一个充分条

件是（）

A一5兀一2兀

A.9=---B.（p=----

63

4

2025年高考数学复习讲义及练习解析

八—兀

C.(p—_71_cD.(p一—

63

答案BD

解析由题意得夕+匹=左兀+匹，kGZ,解得9=左兀+匹，kGZ,令k=-1,贝必=—生；令后=

6233

0,则0=；.故选BD.

考点二根据充分条件、必要条件求参数的取值范围

例2已知p：—2WxW10,q：1—mWxWl+.

(1)若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为;

(2)若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为.

答案(1)(0,3](2)[9,+8)

1—in—2,1—加>—2,

解析(1)因为p是q的必要不充分条件，所以，或・解得"zW3,又

1+m<10[1+wWlO,

m>0,所以实数机的取值范围为(0,3].

1—mW一2,[1-m<-2,

⑵因为p是4的充分不必要条件，所以•或・解得加》9,即实数加

.1+m>10[1+m^lO,

的取值范围为[9,+°°).

【通性通法】

由充分、必要条件求参数范围的策略

巧用转化把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之

求参数间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形

端点值慎

在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍

取舍

注意：考虑空集的情况.

【巩固迁移】

3.(2023•福建福州四校联考)已知p：A=【UII匚1—Mx,q：B={x\x-a<Q},什若夕是g的必、要

不充分条件，则实数。的取值范围是()

A.(2,+8)B.[2,+8)

C.(一8,1)D.(—8,1]

答案D

解析由题意得4={x[(x—2)(%—1)20且1}={x|x22或x〈l},B={x\x<a},是q的

必要不充分条件，4,."WL故选D.

考点三含有量词的命题的否定及真假判断

5

2025年高考数学复习讲义及练习解析

例3(1)设命题夕平行四边形对角线相等，贝卜0为()

A.平行四边形对角线不相等

B.有的平行四边形对角线相等

C.有的平行四边形对角线不相等

D.不是平行四边形对角线就不相等

答案C

解析因为命题?为省略了全称量词“所有”的全称量词命题，所以r?有的平行四边形对角

线不相等.故选C.

(2)(2024•湖北百校高三联考)设命题p：3xe(0,4),2工+4=18；命题“：每个三角形都有内

切圆，贝ij()

A.命题P的否定：Vxe(0,4),2，+4=18

B.命题?是真命题

C.命题q的否定：存在一个三角形没有内切圆

D.命题q是假命题

答案C

解析命题。的否定应为“VxW(0,4),2工十&=18"，所以A错误；因为兀0=2工+也在xG(0,

4)上单调递增，所以八%)</(4)=18,所以当x£(0,4)时，2工+4<18,所以命题p为假命题，

所以B错误；命题q的否定为“存在一个三角形没有内切圆”，所以C正确；任何三角形都有

内切圆，所以命题q为真命题，所以D错误.故选C.

【通性通法】

1.含有量词命题的否定与不含量词命题的否定

含有量词命题的否定与不含量词命题的否定有一定的区别，含有量词命题的否定是将全称量

词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而不含量词命题的否定需先将

量词加上再按照含有量词命题的否定解答即可.

2.含有量词命题真假判断的策略

判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成

立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.

【巩固迁移】

4.(多选)(2024•河北沧州部分学校高三联考)命题p：3xF(0,2),x3>x6；命题q：每个大于2

的素数都是奇数.关于这两个命题，下列判断正确的是()

A.p是真命题

B.Vx£(0,2),x3<x6

C.q是真命题

6

2025年高考数学复习讲义及练习解析

D.存在一个大于2的素数不是奇数

答案ACD

解析若x=[,则工3>、6,所以p是真命题，A正确；rp：VxE(0,2),x3^x6,B错误；每

个大于2的素数都是奇数，q是真命题，C正确；rq：存在一个大于2的素数不是奇数，D

正确.故选ACD.

5.(2024・湖北部分学校高三联考)已知p3me{m|-2<m<3},使关于x的方程2x2一%=0有

解，贝!Jr。：.

答案V//7G{m|-2<m<3},使关于x的方程29—加=0无解

解析根据存在量词命题的否定为全称量词命题，可得2?：V/wG{m\—2<m<3},使关于x的

方程2/一加=0无解.

