江苏省南通市联盟2025届新高三暑期学习（全国普通高考调研模拟测试）数学试题（含答案解析）

江苏省南通市名校联盟2025届新高三暑期学习（全国普通高考

调研模拟测试）数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若集合4=｛加2Ml=1,加ec｝,1=｛〃+训仍=0｝,则4cB的元素个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.已知荔=（1,2,-2）,%=[-；,0,1；则点3到直线/C的距离为（）

A.72B.V3C.2D.3

3.设。>0,函数/（x）=2/+a与直线了=加交于点48.若曲线y=f（x）与x轴上方（不

含x轴）的正三角形N3C的两条边相切，则。的取值范围为（）

A.[o,|jB.C.D.鼻+"

4.现有一份由连续正整数（可重复）组成的样本，其容量为加，满足上四分位数为28,第

80百分位数为30,则m的最小值为（）

A.24B.25C.28D.29

5.在递增数列｛%｝中，sin（%）=cosQ+J.已知S"表示｛%｝前〃项和的最小值，

6

则sin（S9）=（）

A.-B.且C.--D.一心

2222

6.在锐角V48c中，已知sin（2/+C）=2sinC-sin8,则3,C的大小关系为（）

A.B>CB.B=CC.B<CD.无法确定

7.已知标准椭圆上P,0两点的切线方程分别为2x+昌-1=0,273x+y-l=0,则直线

尸。的斜率为（）

A.V3B.-73C.2D.-2

8.若满足〃x）=加一加+c20（c>0）在[Y,C]上恒成立的.唯一，则整数6的值为（）

A.3B.±3C.4D.±4

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.已知V48c的外接圆圆心在NC边上，内切圆半径为百-1,且N=2C.设。为NC边

上动点，将沿8。向上翻折，得到四面体NBCD,记为M,其体积为匕贝!I（）

A.VABC的外接圆面积为4兀

B.M不可能是正三棱锥

C.M的外接球球心不可能在其棱上

D.k取最大值时，\AD\<\CD\

io.已知抛物线r：『=4无的焦点为尸，尸为「上一动点.过产且斜率大于o的直线与「交于

不同的两点4B,且满足|//|>忸尸APLBP.则下列说法错误的是（）

A.直线的倾斜角大于60。

B.若附=4,则2|/典=6|48|+2忸川

C.点P可能在第一象限

D.直线网的横截距不可能是-1

11.已知函数=-办,记时/（X）的极值点为（〃eN*且4,的值均不

同）.则下列说法错误的是（）

A.满足/（X）有唯一零点的。唯一B.无论。取何值，/（x）都没有过原点的切线

n

C.右再=%，则%%<e~‘D.右x"+]=eX",则（尤—1

i=l

三、填空题

12.已知复数z=（z+i）（z-i）,若应•=z2,则机=.

13.甲和乙玩小游戏测试他们的默契度.在一轮游戏中，他们各写下一个三位数，分别记为

/和瓦当以下任一条件成立时，他们“不默契”，否则“心有灵犀”：

①/、3中相同的数字少于两个（如147和289）

②4、3中相同的数字不少于两个，但不都在相同的数位上（如147和174）

根据以上内容判断：在本轮游戏中，甲和乙“心有灵犀”的概率为.

14.给定一种有穷正整数列的延伸机制E,如图所示：

试卷第2页，共4页

|i

CT1,2^1,2,…=1,2,1,1,2,1,1,1,2…

It

记2,3,5经自延伸后得到的无穷数列为｛册｝,则。2024=

四、解答题

15.俱乐部是具有某种相同兴趣的人进行社会交际、文化娱乐等活动的团体和场所.一些顶

尖的俱乐部不仅对会员的要求非常严苛,加入也要经过现任会员邀请并接受资格测试和对个

人素养、社会地位等的综合考察.研究人员通过模型预测某俱乐部标准资格测试的参试成绩

(总计100份)，绘制成下表(已知8卷难度更大)：

某俱乐部标准资格测试参试成绩预测

不及格及格良好优秀

A卷ab164

B卷201262

(1)若至少有5%的把握认为及格率与试卷难度无关，求a的最小值；

(2)在预测的40份3卷参试成绩中随机挑选3份，记不及格的份数为X

①求X的分布列及数学期望；

②人教A版选择性必修第三册第80页上写道：对于不放回抽样，当n远远小于N时...此时,

超几何分布可以用二项分布近似.近似指的是期望还是方差？试判断并说明理由.

