2025年高考数学一轮复习：课时作业三十四 高考中的解三角形问题

三十四高考中的解三角形问题

（时间：45分钟分值:85分）

【基础落实练】

1.（5分）在&45。中M5=3MC=2,cosNR4cW，点D在BC边上且40叱，

贝Usin/4DC=（）

A*B.|C<D竽

【解析】选A.在ZU5C中,由余弦定理得

BC^AB2+AC2-2ABACcos^BAC^9+4-2x3x2x1=3,

所以5C=4民所以/3G4=NMC,

所以sinZ5G4=sinZ5^4C=/1-：一之，,

4^/3

/1।］，口11E弓入'―彳、JsinN℃asin/ADC，即2返sinz.ADC,

亍

所以sinZADC^j-.

2.（5分）在&45。中角A,B,C的对边分别为a也c.若asin4+2csinC=2bsinCeosA,

则角A的最大值为（）

,n_IT_71_2IT

A-6C-3DT

【解析】选A.因为asin/+2csinC=2bsinCeosA,

由正弦定理可得a2+2c2=2Z?ccosA①,

由余弦定理可得a2=Zj2+c2-2Z?ccosA②,

222

+曰c,“会口”,b+c-a〃+2

b+3C2

由①②可得2成=属一02,所以cos4=~乙—DC一^=----乙-DC-----―4DC,

因为〃+3。222M7=2f她当且仅当b=S时取等号，所以cos金翌等，

又/金（0,九）,所以角A的最大值为看

3.（5分）在AABC中,。为边BC上一点40=6,50=3,N43C=45。,则sinNADC的

值为（）

A2+平口1+出「1+"n道

A.-§-4C4DT

【解析】选C.如图，

在博BD中，由正弦定理得总行溪而即福/5,故MAD」.

又BD<40厕ZBAD<ZABC,

故/BAD只能是锐角，故cos/R4D*

所以sin//DC=sin(ZBAD+/ABD)

=sin（ZBAD+^5°）用

4.（5分）在AABC中，已知NA4C的平分线交BC于点必且BM:MC=2：3.

若/4MB=60。厕丝产=（）

DC

A.2B.pC.y/7D.3

【解析】选C.因为4〃平分NR4C,由角平分线的性质：

2BC

所以*191，设力=2碎＞。）厕4C=3左,由正弦定理:点号①，

2

3BC

__三②

sinzCXM辿j

T

①+②可得:⑥r|可求得:sin.

~T

22

LL~/c/50fc-3BC

所以cos/B4c=1-2sm2ZBAM=--------——.

50k

根据余弦定理：出02=（2左）2+（3左）2_2*2衣3上吧=对，整理可得：5。¥.

50k7

I-..iAB+AC5k

则BC-3・

7

5.（5分）（多选题）在&45。中Q在线段48上，且/。=5,夙）=3,若CB=2CD,

cosZCDB^,^）

3

A.sinZC7）5=^

B.ZU5C的面积为8

C.ZU3C的周长为8+4更

D.AABC为钝角三角形

【解析】选BCD.由cosNC7）5=d可得

sinZCDB=Jl故A错误；

2

设CD=x,CB=2x,在ACBD中，由余弦定理，可得人-尺合Q-I~-Y=-4r1

整理可得,5%2-2、由-15=0,解得，即CD=F,CB=2p,

所出△AB/△BC/S△逆43x存等存5*存等=8,故B正确;

222222

CB+BD-CDCB+AB-AC20+9-520+64-AC

由余弦定理，可知cosB=一脚居，解得

2CBBD2CBAB2x3x22x8x2非

AC=2巡，故AABC的周长为/5+4。+。5=8+2&+2"=8+4&,故C正确；

由余弦定理，可得cos/心-27黑工T＜。，故为钝角，故D正确•

6.（5分）已知ZU5C为锐角三角形刀£分别为ABAC的中点，且⑺上成则cos

A的取值范围是（）

1

A即B.

「4

【解析】选D.如图，设ZU3c的内角A,B,C所对的边分别为。也c,设CD,BE交于

点G,连接AG并延长交BC于点凡则F为BC的中点,

由CZUBE,可得b6守0|凡

373\2/1\231

亏.在中,-2x-a--a-cosNAFB,

/G=aXF4乙,乙cJ2=b\乙a)J+(ya乙)乙

31

在ZUC/中，/=(|a)+仇)-2x-a--a-cosAAFC,

因为NAFC+N/Fgi,所以上面两式相加得。2+左=5比

因为&18。为锐角三角形，所以a2+62>c2,62+c2>q2,c2+q2>b2,可得3於>283〃>2册,

2

EI2b3J6bJ6

则别吟nn<La

°CJJLz乙

又cos小二:'"+可，+々能+J弓当且仅当b=c时取等号，

设片目《考），则刖=5在目,1）上单调递减，在（1，/上单调递增.

COL«J4

因为媚）=/$片，白cosA<^~.

7.（5分）在AABC中,/5=60。48=2〃是5。的中点MM=2避厕心,

cos/MAC=.

