江苏省宿迁市2023-2024学年高二年级下册6月期末考试数学试题（含答案解析）

江苏省宿迁市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试

题

学校：.姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.计算C：+C；+C；=（）

A.20B.21C.35D.36

则

2.已知样本数据2芯+1,2X2+1,2%+1的平均数为5,3%1+1,3X2+1,3xn+l

的平均数为（）

A.6B.7C.15D.16

3.下表是大合唱比赛24个班级的得分情况，则80百分位数是（）

得分78910111314

频数4246242

A.13.5B.10.5C.12D.13

4.已知4，b为两条不同直线，a,/为三个不同平面，则下列说法正确的是（）

A.若。〃b,bua,则aliaB.若alla,bua,则allb

C.ally,/?///,则a〃分D.若仪_L7,0,则。〃用

5.已知4氏。三点不共线，0为平面ABC外一点，下列条件中能确定加,ABC四点共面的

是)

A.OM=OA+OB+OCB.OM=3OA-OB-BC

C.OM=OA+-OB+-OCD.OM=3OA-2OB-BC

23

311

6.已知随机事件A,B,P(A)=—,P(B)=-,P(B\A)=-9则P(A|5)=()

A-1B-1C-4D-士

已知（）。=%+9则寸+合+才+娶的值为（）

7.2x+1qx+H-----Fa9x,

A.255B.256C.511D.512

8.某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的20%,乙

车间占35%,丙车间占45%.已知这3个车间的次品率依次为5%,4%,2%,若从该厂

生产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为（）

二、多选题

9.下列选项中叙述正确的有（）

A.施肥量与粮食产量之间具有正相关关系

B.在公式冲=1中，变量'与x之间不具有相关关系

C.相关系数4=0.6时变量间的相关程度弱于4=-。.8时变量间的相关程度

D.某小区所有家庭年收入x（万元）与年支出'（万元）具有相关关系，其线性回归方

程为9=GX+0.8.若元=20,y=16,贝13=0.76.

10.已知点A（-2,3,-3）,8（2,5,1）,C（l,4,0）,平面a经过线段入台的中点。，且与直线

垂直，下列选项中叙述正确的有（）

A.线段的长为36

B.点尸（1,2,-1）在平面平内

C.线段的中点。的坐标为（。,4,-1）

D.直线CD与平面a所成角的正弦值为2叵

3

11.甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取

出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为召（X）、£（y）,方差

为D（x）、D（y）,则下列结论正确的是（）

A.E（x）+E（y）=5B.E（X）<E（Y）

C.D（X）<D（DD.O（X）=D（y）

三、填空题

12.已知随机变量X服从正态分布N（95Q2）,若尸（X<80）=0.3,则P（95<X<110）=.

13.如图，用四种不同颜色给图中的A,8,C,r）,E五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且

图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方法共有种.

试卷第2页，共4页

14.如图，已知三棱锥尸-ABC的底面是边长为2的等边三角形，ZAPS=60°,。为48中

点，PAA.CD,则三棱锥尸-MC的外接球表面积为.

四、解答题

15.在，x+9](〃N3,weN*)的展开式中，第2,3,4项的二项式系数依次成等差数歹U.

(1)证明展开式中不存在常数项；

(2)求展开式中所有的有理项.

16.某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到A,B两个班级招募

新社员.

⑴求到A班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率；

⑵设到A,3两班招募新社员的男生人数分别为。，6,记X=a-b,求X的分布列和方差.

17.如图，正三棱柱A2C-A4G中，。为的中点.

⑴求证：BQ〃平面ACD;

AA

⑵当的值为多少时，平面aco?请给出证明.

AB

18.会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务

质量的满意度.现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下：

满意度

年龄段合计

满意不满意

不高于40岁502070

高于40岁25530

合计7525100

(1)问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关;

(2)用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率.从所有会

员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为X,求X的分布列和数学期望.

（其中n=a+b+c+d）.

参考公式,炉，…黑湛'b+d)

参考数据:

尸停力)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.如图，在三棱台至中，AB=BC=AC=2,AD=DF=FC=1,N为。F的中

点，二面角O-AC-B的大小为。.

⑴求证：AC±BN；

jr

(2)若9=5，求三棱台ABC-DEF的体积；

⑶若A到平面3a区的距离为舱，求cos。的值.

