




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
三十四高考中的解三角形问题
(时间:45分钟分值:85分)
【基础落实练】
1.(5分)在&45。中M5=3MC=2,cosNR4cW,点D在BC边上且40叱,
贝Usin/4DC=()
A*B.|C<D竽
【解析】选A.在ZU5C中,由余弦定理得
BC^AB2+AC2-2ABACcos^BAC^9+4-2x3x2x1=3,
所以5C=4民所以/3G4=NMC,
所以sinZ5G4=sinZ5^4C=/1-:一之,,
4^/3
/1।],口11E弓入'―彳、JsinN℃asin/ADC,即2返sinz.ADC,
亍
所以sinZADC^j-.
2.(5分)在&45。中角A,B,C的对边分别为a也c.若asin4+2csinC=2bsinCeosA,
则角A的最大值为()
,n_IT_71_2IT
A-6C-3DT
【解析】选A.因为asin/+2csinC=2bsinCeosA,
由正弦定理可得a2+2c2=2Z?ccosA①,
由余弦定理可得a2=Zj2+c2-2Z?ccosA②,
222
+曰c,“会口”,b+c-a〃+2
b+3C2
由①②可得2成=属一02,所以cos4=~乙—DC一^=----乙-DC-----―4DC,
因为〃+3。222M7=2f她当且仅当b=S时取等号,所以cos金翌等,
又/金(0,九),所以角A的最大值为看
3.(5分)在AABC中,。为边BC上一点40=6,50=3,N43C=45。,则sinNADC的
值为()
A2+平口1+出「1+"n道
A.-§-4C4DT
【解析】选C.如图,
在博BD中,由正弦定理得总行溪而即福/5,故MAD」.
又BD<40厕ZBAD<ZABC,
故/BAD只能是锐角,故cos/R4D*
所以sin//DC=sin(ZBAD+/ABD)
=sin(ZBAD+^5°)用
4.(5分)在AABC中,已知NA4C的平分线交BC于点必且BM:MC=2:3.
若/4MB=60。厕丝产=()
DC
A.2B.pC.y/7D.3
【解析】选C.因为4〃平分NR4C,由角平分线的性质:
2BC
所以*191,设力=2碎>。)厕4C=3左,由正弦定理:点号①,
2
3BC
__三②
sinzCXM辿j
T
①+②可得:⑥r|可求得:sin.
~T
22
LL~/c/50fc-3BC
所以cos/B4c=1-2sm2ZBAM=--------——.
50k
根据余弦定理:出02=(2左)2+(3左)2_2*2衣3上吧=对,整理可得:5。¥.
50k7
I-..iAB+AC5k
则BC-3・
7
5.(5分)(多选题)在&45。中Q在线段48上,且/。=5,夙)=3,若CB=2CD,
cosZCDB^,^)
3
A.sinZC7)5=^
B.ZU5C的面积为8
C.ZU3C的周长为8+4更
D.AABC为钝角三角形
【解析】选BCD.由cosNC7)5=d可得
sinZCDB=Jl故A错误;
2
设CD=x,CB=2x,在ACBD中,由余弦定理,可得人-尺合Q-I~-Y=-4r1
整理可得,5%2-2、由-15=0,解得,即CD=F,CB=2p,
所出△AB/△BC/S△逆43x存等存5*存等=8,故B正确;
222222
CB+BD-CDCB+AB-AC20+9-520+64-AC
由余弦定理,可知cosB=一脚居,解得
2CBBD2CBAB2x3x22x8x2非
AC=2巡,故AABC的周长为/5+4。+。5=8+2&+2"=8+4&,故C正确;
由余弦定理,可得cos/心-27黑工T<。,故为钝角,故D正确•
6.(5分)已知ZU5C为锐角三角形刀£分别为ABAC的中点,且⑺上成则cos
A的取值范围是()
1
A即B.