考点四根据命题的真假求参数的取值范围

例4(1)已知p：VxW[3,4),x2~a^0,则0成立的一个充分不必要条件可以是()

A.a<9B.a>9

C.a<\6D.a>\6

答案A

解析若p为真命题，则aW/在区间p,4)上恒成立，所以aW9,所以p成立的一个充分

不必要条件可以是°<9.故选A.

(2)(2024•山东聊城一中高三期中)若命题FxGR,9+2仆+2—a=0”是假命题，则实数a的

取值范围是.

答案(一2,1)

解析因为命题TxGR,N+2ax+2—a=0”是假命题，所以命题“VxGR,/+2办+2—aWO”

是真命题，所以/=44-4(2—a)<0,即层+a—2<0,所以—2<a<l.

【通性通法】

由命题真假求参数范围的本质是恒成立问题或有解问题，一是直接由命题的含义，利用函数

的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与Y的关系，转化成r0的真假求参数的范

围.

【巩固迁移】

6.若命题“VxW[l,4],N-4x—%W(r是假命题，则正的取值范围是()

A.[—4,—3]B.(—8,—4)

C.[-4,+°°)D.[-4,0]

答案D

解析若“VxG[l,4],》2一人一mWO”是假命题，则汨xW[l,4],用一4无一加=0”是真命题,

即加=X2—4x,设4x=(x—2)2—4,因为>=》2—4x在[1,2)上单调递减，在(2,4]上

7

2025年高考数学复习讲义及练习解析

单调递增，所以当x=2时，>min=-4；当x=4时，>max=0，故当1WXW4时，-4WyW0,

则一4（加W0.

7.已知命题0：3x>0,x+a—1=0,若〃为假命题，则a的取值范围是.

答案［1，+°°）

解析因为p为假命题，所以命题p的否定：Vx>0,x+a—1W0是真命题，所以xWl—a,

所以1—aWO,所以

课时作业

A级4基础巩固练

一、单项选择题

1.（2023•天津高考）、2=庐，是％2+〃=2仍，，的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

答案B

解析解法一：若a?=b2,则当a=—6W0时，有次+/二2/,2ab——2a2,即4+尻片2%

所以层=/>2az2+62=2%若以+/>2=2“6,则有*+62—2-=（）,即（。-6）2=0,所以0=6,

则有屋=〃，即。2+62=2。6=>层=62.所以“层=庐，是“屋+62=2"”的必要不充分条件.故选

B.

解法二：因为a2=%2=a=—6或a=6,总+b2=2aboa=b,所以本题可以转化为判断a=—

b或a=b与a=b的关系，又“a=-6或a=6"是"a=b"的必要不充分条件，所以“层=62”是“次

+尻=2"”的必要不充分条件.故选B.

2.（2024•浙江名校协作体高三上学期开学考试）设命题/VnGN,«2<3«+4,则〃的否定为

（）

A.层>3"+4

B.V/?GN,/W3"+4

C.力?WN,〃223"+4

D.3MEN,层>3"+4

答案C

解析因为命题夕V"WN,«2<3«+4,所以〃的否定为三〃GN,层23〃+4.故选C.

3.下列各项中是“四边形是矩形”的充分条件的是（）

A.四边形的对角线相等

8

2025年高考数学复习讲义及练习解析

B.四边形的两组对边分别相等

C.四边形有两个内角都为直角

D.四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补

答案D

解析对于A,四边形的对角线相等且平分才是矩形，故A不符合题意；对于B,四边形的

两组对边分别相等为平行四边形，故B不符合题意；对于C,四边形有三个内角为直角才是

矩形，故C不符合题意；对于D,四边形的两组对边分别平行则为平行四边形，则相邻两角

互补，又有一组对角互补，故相邻两角相等，又相邻两角之和为180。，故相邻两角均为直角，

故该平行四边形是矩形，故D符合题意.故选D.

4.（2024•福建百校高三上学期第一次联考）命题Fx£Q,/UlWQ''的否定是（）

A.VxGQ,W+ISQ

B.VxCQ,W+1GQ

C.3.rGQ,W+1$Q

D.VxFQ,W+1GQ

答案A

解析因为命题“mxWQ,WP1WQ”为存在量词命题，所以命题“*WQ,口P1GQ”的否

定是“VxGQ,W+1生Q”.故选A.