【解析】在中,由余弦定理得A^AB^B^-T.BM-BA-cosB,

1

即12=4+6册-25Mx2X],解得akU4(负值舍去)，所以BC=2BM=2CM=8,

1

在AABC中,由余弦定理得5=4+64-2*2*8*h52,

所以42H

.人AC2+AM2-MC252+12-162闻

在AWC中,由余弦XE理得cosNMK-2WC—2X2TX23F

―,—2A/39

答案：2声

8.（5分）已知在A45C中，内角A,B,C的对边分别为a也c,若a2^b2+c2-bc,a^3,^]

^ABC的周长的最大值为.

【解析】因为。2=〃+。21。,所以bc^b2+c2-a2,

22?

r-r-rib+c-a1

所以COS4A—2bcW

因为/£（0,兀）,所以力三.

方法一:因为a=3,

所以由正弦定理得高^^273.

2

所以b=2psin3,c=2/sinC,

则a+b+c=3+2^/3sin5+2^/3sinC

=3+2/sin5+2^/3sin(^-5)

=3+3/sin5+3cos5=3+6sin(5+1),

因为左(0号,所以当例时，周长取得最大值9.

方法二:因为4=3,

所以由余弦定理得9^b2+c2-bc,

所以(b+c)2-3bc=9,

所以(b+c)2-9=3bcS3•(”一尸，

所以(6+c)2g36,

因为b+c>0,所以0<b+cS6,当且仅当b=c时取“=”，

所以日计经9,所以&45C的周长最大值为9.

答案：9

9.(5分)(2022•全国甲卷)已知ZU5C中，点D在边5c上，

AC

/4。5=120。4)=2,。。=2四.当右取得最小值时00=.

【解析】设8=2皿=2加>0厕在AA8。中，

AB2^BD2+AD2-2BD-ADcosZADB^+A+lm,

在ZUCD中H。=。。2+4£)2_28/£>cosN/DC=4加2+4-4加，

24m2+4-4/2714(m+4+2m)-12(1+m)1212r—

所以-------q-------2—-—-―-4------------>4--=4-2^3,

ABm+4+2mm+4+2mm+1+__2J(m+1).—

当且仅当加+1高,即m=Rl时等号成立.所以当言取得最小值时，出”退-L

A

BDC

答案

【加练备选】

已知D是A45C边4C上一点，且CD=3AD,BD=退,C4S/48。二则3AB+BC的

最大值为.

【解析】解法一:设小曰,则8=30。=书，

AABC内角A,B,C所对边分别为a,b,c,

在ZU5。中,cosNADB=_3—,

在△5。。中,cos/BDC-©t)+『又cos/ADB=-cosZBDC,

2\2-3t

22

E二")2-。2(3t)+(A/2).a—TzH222j_2Q不

所以2网「2/3t，可信12/MCW-8,®

在&45。中〃。=(书)2=42+。2-

1

2accosNABC,即16t2^a2+c2--ac,(^)

__Q

由①②可得Q2+9C2+2〃C=32,

R2fn-4-2q

所以32=(a+3c)2-a-3c>(a+3c)2--x()=^(a+3c)2,

口n/rg8X32匚Ll、lr164

即(。+3。)2二飞一，所以a+3c<—^.

当且仅当a=3c,即时等号成立，

所以3AB+BC的最大值为萼.

解法二:因为8=340,所以而=3方，

即丽-丽=3(瓦屋瓦5),

整理得说而疑，两边平方，

44-

f--->29----->21---->23----->---->

有BD^BA+^BC+^BABC.

1616o

所ul以]\ic9----->2+—1-B--C->2+^3-B---A-»B--C--,>

loloo

即2春对&迸29^H丽仔"

整理得32=9\BA\2+\BC\2+^BA\-\BC\,

________39

设c=|B4>|,a=|BC|,所以32=9c2+a2+-ac=(3c+a)2--ac.

.__,M9ac3-3c-a3/3c+a\^、9,3,5,

，所以x32=(3c+a)2--ac>(3c+a)2--(3c+a)2=^(3c+a)-,5P3c+a<

乙乙乙\乙J乙C_JC_J

厅-饰为当且仅当关时等号成立，所以3AB+BC的最大值为

农案.曳！

口木，5

10.(10分)在ZU5C中Q是边BC上一点dD=5MC=7.

⑴若QC=3,N3=45。,求AB-

(2)若D为BC的中点，且证明:/4DC=2N4DA

.9+2549

【解析】⑴在A4QC中4D=5MC=7QC=3,由余弦定理得cosN4OC=…乂

1

所以//£>C=120。.即ZADB^6Q0.

在AABD中40=5,/5=45。,/405=60。,

由正弦定理得鼻AB魂军得/5卓.

sin60°

(2)设BD=DC=x.

2

在AABD中,由余弦定理得cosZADB-.,

Z7XXXD

2

/上好49

在A4DC中,由余弦定理得cosZADC^-——r.