「4
【解析】选D.如图,设ZU3c的内角A,B,C所对的边分别为。也c,设CD,BE交于
点G,连接AG并延长交BC于点凡则F为BC的中点,
由CZUBE,可得b6守0|凡
373\2/1\231
亏.在中,-2x-a--a-cosNAFB,
/G=aXF4乙,乙cJ2=b\乙a)J+(ya乙)乙
31
在ZUC/中,/=(|a)+仇)-2x-a--a-cosAAFC,
因为NAFC+N/Fgi,所以上面两式相加得。2+左=5比
因为&18。为锐角三角形,所以a2+62>c2,62+c2>q2,c2+q2>b2,可得3於>283〃>2册,
2
EI2b3J6bJ6
则别吟nn<La
°CJJLz乙
又cos小二:'"+可,+々能+J弓当且仅当b=c时取等号,
设片目《考),则刖=5在目,1)上单调递减,在(1,/上单调递增.
COL«J4
因为媚)=/$片,白cosA<^~.
7.(5分)在AABC中,/5=60。48=2〃是5。的中点MM=2避厕心,
cos/MAC=.
【解析】在中,由余弦定理得A^AB^B^-T.BM-BA-cosB,
1
即12=4+6册-25Mx2X],解得akU4(负值舍去),所以BC=2BM=2CM=8,
1
在AABC中,由余弦定理得5=4+64-2*2*8*h52,
所以42H
.人AC2+AM2-MC252+12-162闻
在AWC中,由余弦XE理得cosNMK-2WC—2X2TX23F
―,—2A/39
答案:2声
8.(5分)已知在A45C中,内角A,B,C的对边分别为a也c,若a2^b2+c2-bc,a^3,^]
^ABC的周长的最大值为.
【解析】因为。2=〃+。21。,所以bc^b2+c2-a2,
22?
r-r-rib+c-a1
所以COS4A—2bcW
因为/£(0,兀),所以力三.
方法一:因为a=3,
所以由正弦定理得高^^273.
2
所以b=2psin3,c=2/sinC,
则a+b+c=3+2^/3sin5+2^/3sinC
=3+2/sin5+2^/3sin(^-5)
=3+3/sin5+3cos5=3+6sin(5+1),
因为左(0号,所以当例时,周长取得最大值9.
方法二:因为4=3,
所以由余弦定理得9^b2+c2-bc,
所以(b+c)2-3bc=9,
所以(b+c)2-9=3bcS3•(”一尸,
所以(6+c)2g36,
因为b+c>0,所以0<b+cS6,当且仅当b=c时取“=”,
所以日计经9,所以&45C的周长最大值为9.
答案:9
9.(5分)(2022•全国甲卷)已知ZU5C中,点D在边5c上,
AC
/4。5=120。4)=2,。。=2四.当右取得最小值时00=.
【解析】设8=2皿=2加>0厕在AA8。中,
AB2^BD2+AD2-2BD-ADcosZADB^+A+lm,
在ZUCD中H。=。。2+4£)2_28/£>cosN/DC=4加2+4-4加,
24m2+4-4/2714(m+4+2m)-12(1+m)1212r—
所以-------q-------2—-—-―-4------------>4--=4-2^3,
ABm+4+2mm+4+2mm+1+__2J(m+1).—
当且仅当加+1高,即m=Rl时等号成立.所以当言取得最小值时,出”退-L
A
BDC
答案
【加练备选】
已知D是A45C边4C上一点,且CD=3AD,BD=退,C4S/48。二则3AB+BC的
最大值为.
【解析】解法一:设小曰,则8=30。=书,
AABC内角A,B,C所对边分别为a,b,c,
在ZU5。中,cosNADB=_3—,
在△5。。中,cos/BDC-©t)+『又cos/ADB=-cosZBDC,
2\2-3t
22
E二")2-。2(3t)+(A/2).a—TzH222j_2Q不
所以2网「2/3t,可信12/MCW-8,®
在&45。中〃。=(书)2=42+。2-
1
2accosNABC,即16t2^a2+c2--ac,(^)
__Q
由①②可得Q2+9C2+2〃C=32,
R2fn-4-2q
所以32=(a+3c)2-a-3c>(a+3c)2--x()=^(a+3c)2,
口n/rg8X32匚Ll、lr164
即(。+3。)2二飞一,所以a+3c<—^.
