2025年中考数学复习之尺规作图

2025年中考数学复习热搜题速递之尺规作图

选择题（共10小题）

1.如图，在△ABC中，AB^AC,分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E,F,

作直线ER。为8C的中点，M为直线所上任意一点.若2C=4,△ABC面积为10,则BM+ATO长

度的最小值为（）

A.-B.3C.4D.5

2

2.数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，己知直线/和/外一点P,用直尺和圆规作直线尸。,

使于点Q.”分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是（）

P

3.如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明NA，O'Bf=NAOB的依据是（

D.ASA

4.如图，已知nAOBC的顶点。（0,0）,A（-1,2）,点3在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O

1

为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA,08于点。，E；②分别以点。，E为圆心，大于的

长为半径作弧，两弧在/A08内交于点F；③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为（）

C.(3-V5,2)D.(V5-2,2)

5.如图，依据尺规作图的痕迹，计算Na=)

A.56°B.68°C.28°D.34°

6.如图，点C在/AO8的边上，用尺规作出了NBCN=/AOC,作图痕迹中，弧FG是（）

B.以点C为圆心，为半径的弧

C.以点E为圆心，为半径的弧

D.以点E为圆心，0M为半径的弧

7.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出/A'O'B'=NAOB的依据是（）

A

与q

0cjB(yCJB'

A.(SAS)B.CSSS)C.(ASA)D.(A4S)

8.下列尺规作图，能判断A。是AABC边上的高是()

旷

A.'。B..

AA

\

C.BDCD.BC

9.如图，用尺规作图作/A0C=NA02的第一步是以点。为圆心,以任意长为半径画弧①，分别交

08于点E、F,那么第二步的作图痕迹②的作法是()

上

A.以点尸为圆心，。£长为半径画弧

B.以点尸为圆心，M长为半径画弧

C.以点E为圆心，0E长为半径画弧

D.以点E为圆心，长为半径画弧

10.如图，已知△ABC,AB<BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC,则下列选项

正确的是()

A々

填空题（共5小题）

11.如图，在一张长为8c7W,宽为6c7W的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5c"2的等腰三角形（要求：等

腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）.则剪下的等腰三角形的

面积为cm2.

12.如图，已知是一个锐角，以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交。加、ON于点A、B,

1_

再分别以点A、8为圆心，大于亍48长为半径画弧，两弧交于点C,画射线OC.过点A作AO〃ON,

交射线OC于点D,过点D作DELOC,交ON于点E.设OA=10,DE=U,贝UsinZMON

13.下列语句是有关几何作图的叙述.

①以O为圆心作弧；②延长射线A8到点C；③作/A。'使/AOB=N1；④作直线AB,使AB=a；

⑤过三角形48c的顶点C作它的对边AB的平行线.其中正确的有.（填序号即可）

14.下列语句表示的图形是（只填序号）

①过点。的三条直线与另条一直线分别相交于点8、C、O三点：.

②以直线A2上一点。为顶点，在直线的同侧画NAOC和.

③过。点的一条直线和以。为端点两条射线与另一条直线分别相交于点8、C、。三点：

<4

rA

AOBB/

(1)⑵A)

15.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A,C均落在格点上，点8在网格线上,

且AB=|.

(I)线段AC的长等于.

(II)以BC为直径的半圆与边AC相交于点。，若尸，。分别为边AC,8C上的动点，当BP+尸。取得

最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P,Q,并简要说明点P,。的位置是如

16.如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作NCAE=/ACB,在射线AE上截取AO=BC,连接CD

并证明：CD//AB(尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法)

R

17.如图，O。的直径A2=10,弦AC=8,连接2C.

(1)尺规作图：作弦CD,使C£)=BC(点。不与8重合)，连接A。；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)所作的图中，求四边形ABC。的周长.

18.如图，已知△ABC,AC>A8,ZC=45°.请用尺规作图法，在AC边上求作一点P,使/PBC=45°.（保

留作图痕迹，不写作法，答案不唯一）

19.如图，在四边形A8CZ）中，ZB=ZC=90°,AB>CD,AD=AB+CD.