附：八_______Mad-b"_______

其中〃=a+Z?+c+d.

(Q+b)(c+d)(〃+c)(6+d)

a0.0500.0250.0100.0050.001

Xa3.8415.0246.6357.87910.828

16.已知定义在(0,+e)上的函数/(x)=ox-lnx,g(x)=—(a^O).

(1)分别说明/(x),仪久)的单调性；

(2)若函数/(g(x))存在唯一极小值点，求。的取值范围.

试卷第3页，共4页

17.已知无限高圆柱。如图，四边形4BCD内接于其底面。O,P为其内一动点(包括

表面)，且平面P48_L平面P/D,PCLAB.

(1)是否存在点P使得直线BC1平面PCD?试判断并说明理由.

(2)若定+砺+历=6，二面角P-48-C的大小为45°,求/尸最大时直线PC与平面

所成角的余弦值.

18.已知焦点为尸的抛物线r：/=2°龙(。＞0),圆尸与r在第一象限的交点为尸，与X正,

负半轴分别交于点〃，G.直线直线PF与「的另一交点分别为N,直线与直

线PG交于点T.

⑴若忸司＜2。，证明：ZPNM＞1APMN；

(2)若。=2,求打所的取值范围.

19.小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，比如

36=2x2x3x3,74=2x37等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2,3都是6

的质因子.在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因

子.例如25的质因子只有5,而36的质因子只有2,3,所以25,36是互质的.为方便表

示，对于任意的正整数"，我们将比〃小且与〃互质的正整数的个数记为/(〃).例如，小于

10且与10互质的数有1,3,7,9,所以/(10)=4,同理有N(12)=4.

⑴求/(60),/(312)；

(2)求所有“cN*,心2,使得/(〃)是奇数;

⑶若正整数…4,其中乩,。2,…,P-表示互不相同的质数.证明:

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DCDDCADAABDAC

题号11

答案BD

1.D

【分析】通过讨论求得加2,〃+历，利用集合交集运算求出从而求出结果.

【详解】因为|加|=1,且加cC,则加=±1,或加=x+〉i,且/+必=i（y。0）,所以加2=1,

或加2=—>2+2封,

因为白6=0,贝!J〃=0或6=0,当QWO,6=0时，a+bi=a,当a=0,6w0时，a+bi=bi,

当a=0且6=0时，〃+Z?i=0,

当。=1,且6=0,加2=],贝+历=1=加2,

当。二一1,且6=0,工=0/=±1时，冽?,贝ijQ+从=加2=-1

fX2-y2=0c

*+”2—]

2

当〈，即Q+bi=bi=77?=i,或〃+bi=bi=m=-if

b=2xy

a=0

综上ZnB={-i},所以/cB的元素个数为4

故选：D

2.C

【分析】由坐标运算求出国，|就I，AB-AC^进而求出cos（在,就），再求得方在％方

向上的投影，然后即可求出点2到直线NC的距离.

【详解】因为方=（1,2,-2）,^C=f-1,O,1L

所以网=Jl+4+4=3,园=g+0+

A8-l4C=lx^-1^+2xO+(-2)xl=-|,

I~TD~Tr^\-4B•4C_V?

COS(\AB,AC1)—,\-A---B-q\\1-A---C--q\—3

；方,%）=3xj一";一百

所以方在就方向上的投影为，在卜＜«

答案第1页，共25页

所以点2到直线ZC的距离为J通=顾与=2.

故选：C.

3.D

【分析】先设出各点的坐标，然后根据导数列出方程，最后通过点C在x轴上方得到取值范

由于43都在直线了=机上，故平行于尤轴，再由/(x)是偶函数，可设/(w,2/+a),

B{u,2u2+a).

据已知可得3c是y=f(x)的切线，故/'(“)=LBc=tan4!8C=tan6(r=业.

所以由/'(x)=4x可知4a=#,Skw=~^~,从而B+a'

33

令

得

++XOQ所以

由于心C=G,故8C的方程为＞=石X-三8----8-

从而根据已知条件，点在x轴上方，这就说明命题等价于

3

故所求取值范L围是。＞友

O

故选：D.

4.D

【分析】根据百分位数定义，结合已知分析各项对应加值，可得答案.