当且仅当a=3c,即时等号成立,
所以3AB+BC的最大值为萼.
解法二:因为8=340,所以而=3方,
即丽-丽=3(瓦屋瓦5),
整理得说而疑,两边平方,
44-
f--->29----->21---->23----->---->
有BD^BA+^BC+^BABC.
1616o
所ul以]\ic9----->2+—1-B--C->2+^3-B---A-»B--C--,>
loloo
即2春对&迸29^H丽仔"
整理得32=9\BA\2+\BC\2+^BA\-\BC\,
________39
设c=|B4>|,a=|BC|,所以32=9c2+a2+-ac=(3c+a)2--ac.
.__,M9ac3-3c-a3/3c+a\^、9,3,5,
,所以x32=(3c+a)2--ac>(3c+a)2--(3c+a)2=^(3c+a)-,5P3c+a<
乙乙乙\乙J乙C_JC_J
厅-饰为当且仅当关时等号成立,所以3AB+BC的最大值为
农案.曳!
口木,5
10.(10分)在ZU5C中Q是边BC上一点dD=5MC=7.
⑴若QC=3,N3=45。,求AB-
(2)若D为BC的中点,且证明:/4DC=2N4DA
.9+2549
【解析】⑴在A4QC中4D=5MC=7QC=3,由余弦定理得cosN4OC=…乂
1
所以//£>C=120。.即ZADB^6Q0.
在AABD中40=5,/5=45。,/405=60。,
由正弦定理得鼻AB魂军得/5卓.
sin60°
(2)设BD=DC=x.
2
在AABD中,由余弦定理得cosZADB-.,
Z7XXXD
2
/上好49
在A4DC中,由余弦定理得cosZADC^-——r.
4X久XD
,_,、]LLI'I%+25-19x+25-49._
因为ZADC+ZADB^l80。,所以+=0,解得yi=1x=3,
乙人人人。乙人九人。
9+25491
所以cosN4Z)C=^所以N/DC=120°,从而//。5=60。,故/4DC=2N
ZX73XJV乙
ADB.
11.(10分)(2023•武汉模拟)在①册",②4C边上的高为竽,③sin台"这三个条
件中任选一个,补充在下面问题中并完成解答.
问题记&45C内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知4=60。产计1,.
⑴求c的值;
⑵设AD是AA2C的角平分线,求AD的长
【解析】选条件①:
(1)因为。=?1=6+1么=60。,
,222
由余弦定理彳导COS4=~
解得b=2或4-3(舍去),
所以c=b+l=3.
(2)因为AD是&45C的角平分线,所以NB4Q=30。,
a2+.2c,-2b7+9-4
cosB=——-----1-COS2B=
2ac2x^/7x3苧2
A/21J32A/715A/7
贝Usin///>8=sin(5+30o)=sin5cos30°+cosBsin30o=-^z-x—+—-x-=--.
/Z/Z14
国
由正弦定理得篙嬴编,所以/。蜷言二
14
选条件②:
(1)4。边上的高为芋,由三角形的面积公式得[S+l)-sin/1兵,
LL41
解得6=2,所以c=3.
(2)因为AC边上的高为六)=60。,
所以。=/(号)2+(2_|)2=".
因为AD是AABC的角平分线,
所以N5AD=30。,
G+c-b7+9-42j\/7
cosB=——----=---言——
2ac2x"x37
sin5=J1-COS2B=J1-:一季
贝Usin/4Z)B=sin(5+30°)=sin3cos30°+
cosBsm30°^^-x—+--x-=——.
/Z/Z14
由正弦定理得北AB
sinZ-ADB^
y/2i
ABsinB3x-_6A/3
所以3
sinZ-ADB5"5",
IT
选条件③:
(l)sin由题意可知B<C,
所以cos5=J]_sin?B=:1_49=;.
因为A+B+C^TI,
LL~A/32A/71J2i3y/2i
所以sinC=sm(Z+5)=sinAcosB+cosAsm5=^-x--+-x-.