（1）利用尺规作NAOC的平分线。E,交BC于点E,连接AE（保留作图痕迹，不写作法）;

（2）在（1）的条件下，

①证明：AE1DE；

②若CD=2,AB=4,点N分别是AE,上的动点，求BM+MN的最小值.

20.如图，2。是菱形的对角线，NCBD=75°,

（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线ER垂足为E,交A。于R（不要求写作法，保留作图痕

迹）

（2）在（1）条件下，连接BR求/。2尸的度数.

AB

2025年中考数学复习热搜题速递之尺规作图（2024年7月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.如图，在△A3C中，AB=AC,分别以点A、8为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E,F,

作直线ER。为8C的中点，〃为直线所上任意一点.若BC=4,△ABC面积为10,则长

度的最小值为（）

5

A.-B.3C.4D.5

2

【考点】作图一基本作图；轴对称-最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质.

【专题】作图题；三角形；几何直观.

【答案】D

【分析】由基本作图得到得垂直平分A8,则所以连接MA、DA,

如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD,再利用等腰三角形的性质得到ADA.BC,

然后利用三角形面积公式计算出AD即可.

【解答】解：由作法得EF垂直平分AB,

：.BM+MD=MA+MD,

连接减1、DA,如图，

,：MA+MD^AD（当且仅当M点在A。上时取等号），

J.MA+MD的最小值为AD,

\'AB=AC,。点为的中点，

：.AD±BC,

1

VSAABC=^BCMD=10,

10x2

：.AD==5,

4

：.BM+MD长度的最小值为5.

故选：D.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等

于已知角；作已知线段的垂直平分线；作己知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等

腰三角形的性质.

2.数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，己知直线/和/外一点P,用直尺和圆规作直线P。,

使尸。于点分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是（）

【考点】作图一基本作图.

【答案】A

【分析】A、根据作法无法判定尸Q，/；

B,以尸为圆心大于尸到直线/的距离为半径画弧，交直线/,于两点，再以两点为圆心，大于它们的

长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断；

C、根据直径所对的圆周角等于90°作出判断；

D,根据全等三角形的判定和性质即可作出判断.

【解答】解：根据分析可知，

选项B、C、D都能够得到PQM于点。；选项A不能够得到于点Q.

故选：A.

【点评】此题主要考查了过直线外以及过直线上一点作已知直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解题

关键.

3.如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明/A'O'B'=/A08的依据是（

【考点】作图一基本作图；全等三角形的判定.

【答案】B

【分析】由作法易得。。=。'D',OC=O'C,CD=CO',根据SSS可得到三角形全等.

【解答】解：由作法易得。。=O'D',OC=O'C,CD=C，依据SSS可判定△CO。附△C。'。，

得到/A'O'B'=ZAOB.

故选：B.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理.

4.如图，已知nAOBC的顶点。（0,0）,A（-1,2）,点3在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O

1

为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边。4,于点E-,②分别以点£>,E为圆心，大于的

长为半径作弧，两弧在/A08内交于点F；③作射线。凡交边AC于点G,则点G的坐标为（）

【考点】作图一基本作图；坐标与图形性质；平行四边形的性质.

【专题】多边形与平行四边形.

【答案】A

【分析】依据勾股定理即可得到Rt^AOH中,A0=V5,依据/AGO=/AOG,即可得到AG=AO=V5,

进而得出司7=逐一1,可得G(遥一1,2).

【解答】解：•.•□A08C的顶点。(0,0),A(-1,2),

：.AH^1,80=2,

.•.RtZSOH中，AO=Vl2+22=V5,

由题可得，。/平分/AO8,

ZAOG=ZEOG,

又：AG〃OE,

ZAGO^ZEOG,

：.ZAGO^ZAOG,

：.AG=AO=V5,

：.HG=V5-1,

：.G(V5-1,2),

【点评】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图

形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法

和规律.

5.如图，依据尺规作图的痕迹，计算Na=()

C

68=

B

A.56°B.68°C.28°D.34°

【考点】作图一基本作图.

【专题】作图题.

【答案】A

【分析】先根据矩形的性质得出AO〃BC,故可得出ND4C的度数，由角平分线的定义求出/EA尸的

度数,再由所是线段AC的垂直平分线得出NA所的度数,根据三角形内角和定理得出NA小的度数，

进而可得出结论.

