2023年北京市初三二模数学试题汇编：旋转变换

第1页/共1页2023北京初三二模数学汇编旋转变换一、单选题1．（2023·北京房山·统考二模）下列图形中，点O是该图形的对称中心的是（

）A． B． C． D．二、解答题2．（2023·北京朝阳·统考二模）在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．

(1)根据题意补全图形，并证明：；(2)过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．3．（2023·北京东城·统考二模）已知线段是的弦，点在直线上．对于弦和点，给出如下定义：若将弦绕点逆时针旋转得到线段，恰好也是的弦，则称弦关于点中心映射，点叫做映射中心，叫做映射角度．

(1)如图1，点是等边的中心，作交于点．在三点中，弦关于点_________中心胦射；(2)如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，的角平分线交轴于点．若与线段相交所得的弦关于点中心映射，直接写出的半径的取值范围；(3)在平面直角坐标系中，的半径为2，线段是的弦．对于每一条弦，都有相应的点，使得弦关于点中心映射，且映射角度为．设点到点的距离为，直接写出的取值范围．4．（2023·北京顺义·统考二模）已知：，，分别是射线，上的点，连接，以点为旋转中心，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，连接，．(1)如图1，当时，求证：；

(2)当时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

5．（2023·北京西城·统考二模）如图，在中，边绕点B顺时针旋转（）得到线段，边绕点C逆时针旋转得到线段，连接，点F是的中点．

(1)以点F为对称中心，作点C关于点F的对称点G，连接．①依题意补全图形，并证明；②求证：；(2)若，且于H，直接写出用等式表示的与的数量关系．

参考答案1．B【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．【详解】解：A、图形绕点O旋转72度与自身重合，点O是旋转中心，故此选项不符合题意；B、图形绕点O旋转181度与自身重合，是中心对称图形，点O是对称中心，故此选项符合题意；C、图形绕点O旋转120度与自身重合，点O是旋转中心，故此选项不符合题意；D、图形绕点O旋转72度与自身重合，点O是旋转中心，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是图形绕某点，旋转180度后与自身重合．这点叫该图形的对称中心．2．(1)补全图形见解析，证明见解析；(2)，证明见解析．【分析】（1）根据旋转的方向和角度补全图形，再根据已知和旋转的性质求出，，进而可得结论；（2）作于点M，与直线交于点N，利用证明，可得，，然后求出，可得，再利用证明即可．【详解】（1）补全的图形如图所示：

证明：∵，∴，由旋转的性质可知，即，∴；（2）；证明：如图，作于点M，与直线交于点N，

∴，由旋转的性质可知，由（1）可知，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵∴，∴，，∴，∴．【点睛】本题考查了画旋转图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，能够作出合适的辅助线构造出全等三角形是解题的关键．3．(1)A(2)(3)【分析】（1）根据题干中心映射的定义与旋转方向，判断弦是否仍在上．确定只有点A符合题意．（2）讨论与线段相交成弦的范围，根据角平分线定理与比例性质求解．（3）考虑到对称性与不失一般，将H点设在x轴上，方便得出d的取值范围．【详解】（1）根据中心映射的定义，若将弦绕点逆时针旋转得到线段，恰好也是的弦，则称弦关于点中心映射，点叫做映射中心．由于是等边三角形，因此直线绕A点逆时针旋转，可使弦落在弦上．但直线绕B点、C点逆时针旋转后，弦无法与再相交成弦．故只有点A符合映射中心的条件，如下图．

（2）如下图，的角平分线交轴于点，过D作，垂足为G．

则与线段EF相交所得的弦关于点E中心映射，此时的半径r的取值范围是．在中，平分，过D作x轴的平行线，与EF交于H，则，又，所以，则．由得，，所以即，。在直角三角形OEF中，．∴，解得．∵，∴在直角与直角相似．∴，即．因此，．所以，的半径r的取值范围是．即．（3）考虑到对称性与不失一般性，为了研究问题的方便，设弦绕点H逆时针旋转得到线段，恰好也是的弦，且与交于x轴，见下图．

作与交于点F，再过F作的平行线，是的切线．则满足条件的弦最大为直径，最小应大于0，所以，．当O与H重合时，，此时弦为直径；当H与E重合时，，此时弦长度为0．故d的取值范围是：．由已知条件知．又因，故．在直角中，，则．故d的取值范围是：．【点睛】本题考察了图形旋转、角平分线性质、含30°角的直角三角形等相关知识点，深入细致审题是解本题的关键．4．(1)证明见解析(2)作图见解析，数量关系：，证明见解析【分析】（1）根据旋转的性质可得是等边三角形，证明，可得，从而得证；（1）依题意补全图2，如图；数量关系：．在上截取，使，连接，根据旋转的性质可得是等边三角形，证明，可得，，然后证明是等边三角形，从而可证明结论．【详解】（1）证明：∵线段绕着点逆时针旋转得到，∴，，∴是等边三角形，∴，，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．（2）依题意补全图2，如图．数量关系：．证明：在上截取，使，连接，∵线段绕着点逆时针旋转得到，∴，，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴．

【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角所对的直角边等于斜边的一半，四边形的内角和为，等角的补角相等．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．5．(1)①补全图形见解析，证明见解析；②见解析(2)【分析】（1）①依题意补全图形如图所示，先证明，推出，然后结合旋转的性质可得结论；②根据对称的性质可证明，可得结论；（2）连接，如图，根据等边三角形的性质结合（1）②的结论可得是等边三角形，可得，再根据等边三角形的性质、30度角的直角三角形的性质以及三角函数即可得出结论．【详解】（1）①依题意补全图形如图所示：证明：∵点F是的中点，∴，∵点C关于点F的对称点为G，∴，又∵，∴，∴，由旋转的性质可得：，∴；

②证明：∵点C关于点F的对称点为G，∴，∵，∴，∴；（2）解：连接，如