2

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】利用组合数计算公式计算可得结果.

【详解】由组合数计算公式可得C；+C；+C：=l+5+M=2L

1X/

故选：B

2.B

【分析】根据平均数的性质即可得4马，…,招的平均数为2,则可得到新的一组数据的平均

数.

【详解】由题意，样本数据勿+1,2三+1,…，2%+1的平均数为5,

设西…,3的平均数为，

即或+1=5，解得7=2，

根据平均数的性质知3占+1,3x2+1,…，3%+1的平均数为我+1=7.

故选：B.

3.D

【分析】根据百分位数的定义求解即可.

【详解】因为24x80%=19.2,24个班级的得分按照从小到大排序，

可得80百分位数是第20个数为13.

故选：D

4.C

【分析】由线线、线面、面面的位置关系即可求得本题.

【详解】若。〃)，bua,则a//a或aua,则A错；

若a//a,bua,贝!J或。与人异面，则B错；

ally,(3Uy,由平行的传递性可知，a〃6，则C对；

若a，7,£_L7,则a///?或相交.，D错，

故选：C.

5.D

【分析】根据空间向量基本定理对选项逐个进行验证即可得出结论.

【详解】由空间向量基本定理可知，若四点共面，则需满足存在实数x,y,z使得

答案第1页，共12页

OM=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=l,

显然选项A,C不成U；

对于选项B,由OM=3QA_O3_8C可得OM=3OA-O3-(OC-O3)=3OA-OC,

不合题意，即B错误；

对于D,化简OM=304-2OB-BC可得OM=3OA-2OB-(OC-OB)=3OA-OB-OC,

满足3+(-1)+(-1)=1,可得D正确；

故选：D

6.A

【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得尸(AB),再由条件概率公式，代入计算，即

可得到结果.

311

【详解】因为P(A)=历,P(B)=3,P(B\A)=~,

i31

则P(A3)=尸(3]A)x尸(A)=]X^=

10

5

故选：A

7.A

11

【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令1=0求出4=1,分别令%=-；，

再两式相加可得旬+今++5-=256,再减去%即可.

【详解】令x=0,得4=1,

令x=L得&+女+4+2+...+2+胃=29=512,

20222232829

令x=」，得g一女+与一*++*一*=。，

20222232829

两式相加得21ao+才++才］=512,

得%+!!■++争=256，

贝冷+生+守+*=255・

答案第2页，共12页

故选：A.

8.C

【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式代入计算，即

可求解.

【详解】记事件A表示甲车间生产的产品，

记事件8表示乙车间生产的产品，

记事件C表示丙车间生产的产品，

记事件。表示抽取到次品，

则P(A)=0.2,P(B)=0.35,P(C)=0.45,

尸(必A)=0.05,P(D|B)=0.04,P(£>|C)=0.02,

取到次品的概率为

p(£>)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|JB)+P(C)P(D|C)

=0.2X0.05+0.35X0.04+0.45X0.02=0.033,

若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为：

p(B\D\_P(BD)_P⑻P(r>|2)_0.35x0.04_0.014_14

(।P(£>)-P(D)-0.033-0.03333,

故选：C

9.BCD

【分析】根据相关关系的定义和性质可判断AB的正误，根据相关系数的性质可判断C的正

误，根据回归方程的性质可判断D的正误.

【详解】对于A,只有在施肥量不过量的情况下，施肥量越大，粮食产量越高，则题中两者

不具有正相关关系，故A错误.

对于B,变量V与无之间是函数关系，不是相关关系，故B正确.

对于C因为问=0.8>闻=0.6,

故相关系数=0.6时变量间的相关程度弱于々=-0.8时变量间的相关程度，故C正确.

对于D,因为回归直线过(元,歹)，故16=版20+0.8，故3=0.76，故D正确.

故选：BCD.

10.BCD

答案第3页，共12页

【分析】由空间两点间的距离公式即可得到线段A8的长，判断A；由平面a,垂足

为点。，PDA.AB,即可判断B；由中点坐标公式可得点。的坐标，判断C；设直线CD与

ABCD

平面a所成的角为sin4=cosAB,CO,通过坐标运算可得，判断D.