5.（2023•湖南邵阳高三二模）已知集合月=[一2,5],B=[m+1,2m-1].若“xWB”是“xG/”

的充分不必要条件，则加的取值范围是（）

A.（—8,3]B.（2,3]

C.0D.[2,3]

答案B

解析因为“xGB”是“xG/”的充分不必要条件，所以2A,所以.加+1^—2,或

2m—1<5

m+l<2m—1,

.加+1>_2,则2〈机W3,即加的取值范围是（2,3].故选B.

2m—1W5,

6.（2024・湖南长郡中学高三月考）若命题p〃/+2"—420”为假命题，则〃的取

值范围是（）

A.（-4,0]B.[-4,0）

C.[-3,0]D.[-4,0]

答案A

9

2025年高考数学复习讲义及练习解析

解析命题p：4/+2"一4三0”为假命题，即命题~7?："Vx£R，6zx2+2«x—4<0,5

为真命题.当。=0时，一4<0恒成立，符合题意；当QWO时，则QVO且/=（2〃）2+16〃<0,

即一4VQ〈0.综上可知，-4VqW0.故选A.

7.命题N—2qW0”是真命题的一个必要不充分条件是（）

A.。三1B.。三3

C.D.々W4

答案A

解析因为命题“Vl〈xW2,2aW0”是真命题，所以。三0=2,则一个必要不充分条

件是.故选A.max

8.（2023•山东济南模拟）若“五£（0,兀），sin2x—去inx<0”为假命题，则左的取值范围为（）

A.（—8,—2]B.（—8,2]

C.（—8,-2）D.（一8,2）

答案A

解析由题意，知'勺xW（0,兀），sin析一AsinxvO"为假命题,则“VxW（0,兀），sin2x—ksmx^O''

为真命题，所以2sinxcosx，左sinx,则左W2cosx,解得AW—2,所以上的取值范围为（一8,

-2].故选A.

二'多项选择题

9.（2024•安徽六安实验中学高三上学期质量检测）下列命题正确的是（）

A.命题TxWR,y>l”的否定是“Vx£R,

B.”至少有一个x,使x2+2x+l=0成立”是全称量词命题

C."irGR,x—2>心”是真命题

D."VxGR,N>0”的否定是真命题

答案ACD

解析对于A,因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题汨xGR,>>1”的否定

是“VxGR,yWl”，故A正确；对于B,“至少有一个x,使/+2x+1=0成立”是存在量词

命题，故B错误；对于C,当x=9时，9-2=7>^9=3,所以“icGR,x—2>心”是真命题，

故C正确；对于D,因为当x=0时，x2=0,所以“VxGR,/>0”是假命题，其否定是真命题，

故D正确.故选ACD.

10.（2024•广东东莞东华高级中学高三模拟）若“VxWM,冲>x"为真命题，TxWM,x>3”为假

命题，则集合Af可以是（）

A.{x|x<—5}B.{x|—3<x<—1}

C.{x\x>3}D.{x|0WxW3}

10

2025年高考数学复习讲义及练习解析

答案AB

解析因为TxGM,x>3”为假命题，所以“VxG跖xW3”为真命题，可得Mgx|xW3},又“Vx

GM,冲>x"为真命题，可得M£{x［x<0},所以MU{x|x<0}.故选AB.

H.（2024•江苏南京师范大学附属中学高三模拟）设a,b,c都是实数，则下列说法正确的是

（）

A.“小>府”是的充要条件

B."Ina>ln6”是“屋>庐，的充分不必要条件

C.△4BC中,角4B,。的对应边分别为a,b,c,则“siM>sin5”是“a>6”的充要条件

D."tan0=^”是“sin20=*"的必要不充分条件

32

答案BC

解析对于A,由。02>灰2可得Q>6,当c=0时，由得。/=儿2,所以是

的充分不必要条件，故A错误；对于B,因为lna>lnb,所以a>6>0,则层>62,由。2>62,

得同>也|,若a>0>b,则Inb无意义，即推不出Ina>\nb,所以“Ina>lnb"是"层乂产的充分不

必要条件，故B正确；对于C,根据正弦定理，得siiL4>sinSo*>a=a>6,所以“siiL4>sin5”

2R2R

是“a>6”的充要条件，故C正确；对于D,由tan0=*,得。=支+阮（左WZ）,故sin20=sin（j

+2kn

36

=y,由sin20=：,得2。=；+2桁伏GZ）或26>=T+2也依GZ）,即6>=：+加收WZ）或。=；+

火后Z）,故tan0=3或3,所以“tan0=也”是“sin20=B”的充分不必要条件，故D错误.故

332

选BC.