Z/L/14
V21
由正弦定理得需l,则"p
14
解得42,所以c=3.
(2)因为AD是&43。的角平分线,所以NB4D=30。,
A/21J32A/715A/7
贝Usin/ADBusinCS+BO^nsinBcos30°+cosBsm30o=^z-x^-+---x-=--
/Z/Z14
国
由正弦定理得skJ篇所以4仁代展
14
【能力提升练】
12.(5分)顶角为36。的等腰三角形称为“黄金三角形”,黄金三角形看起来既标准
又美观.如图所示,ZU5C是黄金三角形。,作N45C的平分线交AC于点D,
易知△5Q)也是黄金三角形.若5。=1,则AB=借助黄金三角形可计算
sin234°=.
A
【解析】由题可得/4=//m=/。5。=36。,/。=/3。。=72。,所以95。64
5C7),得祟若,且AD=BD=BC=1.
设力3=4C=x,贝UC7>x-1,所以H,解得占妥(负值舍去).
J-X--L4
因为sin234o=sin(180o+54°)=-sin54°=-cos36。.在ZU5C中,根据余弦定理可得
X2+X2-1遂A/5+1
cos36°=-----2~—4,所以sin234°=-——.
2%44
区安道+1在+1
白木,-24
13.(5分)在A18C中Q为BC边上一点,且BD^CD^4D^BD,^\]tanZ5^Ccos2B
的最大值为.
【解析】解法一:在&45。中,由BD^CD得:前当店+|前,两边取模得:
|AD|2=||AB+|xc|,又/£)=皿代入得:,=|c2+,+SccosABAC,
即4a2^c2+4b2+4bccosXBAC,4(c2+Z?2-a2)-3c2+4Z?ccosNBAC=0.
由余弦定理得:8bccosXBAC-3c2+4bccosNA4C=0,即46cos/BAC=c.
再由正弦定理得:4sin5cosZBAC^sinC=sin(N5+NA40,
即4sin5cosXBAC^sinBcosXBAC+cosBsinABAC,
所以tanN5力。=3tanB,
33Tl
所以tanZBAC-cos25=3tan5cos25=^sin25与(当时,"="成立).
LL4
________丫
解法二:如图,由已知,设3。=%厕4D=x,CDf
A
工b2b
在力为中,氤嬴〜在as中
5sin(zBy4C-乙B)sin2B’
亏sinB
所以抬而xsinBcosBxsinBcosB
sin(Z-BAC-(B)sinZ-BACcosB-cos/BACsin夕
33
化间可得:tanBAC-cos5=3sin氏可得:tanNA4C・cos25=^sin2B<-
解法三:如图,分别过D,C作AB边上的高DE,CF,故DE//CF.
在^ABD中,由三线合一知BE=AE.
3
rp^DE
由DE〃CF3D=2CD得BE=2AFQE:CF=2:3,所以tanNA4Cr~=3tanB)
Ar
^BE
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 低密轻奢-宜居社区住宅建筑方案
- 废气在线设备运维管理合同
- 农业种植技术与管理题库题目及答案
- 宾馆经营装修合同
- 培训学校培训合同
- 成立分公司合同协议书
- 手车买卖购车合同
- 2024-2025学年下学期高中英语选修一第一单元B 卷
- 郑州环氧防滑坡道施工方案
- 煤气化工脱硫维修施工方案
- 【A酒店员工敬业度提升对策探究10000字(论文)】
- 人工造林项目投标方案(技术方案)
- 版NCCN直肠癌指南解读
- 全过程工程咨询服务服务质量保障方案
- 安全生产培训记录表
- (高清版)DZT 0319-2018 冶金行业绿色矿山建设规范
- 2024年湖南株洲市天元区面向社会社区专职工作者招聘笔试参考题库附带答案详解
- 高中生物学科核心素养解读课件
- 2024届江苏省苏州市八年级语文第二学期期末统考试题含解析
- 个人所得税宣贯培训课件
- 高素质农民培训认识
评论
0/150
提交评论