3

【详解】对于A,若样本容量的最小值为24,则24x：=18,24x0.8=19.2,

4

则第18,19个数据的平均数应为28,第20个数据应为30,

答案第2页，共25页

由再,马,…,X”是连续的正整数，显然不符合情况，故A错误；

3

对于B,若样本容量的最小值为25,贝U25x—=18.75,25x0.8=20,

4

则第19个数据应为28,第20,21个数据均为30,

由再,马,…,x”是连续的正整数，矛盾，故B错误；

对于C,若样本容量的最小值为28,贝Ij28x==21,28x0.8=22.4,

4

则第21,22个数据均为28,第23个数据应为30,

由玉,马,…,x,是连续的正整数，矛盾，故C错误；

3

对于D,若样本容量的最小值为29,则干x—=21.75,29x0.8=23.2,

4

则第22个数据应为28,则第24个数据应为30,所以第23个数据应该是29,符合题意，故

D正确；

故选：D.

5.C

【分析】由题意依次确定数列的前9项的值，结合三角函数诱导公式，即可得答案.

【详解】由题意在递增数列｛册｝中，%==，sin(4)=cos(a,%+i),

6

则cos(aH+1)=sin(a,),故cos(%)=sin(%)=g,

7T57r7T

则a2=§+2而，左cZ或％=—+2hi,keZ,结合题意取出=~；

C7C]]兀

又cos(%)=sin(?)—，贝U。3=W+2配k£Z或%=——■H2%兀,左£Z,

结合题意取的=”11ir；

6

[27r4兀

同理cos(Q4)=sin')=-,，则。4=-^~+2标,左£2或&=—+2kR,kGZ,

2兀

结合题意取&=2兀，

同理cos(%)=sin(%)—~~，贝U%=k+2桁，左£Z或%=——H2左兀,keZ,

11IT

结合题意取生=岑+2兀，

6

[27r4兀

同理cos。)=sin(%)=,则4=~^-+2hr,左£Z或％=—+2kn,,

2兀11IT27r11jr

结合题意取〃6=--------F4兀，同理可得。7=---------F4兀，“8=---------F6兀，。9=----------F6兀,

3636

答案第3页，共25页

故｛册｝前9项和的最小值5=3+?+[y+24+]詈2,+(g

59K»

=------b24兀

6

可得sin(S)=-；,

故选：C

6.A

【分析】根据给定条件，利用诱导公式及和差角的正弦公式化简，再利用正弦定理边化角及

余弦定理推理即得.

【详解】在锐角VN8C中，由sin(2N+C)=2sinC-sin8,得

sin(兀+A-B)=2sin(兀-A-B)-sinBf

贝ljsin(5—4)=2sin(Z+B)—sinB,整理得

sinBcosA-cosBsinA=2sinBcosA+2cosBsinA-sinB,

于是sinB=sin3cos/+3cosBsin/,由正弦定理得6=6cos/+3acos5,

由余弦定理得6=———+a-a+C———+2acosB=c+2acosB，jTucosB>0,

2bc2ac

因此b〉c,所以8>C.

故选：A

7.D

【分析】设椭圆方程为加/+加>o,〃>o,机w”)，分别联立直线方程，根据判别式联

立求解可得％〃，然后求出P,Q坐标可得斜率.

【详解】设椭圆方程为如？+4=1(天>0,〃>0,>,尸(再，必),0卜2，%),

g„>.[2x+-\/3y—1=0lsI,,z„f3),栏m

联乂〈,,消去X得加+"炉----my+——]=。①,

\mx+ny=\(4)24

贝=3加之一冽=3m-mn+4〃=0(2),

414A4J

联立„丁二。消去>得(加+i2”)/-4折x+〃-l=0③,

\mx+ny=1

则A=48H2一4(冽+12〃)(〃-1)=4m-4mn+48«=0④,

联立②④解得加=16〃=4,

答案第4页，共25页

代入①得16y2-8百歹+3=0,解得必=,所以/=+；=g，

代入③得64--16，5x+3=0,解得所以％=J，

84

j__V|

所以kp°=}\=-2.

T-8

故选：D

8.A

【分析】用特殊值法来进行判断函数恒等问题，不妨设。=1,

/(x)=ax3-bx+lj\x)=3ax2-b,分类讨论判断。/范围进行求解.