【解答】解：：四边形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

.•.ZDAC=ZACB=68°.

;由作法可知，AF是/ZMC的平分线，

1

：.ZEAF=^ZDAC=34°.

・・,由作法可知，后方是线段AC的垂直平分线，

ZAEF=90°,

：.ZAFE=90°-34°=56°,

：.Za=56°.

故选：A.

【点评】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键.

6.如图，点。在NAQB的边上，用尺规作出了N5CN=NA0C,作图痕迹中，弧尸G是（）

A.以点。为圆心，0。为半径的弧

B.以点C为圆心，0M为半径的弧

C.以点E为圆心，。。为半径的弧

D.以点E为圆心，0M为半径的弧

【考点】作图一基本作图.

【答案】D

【分析】运用作一个角等于已知角可得答案.

【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧网?是以点E为圆心，0M为半径的弧.

故选：D.

【点评】本题主要考查了作图-基本作图，解题的关键是熟习作一个角等于已知角的方法.

7.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出NA'O'B'的依据是（）

【考点】作图一基本作图；全等三角形的判定与性质.

【专题】作图题；几何直观.

【答案】B

【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是

运用SSS,答案可得.

【解答】解：作图的步骤：

①以。为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点D、C；

②任意作一点。'，作射线。,牙，以为圆心，0C长为半径画弧，交。B'于点C'；

③以C'为圆心，C。长为半径画弧，交前弧于点。'；

④过点。'作射线A'.

所以/A'O'B'就是与NAOB相等的角；

作图完毕.

在△OCD与△O'CD',

‘oc=0'C'

-OD=O'D'，

.CD=CD'

.,.△OCD^AO/CD'(SSS),

.•.NA'O'B'=NAOB,

显然运用的判定方法是sss.

故选：B.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握

三角形全等的性质是正确解答本题的关键.

8.下列尺规作图，能判断是△ABC边上的高是（）

A52,

【考点】作图一基本作图.

【答案】B

【分析】过点A作8c的垂线，垂足为。，则即为所求.

【解答】解：过点A作8C的垂线，垂足为。，

故选：B.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几

何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本

性质把复杂作图拆解成基本作图

9.如图，用尺规作图作的第一步是以点。为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交0A、

0B于点E、F,那么第二步的作图痕迹②的作法是（

工

②

0B

A.以点尸为圆心,0E长为半径画弧

B.以点尸为圆心,EF长为半径画弧

C.以点E为圆心,OE长为半径画弧

D.以点E为圆心,所长为半径画弧

【考点】作图一基本作图.

【答案】D

【分析】根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论.

【解答】解：用尺规作图作/4。。=/4?2的第一步是以点。为圆心，以任意长为半径画弧①，分别

交。40B于点及F,

第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，所长为半径画弧.

故选：D.

【点评】本题考查的是作图-基本作图，熟知作一个角等于已知角的步骤是解答此题的关键.

10.如图，已知△ABC,AB<BC,用尺规作图的方法在3c上取一点尸，使得B4+PC=BC,则下列选项

C.Bp

【考点】作图一复杂作图.

【答案】D

【分析】由PB+PC=BC和PA+PC^BC易得根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在

的垂直平分线上，于是可判断。选项正确.

【解答】解：•..PB+PC=BC,

而PA+PC^BC,

：.PA=PB,

；.点尸在A8的垂直平分线上，

即点尸为AB的垂直平分线与BC的交点.

故选：D.

【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形

的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把

复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

二.填空题（共5小题）

11.如图，在一张长为8。1，宽为的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5。根的等腰三角形（要求：等

腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）.则剪下的等腰三角形的

25

面积为二~或或10

【考点】作图一应用与设计作图.

【专题】计算题；压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分（1）腰长在矩形相邻的两边上，（2）一腰在矩形的

宽上，（3）一腰在矩形的长上，三种情况讨论.（1）为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解

即可；（2）先利用勾股定理求出AE边上的高再代入面积公式求解；（3）先求出AE边上的高。R

再代入面积公式求解.