三、填空题

12.（2023•山东潍坊高三二模）若“x=a”是“sinx+cosx>l”的一个充分条件，贝卜的一个可能值

是.

答案{只需满足act2®，W+lJ/GZ）即可］

4

解析由sinx+cosx>l,得也sinl+J〉］,即sinB+J〉也，所以2历i+匹<x+匹<2历i+红（左

2444

GZ）,解得2历EVXV2E+1/£Z）,因为"x=a"是"sinx+cosx>l”的一个充分条件，所以1的一

个可能值为三

4

13.（2024•福建厦门第六中学高三检测）已知命题“Vx£R,/一2工+加>0”为假命题，则实数冽

的取值范围为.

11

2025年高考数学复习讲义及练习解析

答案(一8,1]

解析因为命题“Vx£R,N—2x+冽>0”为假命题，所以命题“A£R,N—2x+冽W0”为真命

题，所以/=(一2/一4冽20,解得机W1.故实数加的取值范围为(一8,1].

14.若火])=%2—2x,g(x)=qx+2(a>0),VxiG[—1,2],3x2G[—1,2],使g(xi)=/(x2),则

实数a的取值范围为.

答案12」

解析问题等价于函数g(x)的值域是函数1AX)值域的子集.因为/(x)=x2—2x=(x—1)2—1,X

e[-l,2],所以大X)£[—1,3],即函数外)的值域是[―1,3],因为A0,所以函数g(x)的

值域是[2—a,2+2a],则2—-1且2+2QW3,即aW；.故实数Q的取值范围是2_.

B级

15.(2024•江苏扬州中学高三上学期开学考试)若“孔£[1,2],使2X2-AX+1〈0成立”是假命

题，则实数力的取值范围是()

「「2也-

A.(—8,2也)B.L2」

修，+8〕

C.(—8,3]D.L2J

答案C

解析若TxG[l,2],使2x2—a+1O成立”是假命题，贝2],使2x?—&+1N0

成立”是真命题，即VxG[l,2],4W2X+L令/)=2X+LXG[1,2],由对勾函数的性质可

XX

知，危)在[1,2]上单调递增，故人X)min=/(1)=3,则2W3.故选C.

16.(2021•全国甲卷)等比数列｛诙｝的公比为4,前“项和为S".设甲：4>0,乙：｛&｝是递增数

列，贝！1()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案B

解析当m=—1,q=2时，｛S,｝是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；当｛%｝是递增数列

时，有a“+i=S"+i—S尸。。>0,若ai>0,则/>0(〃WN*),即g>0；若如<0,则q"<O(〃GN*),

这样的4不存在，所以甲是乙的必要条件.故选B.

17.(2024・华中师范大学第一附属中学高三期中)在△ABC中，“tanStanOl”是“△/5C为锐角

三角形”的()

12

2025年高考数学复习讲义及练习解析

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析若△/2C为锐角三角形，则3+CA即皮支一C,又0＜8(生，0＜C＜-,贝110＜匹一。＜乃,

222222

所以tanBKanL0),贝(]tan8>也晅>0,所以tanBtanOl；在△4BC中，若tanStanOl,则

sinC

1

tan5>0,tanC>0,即8,。均为锐角，所以taa5>------,即tan^>二—:

tanCsinC

所以8＞四一C,则8+。＞四，即4＜匹，所以△/8C为锐角三角形，故"tanStanOl”是“△/8C

222

为锐角三角形”的充要条件.故选C.

显

18.(2023・新课标I卷)记a为数列｛斯｝的前〃项和，设甲：｛斯｝为等差数列；乙：为等差

数列，贝U()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案C

解析解法一：甲：｛斯｝为等差数列，设其首项为0，公差为力则迪u%：=

_|&

a