【详解】不妨设c=l,f(x)=ax3-bx+\.f'［x)=i，ax1-b,

对于A,b—3,f(x)=ax3-3x+lJ'(x)=3"-3=3(#-1),

满足/'(x)=加一3》+1zo在［-1,1］上恒成立的a唯一,

当aVO时，/(x)<0,y(x)在［-1,1］上单调递减，贝1/⑴=。-3+120,即0»2,与aVO矛

盾；

当。>0时，令/(x)=0,得x=±JI；

Va

若、口■Al,即0<441,有/(x)<0J(x)在［T1］上单调递减，贝1］/(1)=。一3+金0,即。22,

Va

与0<。41矛盾;

若」上<1,即”>1,/(x)>0J(x)在-1,-^—,,-1上单

Va

调递增;

€卜忧,/'。)<0,〃》)在工€上单调递减;

+l>0,f(^)=-2.；

于(—1)——u+3+1=—a+4,/(—'1+1,/(1)="3+1="2

a

-a+4>0

可知/-2-+l>0解得。=4,符合题意，A正确;

Va

a-2>0

答案第5页，共25页

对于B,b=±3,当b=3时成立,只需验证b=—3/(%)=ax3+3x+l,/,(x)=3ax2+3=3(ax2+1)

当。20时，/(x)>0,/(x)a［-l,l］上单调递增，贝=一"3+120,即aV-2,与此0

矛盾;

-1

当。<0时，令/(x)=0,得x=±.

a

若匚与，即找一1,有/(x)>0J(x)在［-1,1］上单调递增，则〃-1)=一"3+1N0,即

Va

a<-2,可知。不唯一，B错误；

对于C,D,b=4,f[x)=ax3-4x+l,fr(x)=3ax2-4,

满足“Hu4一©〉/。在［一1』上恒成立的.唯一,

则当aWO时，/(可<0,/(尤)在［-1,1］上单调递减，贝IJ〃1)="4+1N0,即/3,与aWO

矛盾;

当a>0时，令/'(月=0,得》=±2.

若2」h,即0<aV。，有/(x)<0J(x)在［-M］上单调递减,

V3a3

4

贝||/(1)=。一4+120,即。23,与矛盾;

11

若即xeT，-2，"。2后一1,/(x)>0J(x)在

3a3a

T,-2；,21上单调递增;

V3aY3a3

f'(%)<0,/口)在工€

f(—1)——a+4+1=—ci+5,

f(Y)=a—4+l=a—3；

—u+520

可知<解得ae0,不符合题意，C,D错误;

a-3>0

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查不等式恒成立问题，解答的关键是要结合选项，分类讨论，验

答案第6页，共25页

证选项中的参数值是否符合题意.

9.ABD

JTTT

【分析】先根据条件解出V/8C是44=冷，/C=2的直角三角形，算出边长，判断A；再

根据是等边三角形时，CO#CB,判断B；再取40=1,将翻折到/。。=今

时，BC中点是〃■的外接球球心，判断C；最后将△48。翻折到平面平面3CD时，

过八作„皿,计算展有最大值时。点的位置判断D.

IT

【详解】V/BC的外接圆圆心在4C边上，则VABC是48=5为直角的直角三角形，/C中

点。是V/BC的外接圆圆心，

TTTT

又A=2C,则ZC=~,

36

设AB=a,BC=6a,AC=2a,内切圆半径为百-1,

—

可得SAABC=5（a++1j——<2,y/3ct,即q=2.

A

VN2C的外接圆半径r=二2,面积为兀X22=4TI,故A

2

B区------------------

正确.

若W是正三棱锥，则△N8O一定是等腰三角形，又NN=g，即AABD是等边三角形，

此时。点与。点重合，△A8D为正三棱锥”的底面，

而侧棱COwCB,所以M不可能是正三棱锥，故B正确.

取=1,将4ABD翻折到NCAD4时，

A

，c;A

此时CZ）=C/-AD=3,CA=y）CD2-AD2=272-

BD=ylBC2+CD2-2BC-CD-cosZBCD=5BD2+CD2=13C2,

答案第7页，共25页

TT

即/助C=/A4C=—,取8C中点为N,

2

则NB=NC=9C=ND=NA,N是M的外接球球心，故C错误.