【解答】解：分三种情况计算：

（1）当AE=AF=5厘米时，

D,------------,0

：.SAAEF=^AE'AF=|X5X5=竽厘米2,

(2)当AE=EF=5厘米时，如图

BF=y/EF2-BE2=7s2-12=2痛厘米，

2

.".SAAEF=^AE-BF=1X5X2V6=5访®米,

(3)当AE=EP=5厘米时，如图

DF=VEF2-DE2=V52-32=4厘米，

:.SAAEF=^AE-DF=1X5X4=10厘米2.

25

故答案为：3■或5遍或10.

【点评】本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况

讨论.

12.如图，已知NMON是一个锐角，以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交。加、ON于点A、B,

再分别以点A、B为圆心，大于今48长为半径画弧，两弧交于点C,画射线OC.过点A作AD〃ON,

24

交射线OC于点。，过点。作。EJ_OC,交ON于点E.设。4=10,DE=12,则sin/MON=1.

【考点】作图一复杂作图；解直角三角形；平行线的性质；角平分线的性质.

【专题】作图题；应用意识.

【答案】见试题解答内容

【分析】如图，连接。5,过点。作于首先证明四边形495。是菱形，解直角三角形求

出即可解决问题.

【解答】解：如图，连接08,过点。作DHL0N于

由作图可知，ZAOD=ZDOE,OA=OB,

9：AD//EO,

：.NAD0=/D0E,

・•・ZAOD=ZADO,

：.AO=AD,

：.AD=0B,AD//0Bf

・・・四边形A08D是菱形，

：.OB=BD=OA=10fBD//0A,

：.ZM0N=ZDBE,NB0D=NBD0,

•:DE10D,

：.ZBOD+ZDEO=90°,ZODB+ZBDE=90°,

NBDE=/BED,

：.BD=BE=10,

：.OE=2OB=209

：.0D=yJOE2-DE2=V202-122=16,

'：DHLOE,

.ODDE_16x12_48

・・""=EO=20=~5~f

nH4824

sinZMON=sinZDBH=噩=击=克.

故答案为二.

【点评】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质，角平分线的定义，菱形的判定和性质，解直角三角

形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

13.下列语句是有关几何作图的叙述.

①以。为圆心作弧；②延长射线48到点C；③作NA0B,使④作直线48,使4B=a；

⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边48的平行线.其中正确的有③⑤.（填序号即可）

【考点】作图一尺规作图的定义.

【答案】见试题解答内容

【分析】①根据确定圆的两个条件：圆心和半径判断即可；

②根据射线的性质判断即可；

③根据基本作图：作一个角等于已知角判断即可；

④根据直线的性质判断即可；

⑤根据平行公理判断即可.

【解答】解：①以。为圆心作弧可以画出无数条弧，因为半径不固定，所以叙述错误；

②射线是由A向B向无限延伸，所以叙述错误；

③根据作一个角等于已知角的作法，可以作一个角/A02,使NAOB等于已知N1,所以叙述正确；

④直线可以向两方无限延伸，所以叙述错误；

⑤根据平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可以过三角形ABC的顶点C作它

的对边A8的平行线，所以叙述正确.

所以正确的有③⑤.

故答案为：③⑤.

【点评】本题考查作图-尺规作图的定义，涉及到直线、射线及圆、角、平行线的知识，属于基础题,

注意掌握射线只能反方向延长，直线不能延长，确定圆有两个条件：圆心和半径.

14.下列语句表示的图形是（只填序号）

①过点。的三条直线与另条一直线分别相交于点8、C、。三点：（3）.

②以直线AB上一点。为顶点，在直线A8的同侧画/AOC和⑵.

③过。点的一条直线和以。为端点两条射线与另一条直线分别相交于点8、C、。三点：⑴.

(1)⑵

【考点】作图一尺规作图的定义.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】图(1)为过点。有两条射线oc、OD,一条直线A8；图(2)为以直线A8上一点。为顶点，

在直线的同侧画NAOC和图(3)为过点。的三条直线AB、0C,。。与另一条直线分别

相交于点3、C、D三点.根据语句及图形特征进行选择.