ABCD

【详解】因为点A(-2,3,-3),8(2,5,1),

所以AB=^(2-(-2))2+(5-3)2+(1-(-3))2=6,故A错误;

设。点的坐标为(x,%z),因为。为线段A8的中点，

则。的坐标为(。,4,-1),故C正确；

因为点尸(1,2,-1),则PD=(-1,2,0),又A3=(4,2,4),

则PDAB=(-l,2,0).(4,2,4)=0,所以PEC，即

又平面a,垂足为点。，即。e平面。，所以PDu平面a,故B正确；

由C(l,4,0),0(0,4,-1),得CD=(-1,O,-1),

设直线CD与平面a所成的角为夕，

I/aABCD_4+0-42应

则si”=cos(AB,CD)\=—.—=一丁=+,故D正确.

1'71AB^CD6j23

故选：BCD.

11.ABD

【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知x+y=5,利用期望值和

方差性质可得A,D正确，C错误；易知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4,写出对应

的概率并得出分布列，可得E(X)=2.4,E(y)=5-E(X)=2.6,可得B正确.

【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为x,y,

不管如何交换红球个数始终只有5个，易知X+y=5,

对于A,由期望值性质可得E(X)=E(5-y)=5-E(y),即E(x)+E(y)=5,所以A正确;

对于B,易知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4；

当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得

答案第4页，共12页

P（x=o）=p（y=5）=|1x||i

Too

当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球,

乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得

|C'c；c；_123

p（x=i）=尸（y=4）=

c；c；ciC；10025

当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出

2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄

球后交换，可得

…八…八C"CC'CC：C；C：C；4221

尸（X=2）=尸（¥=3）=^^乂^^+得*―+得><*=—=—；

\v7C|CjClCjClCj10050

当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球,

1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得

P（X=3）=P（y=2）=|-C'C；C'C；C；369

C；砥Cf-100-25；

当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得

p（x=4）"（』）=**看

随机变量X的分布列为

X01234

132199

P

100255025W0

13219Q

所以期望值E（X）=0x——+lx——+2x——+3x——+4x——=2.4,

「100255025100

可得矶y)=5—E(X)=2.6,即得X)<E(V),可得B正确;

对于C,D,由方差性质可得£>")=。(5-乂)=(-1)2。(*)=。(乂)，即可得Z)(X)=£)(y),

所以C错误，D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足X+V=5,利用期望值和方差性质可判

答案第5页，共12页

断出AD选项，再求出随机变量X的分布列可得结论.

1

12.0.2/|

【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可.

【详解】因为随机变量X服从正态分布N(95Q2),P(X<80)=0.3,

所以尸(95<X<110)=P(80<X<95)=0.5-P(X<80)=0.2,

故答案为：0.2

13.72

【分析】由图形可知点E比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点E开始涂色计算可得结

果.

【详解】根据题意按照45CRE的顺序分5步进行涂色，

第一步，点E的涂色有C：种，

第二步，点A的颜色与E不同，其涂色有C；种，

第三步，点8的颜色与AE都不同，其涂色有C；种，

第四步，对点C涂色，当AC同色时，点C有1种选择；当AC不同色时，点C有1种选

择；

第五步，对点O涂色，当AC同色时，点。有2种选择；当AC不同色时，点。有1种选

择；

根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有C；C；C；(lx2+lxl)=72种.

故答案为：72

.,20万20

14./—71

33

【分析】设皿外接圆的圆心为E,三棱锥尸-ABC的外接球的球心为。，连接OE,

VABC的外接圆的圆心为G,连接OG,OB,可证四边形。GDE为矩形，利用解直角三角

形可求外接球半径，故可求其表面积.

【详解】因为VA3C为等边三角形，。为AB中点，故

而上4J_CD,PAAB=A,尸4,48<=平面24心，所以CD_L平面PAB.

设钻外接圆的圆心为E,三棱锥P-ABC的外接球的球心为。，连接。

设VABC的外接圆的圆心为G,连接OG,OB,

答案第6页，共12页

则OE_L平面上4B,OGLCD

WOEHCD,故O,G,£>,E共面，而DEu平面R4B,

故CDLOE,故四边形OGDE为矩形.

np1AB12g,r

又一2sinZAPB-V33，OE=DG=-CD=-^

—33

2

15.（1）证明见解析;

(2)1287,672x4,280x,—.

x

【分析】（1）根据题意可求得〃=7,利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项;

（2）由二项展开式的通项令x的指数为整数即可解得合适的左值，求出所有的有理项.