以3为原点，BC，曲为x轴，>轴正方向建立平面直角坐标系，

则2（0,0）,C（2A/3,0）,4（0,2）,设。（2行一后,/）（0<t<2）,

将沿2。向上翻折，当平面48。，平面BCD时，A点到底面BCD的距离最大,

过A作NK_LAD,则NK为四面体”一3。的高,

直线&D方程为笈-0（2一万=0,

S、BCD=；X25,

设g(1)=-2「+9〃一1即+12(0</<2),g,(/)=-6(/2一3f+3)<0,

则g（。在（0,2）上单调递减,

又g⑴=1>0,g(1.2)=-0.096<0,

一定存在(1,1.2),使g&)=-21+9/；-lM+12=0,且/'(%)=0,

(-/+2%)

>0,所以当小（0,%）时，/'（。>0,/⑺递增;

当小（乐2）时，递减;

则〃。的最大值是/&）（1<%<L2）.

答案第8页，共25页

因此当。点更靠近A点，/>1时，/=2775有最大值,

即％取最大值时，\AD\<\CD\,故D正确.

故选：ABD.

10.AC

【分析】设直线N5方程为无=少+中>0),尸(/,20),代入方.而=o找出。与f的关系

式p=T土"3。，判断AC；根据抛物线的几何性质判断B；最后取〃(-1,0),假设直

线与抛物线「交于点8,计算/判断D.

直线AS过尸且斜率大于0,设直线AS方程为x=(y+l«>0),2®1+1,必),8(优+1,

联立/=4x,化简得/-的-4=0,

由韦达定理M+%=4f,y,y2=-4,

设尸(p\2p),莎.尸8=®+1-*(仇+l-p2)+(必-2p)(脸L20)=0,

24

卜+1)+(一加--2/?+?)(y1+_v2)+/>+2/?-+l=0,

代入韦达定理得p4+(2-4t2)p2-8tp-3=(p2+2tp+3)(p2-2tp-l)=0,

又点P不在直线N8上，贝！骁+1,即只有/+2勿+3=0,

当⑵『-4x320,即此G时，有实数解。「2/±J(2--4x3="户飞<0,

且存在点尸，

又p2>0,2p<0,则点尸(7A2p)在第四象限,故C错误.

设直线48的斜率为左，贝U左=,直线的倾斜角小于等于30。，故A错误.

答案第9页，共25页

若|尸尸1=4,贝I]p2+1=4,p=芯,

代入p-+2tp+3=0,解得t=V3，

2M刊-2忸口|=2（研+1+1）-2（优+1+1）=2]%一%）

=2/。+%丫-4%%=2^（4/）2-4x（-4）=8Z#+1=16^3,

百MM=6[（W[+1+1）+（优+1+1）]=百[/（必+%）+町=百（7-4/+4）=16g

所以2卜村一2庐刊=608],即2MH=6|AB|+2即故B正确.

取〃则直线9的直线方程为

2P

联立/=4x,化简得/一^£1±^夕+4=0,

p

42

方程其中一个根为点。纵坐标2〃，则另一根为丁二一,

2PP

4-1

1工

若另一根为点5纵坐标，则5,此;时,=与——i-r

P?'P

——02P

P

代入方程/+2勿+3=0无解，所以尸4与尸5无法垂直,

则不存在这样过H(-l,0)的直线尸8,即直线尸8的横截距不可能是-1,故D正确.

故选：AC.

11.BD

【分析】对于A,可分类讨论/(x)的零点个数，从而证明结论；对于B,直接给出a=e作

为反例即可；

对于C,构造函数证明对0<x<e有〃(e+x)>为(e-x),其中"(尤)=(，然后利用无⑺的

单调性即可；对于D,直接说明f(x,)40即可.

【详解】设g(x)=e，-x,贝！|g[x)=e*—l,故对x<0有g'(x)=e，一1<0,对x>0有

g,(x)=e%-l>0.

所以g(x)在(-8,0)上递减，在(0,+8)上递增，从而g(x)2g(O)=l,即e-X+1.

我们有/'(x)=a1n。-。=aln”J],故对x<log“」+l有

IIn。JInez

答案第10页，共25页

/，(%)=qInq(qXT---—|<0,对x>log+1有f'(x}=a\na\ax~x...-j>0.

VInqJ"Ina<IntzJ

所以/(%)在卜。，10gqT1+1)上递减，在卜g°0+L上递增.

1ln(lnfl),故X"1-*1

从而/(%)有极小值点t=loga」一+1=1-logq(In力=

In(7InaInan

由于g(x)Nl,故

iInQiInQiIna1

ln(lna)亡+l也「I

t=l——_'-=\----?——=l+——1-------=1+

]naInaInae

若/⑺<0,此时/'(0)=l>0,而e'2x+l>x,故对x>0有

、

4a

所以/t+>—Ina>0.