4X久XD

,_,、］LLI'I%+25-19x+25-49._

因为ZADC+ZADB^l80。,所以+=0,解得yi=1x=3,

乙人人人。乙人九人。

9+25491

所以cosN4Z)C=^所以N/DC=120°,从而//。5=60。,故/4DC=2N

ZX73XJV乙

ADB.

11.(10分)(2023•武汉模拟)在①册"，②4C边上的高为竽，③sin台"这三个条

件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答.

问题记&45C内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知4=60。产计1,.

⑴求c的值；

⑵设AD是AA2C的角平分线，求AD的长

【解析】选条件①：

(1)因为。=?1=6+1么=60。，

,222

由余弦定理彳导COS4=~

解得b=2或4-3(舍去),

所以c=b+l=3.

(2)因为AD是&45C的角平分线，所以NB4Q=30。,

a2+.2c,-2b7+9-4

cosB=——-----1-COS2B=

2ac2x^/7x3苧2

A/21J32A/715A/7

贝Usin///>8=sin(5+30o)=sin5cos30°+cosBsin30o=-^z-x—+—-x-=--.

/Z/Z14

国

由正弦定理得篙嬴编,所以/。蜷言二

14

选条件②:

(1)4。边上的高为芋，由三角形的面积公式得［S+l)-sin/1兵,

LL41

解得6=2,所以c=3.

(2)因为AC边上的高为六)=60。,

所以。=/(号)2+(2_|)2=".

因为AD是AABC的角平分线，

所以N5AD=30。,

G+c-b7+9-42j\/7

cosB=——----=---言——

2ac2x"x37

sin5=J1-COS2B=J1-：一季

贝Usin/4Z)B=sin(5+30°)=sin3cos30°+

cosBsm30°^^-x—+--x-=——.

/Z/Z14

由正弦定理得北AB

sinZ-ADB^

y/2i

ABsinB3x-_6A/3

所以3

sinZ-ADB5"5",

IT

选条件③:

（l）sin由题意可知B<C,

所以cos5=J]_sin?B=：1_49=；.

因为A+B+C^TI,

LL~A/32A/71J2i3y/2i

所以sinC=sm(Z+5)=sinAcosB+cosAsm5=^-x--+-x-.

Z/L/14

V21

由正弦定理得需l，则"p

14

解得42,所以c=3.

(2)因为AD是&43。的角平分线，所以NB4D=30。，

A/21J32A/715A/7

贝Usin/ADBusinCS+BO^nsinBcos30°+cosBsm30o=^z-x^-+---x-=--

/Z/Z14

国

由正弦定理得skJ篇所以4仁代展

14

【能力提升练】

12.（5分）顶角为36。的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来既标准

又美观.如图所示,ZU5C是黄金三角形。，作N45C的平分线交AC于点D,

易知△5Q）也是黄金三角形.若5。=1,则AB=借助黄金三角形可计算

sin234°=.

A

【解析】由题可得/4=//m=/。5。=36。,/。=/3。。=72。,所以95。64

5C7),得祟若，且AD=BD=BC=1.

设力3=4C=x,贝UC7>x-1,所以H，解得占妥(负值舍去).

J-X--L4

因为sin234o=sin(180o+54°)=-sin54°=-cos36。.在ZU5C中，根据余弦定理可得

X2+X2-1遂A/5+1

cos36°=-----2~—4，所以sin234°=-——.

2%44

区安道+1在+1

白木,-24

13.(5分)在A18C中Q为BC边上一点，且BD^CD^4D^BD,^\]tanZ5^Ccos2B

的最大值为.

【解析】解法一：在&45。中，由BD^CD得:前当店+|前,两边取模得:

|AD|2=||AB+|xc|，又/£)=皿代入得:，=|c2+，+SccosABAC,

即4a2^c2+4b2+4bccosXBAC,4(c2+Z?2-a2)-3c2+4Z?ccosNBAC=0.

由余弦定理得：8bccosXBAC-3c2+4bccosNA4C=0,即46cos/BAC=c.

再由正弦定理得:4sin5cosZBAC^sinC=sin(N5+NA40,

即4sin5cosXBAC^sinBcosXBAC+cosBsinABAC,

所以tanN5力。=3tanB,

33Tl

所以tanZBAC-cos25=3tan5cos25=^sin25与(当时,"="成立).

LL4

________丫

解法二:如图，由已知，设3。=%厕4D=x,CDf

A

工b2b

在力为中，氤嬴〜在as中

5sin(zBy4C-乙B)sin2B’

亏sinB

所以抬而xsinBcosBxsinBcosB

sin(Z-BAC-(B)sinZ-BACcosB-cos/BACsin夕

33

化间可得:tanBAC-cos5=3sin氏可得:tanNA4C・cos25=^sin2B<-

解法三:如图，分别过D,C作AB边上的高DE,CF,故DE//CF.

在^ABD中,由三线合一知BE=AE.

3

rp^DE

由DE〃CF3D=2CD得BE=2AFQE:CF=2:3,所以tanNA4Cr~=3tanB)

Ar

^BE