【解答】解：①过点。的三条直线与另一条直线分别相交于点8、C、。三点的图形为(3)；

②以直线上一点。为顶点，在直线的同侧画/AOC和的图形为(2)；

③过。点的一条直线和以。为端点两条射线与另一条直线分别相交于点8、C、。三点的图形为(1).

故答案为：(3),(2),(1).

【点评】本题考查了尺规作图的定义.关键是理解语句，确定相应的图形.

15.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△A8C的顶点A,C均落在格点上，点8在网格线上，

且AB=|.

(I)线段AC的长等于

(II)以BC为直径的半圆与边AC相交于点。，若尸，。分别为边AC,8c上的动点，当BP+尸。取得

最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P,Q,并简要说明点P,。的位置是如

何找到的(不要求证明)取格点M,N,连接MN,连接BD并延长，与MN相交于点B,连接当

C,与半圆相交于点E,连接2E,与AC相交于点P,连接露P并延长，与BC相交于点点则点P,

。即为所求.

【考点】作图一复杂作图；轴对称-最短路线问题；勾股定理；圆周角定理.

【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力.

【答案】(I)线段AC的长等于g；

(II)连接3。并延长，与相交于点8',连接"C,与半圆相交于点E,连接BE,与AC相交

于点P,连接夕P并延长，与BC相交于点°,则点P,。即为所求.

【分析】(I)利用网格根据勾股定理即可求出线段AC的长；

(II)取格点M,N,连接MN,连接8。并延长，与相交于点夕，连接夕C,与半圆相交于点

E,连接BE,与AC相交于点P,连接8'P并延长，与BC相交于点。，即可得点P,Q.

(II)如图，：点A,C是2X3网格的格点，

...取2X3网格的格点N,M',N',连接MN,M'N',

即将AC平移至和N','

：.MN//AC//M'N',

连接8。并延长，与MN相交于点8,，

连接夕C,与半圆相交于点E,连接BE,

与AC相交于点P,连接夕尸并延长，与8C相交于点。

则点尸，。即为所求.

是直径，

：.ZBDC^90°,

,JMN//AC//M'N,

：.BD±MN,BDVM'N',

:.BD=B'D,

.•.点2、点正关于AC对称，

：.BP=B'P,

：.BP+PQ=B'P+PQ=B'Q最短.

【点评】本题考查了作图-复杂作图、勾股定理、圆周角定理、轴对称-最短路线问题，解决本题的关

键是掌握轴对称性质.

三.解答题(共5小题)

16.如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作NCAE=NAC8,在射线AE上截取AD=BC,连接CD,

并证明：CZ)〃4B(尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法)

【考点】作图一尺规作图的定义.

【答案】见试题解答内容

【分析】利用尺规作/CAE=NAC8即可，先证明△ACD0△C48,再证明CZ)〃48即可.

【解答】解：图象如图所示，

,：ZEAC^ZACB,

：.AD//CB,

'：AD=BC,NDAC=/ACB,AC^CA,

：.AACD^ACAB(SAS),

ZACD^ZCAB,

：.AB//CD.

【点评】本题考查尺规作图、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用尺规作一个角等

于已知角，属于基础题，中考常考题型.

17.如图，OO的直径42=10,弦AC=8,连接BC.

(1)尺规作图：作弦C£),使CO=BC(点。不与8重合)，连接A。；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)所作的图中，求四边形A8C。的周长.

c

【考点】作图一复杂作图.

【专题】作图题.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）以C为圆心，为半径画弧，交OO于D,线段。即为所求.

（2）连接BZ）,0c交于点E,设。£=无，构建方程求出x即可解决问题.

【解答】解：（1）如图，线段8即为所求.

(2)连接BO,0c交于点E,设OE=x.

:AB是直径，

AZACB=90°,

.,.BC=y/AB2—AC2=V102—82=6,

,:BC=CD,

：.BC=CD,

：.OC±BD^-E.

:.BE=DE,

•：BE1=BC2-EC2=OB2-OE2,

62-(5-x)2=52-x2,

解得

■:BE=DE,BO=OA,

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：.AD=2OE=^f

四边形ABCD的周长=6+6+10+-g-=5.

【点评】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数,

构建方程解决问题.

18.如图，已知△ABGAOAB,NC=45°.请用尺规作图法，在AC边上求作一点P,使NPBC=45°.（保

留作图痕迹，不写作法，答案不唯一）

【考点】作图一基本作图.