(lna)「(2

4Q

这就表明f(x)在(O,f)和t,t+上各有一个零点，从而/(x)至少有两个零点;

(In。)；

若/(。=0,则根据/(x)的单调性，知/'(x)存在唯一的零点工=/.

对于A,当l<a<e时，有/=1-1nl^1>1_1nl1nli=1,所以/(。〈/(。=。，从而/(x)至

InaIna

少有两个零点；

当a>e时，有/=1_她0<1_幽0=1,所以/«)</(1)=0,从而〃x)至少有两个

\naIn。

零点；

当a=e时，有/=1_与叱=1一凶£1=1,所以/⑺=/■⑴=0,从而/(x)存在唯一的

]naIna

零点x=t.

这就表明当且仅当q=e时，/(X)的零点唯一，故A正确;

对于B,由于当a=e时，/(x)在(1,0)处的切线y=0过原点，故B错误;

In(出％)ln(lna1)_ln(lna2)

对于C,右再二马,由于％=1—px-

Ina,InqIna2

答案第11页，共25页

设〃(x)=(，贝U"(x)=^^,故对0<x<e有/(x)=^1^>0,对x>e有

7“、1-lnx_

h\x)=——--<0.

所以无(无)在(O,e)上递增，在(e,+s)上递减.

由已知有力。〃2，故可不妨设。1<。2，而〃(ln〃i)=/z(lna2)，故。<In4<e<In。?.

/、/、/、l-ln(e+x)l-ln(e-x)

再设9(x)=〃(e+x—"(e-x,则d(x)="(e+x)+〃(e_x)=\———「，且

(e+x)(e-x)

/、21n(e+x)-32In(e-x)-3

(P(町二一——---------——--

e+x)3e-x

1l-61n(e+x)11-6ln(e-x)

<p"(x)=

(e+x)4(er『

而对0<x<e有

〃，/、1l-61n(e+x)ll-61n(e-x)ll-61n(2e)1l-61n(e)5-6In25

9(x)=/\41/74-/?41/74~U-+774>0+0=0

(e+x)(e-x)(e+x)(e-x)(e+x)(e-x)

所以夕〃(x)在［0,e)上递增,从而对0<%<e有在(％)>9〃(。)=0；

所以“(%)在［0,e)上递增，从而对0<x<e有。'(x)>"(0)=0；

所以？(%)在［0,e)上递增，从而对0<x<e有夕(x)〉°(0)=0,gp/z(e+x)>/z(e-x).

从而有〃(ln〃2)=〃(ln%)=<〃(e+(e-ln%))=〃(2e_lnq).

根据九(%)的单调性,知In4<2e-ln%,故In%+Ing<2e.

所以〃1%=/(叫)=«山q+3<e?e,故C正确；

对于D,根据前面的讨论，恒有成立，所以〃/)40«=1,2,

这就得到力山)(力=0<e〃-1,故D错误.

Z=1Z=1

故选：BD.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造的函数并研究其单调性，方可解决相应问题.

12.-1

【分析】利用求根公式求出z,然后根据复数运算求解可得.

答案第12页，共25页

【详解】由z=(2+0(z-i)得z2-z+l=0,由求根公式得z=*m=L±"i,

222

当2=工+"［时,-1

z=—

2222

V

(1

—F」+乌

2[22

所以切=二=722=4，

Z165

---------1

2222

班.

=1z=-------i时,Z=—H--------1，

2222

、2

r1

-------------11

222J二-，

所以机=1=―1

Z

-+—i

2222

综上，m=—\.

故答案为：-1

13.—/0.03

100

【分析】先分析/=123时，甲和乙“心有灵犀”的概率，然后根据互斥事件的概率加法公式

可得.

【详解】由题知，当/、3中至少有两个数字相同，且在相同数位上时，甲和乙“心有灵犀”.

不妨记4=123,当/、2中有三个数字相同时，B有1种情况；

当N、8中只有两个数字相同时，

若百位和十位相同，8有9种情况，

若百位和个位相同，3有9种情况，

若十位和个位相同，B有8种情况，

所以，当/、8中只有两个个数字相同时，3有9+9+8=26种情况.

综上，当/=123时，3有1+26=27种情况使得甲和乙“心有灵犀”.