【详解】（1）易知第2,3,4项的二项式系数依次为C；,C：,C：,

可得C：+C：=2C1即/-D（"2）=2X3,

62

整理得（〃一2）（〃-7）=0,解得”=7或〃=2（舍）；

所以二项式为,假设第k+1项为常数项，其中keN,

即可得C：（2xy-［；］=2,y仁;“*为常数项，所以7-0'=0,

14

解得k=不合题意；

即假设不成立，所以展开式中不存在常数项；

答案第7页，共12页

(2)由⑴可知，二项展开式的通项C；(2x广[9]=27-久*”?可得,

13

其中的有理项需满足7—左——左eZ,即7-9代，且上<7；

22

当k=0,7-1左=7eZ,此时有理项为27cx7=128/；

3

当人=2,7——k=4eZ,此时有理项为25C>4=672d；

2

当％=4,7——k=leZ,此时有理项为23(2*=280x；

2

314

当k=6,7—万上=一2eZ,此时有理项为2'C^-2=-v；

14

综上可知，展开式中所有的有理项为128/,672元。280x,4.

X

3

16.(1)-

⑵I

CY3

【分析】(1)由古典概型的概率求解

(2)由题意，X的可能取值为-2,0,2,算出对应概率尸(X=-2),尸(X=0),P(X=2),

即可列出X的分布列，再求出E(X),进而由公式求出方差.

C1C23

【详解】(1)到A班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率为尸=安=不

(2)由题意，X的可能取值为-2,0,2,则

C2cl

产”=-2）=*=。P（X=0）=*3P（X=2）年1

55

所以X的分布列为

答案第8页，共12页

所以£＞（X）=（一2_0）弋+（0_0）%|+（2_0）弋=,

17.（1）证明见答案.

（2）^

【分析】（1）连接AG,交AC于点0,连接。0,能证出BG〃D。，则能证出BQ〃平面40

⑵先把做工平面4。当做条件,H,得出脸的值,过程要正面分析.

【详解】（1）

连接AC|,交AC于点。，连接。。，

因为。是AG的中点，。为A3的中点，

所以。。是4BG的中位线，即2£〃。。，

8Gz平面AC£）,OOu平面AC。，

所以5G〃平面ACO.

（2）丛="时，A用，平面AC。，证明如下：

AB2

因为瞽=与，.1tanz4ABi=0,tanZD^B,=^=72,

N^ABI=ZDAiB1,

TTTT

ZDAlBI+ZAAiD=-,ZA,AB,+ZAA,D=-,即A耳_LA。.

因为三棱柱ABC-ASG为正三棱柱，.1ABC为正三角形，且胡，平面ABC,

CD1AB,CD±AAt,ABn=A,ABu平面ABqA，441u平面ABBa,

答案第9页，共12页

K

\CD平面ABBlAx,因为AB{u平面ABBlAl,

所以AB】_LCO,AO「］CD=O,4。,0)匚平面40),

AB}_L平面A。。.

.AA,V2

"AB

18.(1)不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关.

9

(2)分布列见解析；

【分析】(1)首先根据列联表中的数据结合公式计算/值，然后对照表格得到结论;

(2)由表格可知，对服务满意的人的概率为1，根据二项分布公式即可求

解.

【详解】(1)

100(50x5-25x20)2100

由列联表可知：/®1.587<2.072

75x25x70x30~63

所以不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关.

(2)由表格可知，对服务满意的人的概率为:，且乂~213,：

则X=0,1,2,3,

可得:p(x=0)=c；

P(X=2)=Cf尸(X=3)=C；

⑷64

故X的分布列如图:

X0123

192727

P

64646464

39

可得E(X)=3X1="

19.(1)证明见解析;

答案第10页，共12页

3

(3)cos^=--

【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理可得AC，平面创W,可证明结

论；

（2）由二面角定义并利用棱台的体积公式代入计算可得结果；

（3）建立空间坐标系，求出平面3CFE的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出

cos6）的值.

【详解】（1）取AC的中点为连接如下图所示：

易知平面ABC//平面DEF,且平面ABC\平面DACF=AC,平面DEFC平面DACF=DF；

所以又因为AO=/C=1,

可得四边形DA