【专题】作图题；尺规作图；几何直观.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P,使NPBC=45°即可，或作

BC的垂直平分线交AC于点P

【解答】解：如图，点尸即为所求.

【点评】本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法.

19.如图，在四边形ABC。中，ZB=ZC=90°,AB>CD,AD=AB+CD.

（1）利用尺规作NAOC的平分线。E,交BC于点E,连接AE（保留作图痕迹，不写作法）;

（2）在（1）的条件下，

①证明：AE1DE；

②若CD=2,AB=4,点N分别是AE,AB上的动点，求BM+MN的最小值.

AB

【考点】作图一基本作图；轴对称-最短路线问题.

【专题】多边形与平行四边形.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）利用尺规作出NAOC的角平分线即可；

（2）①延长。E交的延长线于尸.只要证明AO=ARDE=EF,利用等腰三角形三线合一的性质

即可解决问题；

②作点B关于AE的对称点K,连接EK,作KH1AB于H,DG1AB于G.连接MK.由MB=MK,

推出根据垂线段最短可知：当K、M,N共线，且与KH重合时，KM+MV的值最

小，最小值为K”的长；

【解答】解：（1）如图，NAOC的平分线。E如图所示.

(2)①解法一：在D4上截取。G=CD,连接GE,

由(1)知NGDE=/CDE,

又DE=DE,

:.4GDE沿4CDE,

：.ZDGE=ZC=90°,ZDEC=ZDEG,

在△AGE和△ABE中，

ZAGE=ZABE=90°,

而AO=AG+OG=AB+CDDG=CD,

：.AG=ABf

又AE=AEf

ARtAAEG^RtAAEB

・•・ZAEG=NAEB,

：.NDEG+/AEG=ZDEC+ZAEB=90°,

即NAE0=9O°,故AE_LDE

解法二：延长。E交AB的延长线于?

9

：CD//AFf

：.ZCDE=ZF,*.*ZCDE=NADE,

ZADF=NF,

：.AD=AF,

,

：AD=AB^-CD=AB+BFf

:・CD=BF,

'：ZDEC=ZBEF,

:•△DEgdFEB,

，DE=EF,

VAZ)=AF,

：.AE±DE.

②作点8关于AE的对称点K,连接EK,作KH,A3于"，OGLAB于G.连接MK.

VAD=AF,DE=EFf

・・・AE平分NDAR贝UZXAEK丝△AE8,

：.AK=AB=4f

在RtZXAOG中，DG=yjAD2-AG2=4A/2,

最小值为的长,

【点评】本题考查作图-基本作图，轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和

性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短

问题，属于中考常考题型.

20.如图，8。是菱形ABCD的对角线，ZCBD=15°,

(1)请用尺规作图法，作AB的垂直平分线ER垂足为E,交于长(不要求写作法，保留作图痕

迹)

(2)在(1)条件下，连接BR求/。2尸的度数.

DC

AB

【考点】作图一基本作图；线段垂直平分线的性质；菱形的性质.

【专题】多边形与平行四边形.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于，48长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可;

（2）根据NA8/计算即可；

【解答】解：（1）如图所示，直线斯即为所求；

(2):四边形ABC。是菱形，

1

ZABD=ZDBC=^ZABC=75°,DC//AB,NA=NC.

ZABC=150°,ZABC+ZC=180°,

・・・NC=NA=30°,

•・•斯垂直平分线段AB

：.AF=FB,

：.ZA=ZFBA=30°,

・•・ZDBF=ZABD-ZFBE=45°.

【点评】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活

运用所学知识解决问题，属于常考题型.

考点卡片

1.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到X轴的距离与纵坐标有关，到y

轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符

号.

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问

题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题.

2.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.

定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

3.全等三角形的判定

(1)判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.

(2)判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.

(3)判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.

(4)判定定理4：A4S--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

(5)判定定理5：，辽--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应

相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹

边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.

4.全等三角形的判定与性质

(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，

关键是选择恰当的判定条件.

(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角

形.

5.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有

时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，...c

在NAOB的平分线上，CDYOA,CEL