因为三位数共有900个，

177

所以当/=123时，甲和乙“心有灵犀”的概率为-X—,

又因为甲写出每一个三位数且甲和乙“心有灵犀”的事件互斥，

例如：事件”/=123且甲和乙“心有灵犀””和事件"/=112且甲和乙“心有灵犀””互斥.

,1?73

所以，甲和乙“心有灵犀”的概率为900.

答案第13页，共25页

_3

故答案为：—.

14.3

【分析】先分析第"个连续的2,3,5串的长度，用等比数列工具求解，然后再利用相应结果

得到答案.

【详解】记第〃个连续的2,3,5串的长度分别是〃"上，叱，则%=匕=%=1,

%+i=2（"“一1）+3

“用=3（v,T）+5.

w“+i=5（叱-1）+2

%=2%+1台（3、

从而,“+1=3%+2,即"“+[+1=2（/+1）,v„+1+l=3（v„+l）,w„+1--=5l

"+1=5%-3

根据等比数列知识，得到〃“=2"-1,匕=2-3"--1,吗==2.

由于〃]+匕+/+〃2+%+叱+%+匕+吗+〃4++%+〃5+%+必+〃6+匕+%+〃7

=1+1+1+3+5+2+7+17+7+15+53+32+31+161+157+63+485+782+127

=1950<2024,

%+W+%+/+%+叫+〃3+匕+%+〃4++%+〃5+"5+%+〃6+"6+唳+%+V7

=1+1+1+3+5+2+7+17+7+15+53+32+31+161+157+63+485+782+127+1457

=3407>2024.

所以。2024=3.

故答案为：3.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用合适的工具分析问题，以及对新定义的理解.

15.（1）19；

（2）①分布列见解析，E（X）=]；②方差，理由见解析.

【分析】（1）根据表格数据写成列联表，解不等式/<3.841即可；

（2）①根据超几何分布概率公式求概率即可得分布列，再由期望公式求期望；

②根据超几何分布和二项分布的关系进行分析可得.

【详解】（1）根据表中数据得2x2列联表：

答案第14页，共25页

不及格及格合计

A卷a60-。60

B卷202040

合计a+2080—a100

零假设为4:及格率与试卷难度无关.

由题知，*=1。。［2。”20（60一汨

<3.841,

60x40（a+20）（80-a）

整理得1692.184/-101531.04。+1292505.6＜0,

解得18.3＜。＜41.7,

依题意知，aeN,所以。的最小值为19.

（2）①在预测的40份8卷参试成绩中，不及格和及格各20份,

由题知，X的可能取值有01,2,3,

尸（x=o）=*=^Hx=i）=安10

5。^4026,

P（X=2）=等=2,P（X=3）=等k3

5o/05o26

得X的分布列为:

X0123

310103

P

26262626

所以E（X）=0xa+lx”

②当n远远小于N时,超几何分布与二项分布近似指的是方差，

由①知，若进行放回抽样，则X〜8卜,£|,E（X）=3X；=|,

放回抽样和不放回抽样期望相等，所以近似指的是方程.

当〃远远小于N时，每次抽取后对N的影响非常小，此时放回与不放回对概率影响可以忽

略不计，

所以，此时超几何分布与二项分布近似.

答案第15页，共25页

16.(1)答案见解析

一］

(2)-,+e

【分析】(1)分别求出函数/(x),g(x)导数，再对。分类讨论，利用导数与单调性的关系

即可求解；

(2)令尸⑴=/(g(x))=9r+lnx(分0),求出尸(x)的导函数，对“进行分类讨论，由

函数/'(g(x))存在唯一极小值点，即可求得“的取值范围.

【详解】(1)由题可得：/(%)=«--=—(x>0),

XX

当a<0时，/'(外<0在(0,+功上恒成立，所以/'(x)在(0,+功上单调递减；

当。>0时，令/'(x)<0,解得：0<x<-,令/'(x)>0,解得：x>~,

aa

所以/(X)在［0,，)上单调递减；在上单调递增，

综上，当a<0时/㈤在(0,+8)上单调递减;

当a>0时，/(X)在(0,£|上单调递减；在上单调递增；

由题可得：g，(x)=e”T)(x>0),

令g'(x)<0,解得：0<x<l,令gQ0>0,解得：x>l,

所以g(x)在(0,1)上单调递减；在(1,+8)上单调递增

(2)令尸(%)=