七年级数学下册专项训练：平行线的性质（一题三变系列）（解析版）

专题03平行线的性质-（一题三变）

【思维导图】

◎考点题型1两直线平行，同位角相等

例.（2022•全国•七年级）一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两

次拐弯的角度可能是（）

A.第一次向右拐50°,第二次向左拐130°B.第一次向右拐50°,第二次向右拐130°

C.第一次向左拐50°,第二次向左拐130°D.第一次向左拐30°,第二次向右拐30°

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意可得两直线平行则同位角相等，据此分析判断即可.

【详解】

解：•••两次拐弯后，按原来的相反方向前进，

•••两次拐弯的方向相同，形成的角是同位角，

故答案为：D

【点睛】

本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.

变式1.（2022•重庆南岸•八年级期末）如图，川电，倒。与Na互补的是（)

【答案】D

【解析】

【分析】

如图，先证明£）3=02,再证明02=€）5,可得£）a=D5,再利用邻补角的定义可得答案.

【详解】

解：如图，Q/3///4,

\Da=D2,

（H〃/2，

\02=05,

\Da=D5,

QD5+D4=180°,

\Da+D4=180°,

所以与Na互补的是£>4.

故选D

【点睛】

本题考查的是平行线的性质，邻补角的定义，掌握“两直线平行，同位角相等”是解本题的关键.

变式2.（2022•广东深圳•八年级期末）下列说法中正确的有（）

（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

（2）若/1+/2+/3=90。，则Nl,Z2,23互余；

（3）相等的两个角是对顶角；

（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【解析】

【分析】

两条平行直线被第三条直线所截时，同位角相等；两个和为90。的角互为余角；两相交线的对顶角相等;

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离.

【详解】

（1）两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，故错误；

（2）两个角的和为90。，这两个角互为余角，故错误；

（3）相等的两个角不一定是对顶角，对顶角一定相等，故错误；

（4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故错误；

故选：A.

【点睛】

本题考查了同位角，余角，对顶角以及点到直线的距离.解题的关键在于正确理解各名词的定义.

变式3.（2022・广东海丰•八年级期末）如图，AB//CD,AA=45°,ZC=30°,则NE的度数是

A.10°B.15°C.20°D.25°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平行线的性质求出关于NDOE,然后根据外角的性质求解.

【详解】

解:-：AB//CD,乙4=45°,

：.ZA=ZDOE=45°,

'：ZDOE=ZC+ZE,

又,:ZC=30°,

/.AE=ADOE-ZC=15°.

故选：B

【点睛】

本题比较简单，考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系.掌握两直线平行，内错角相等；三角

形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题关键.

◎考点题型2两直线平行，内错角相等

例.（2022•四川巴中•八年级期末）如图，直线/八为分别与A/BC的两边48、8c相交，且川区，若乙8=

35°,41=105。，则42的度数为（）

A.45°B.50°C.40°D.60°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角形内角和定理球场43的度数，利用平行线的性质求出答案.

【详解】

解：•・28=35°,41=105°,

.•.z3=180-zl-z5=40°,

—=40°,

故选：C.

A

w

【点睛】

此题考查三角形内角和定理，两直线平行内错角相等的性质，熟记三角形内角和等于180度及平行线的性

质并熟练解决问题是解题的关键.

变式1.（2021•吉林宽城•七年级期末）直线22、BC、CD、EG如图所示.若N1=N2,则下列结论错误

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平行线的判定与性质、对顶角相等逐项判断即可.

【详解】

解：•.21=42,

.■.ABWCD,故A正确，不符合题意；

.-.z4=z5,故C正确，不符合题意；

“EFB与乙3是对顶角，

.-.AEFB=^3,故B正确，

无法判断43=45,故D错误，符合题意，

故选：D.

【点睛】

本题考查平行线的判定与性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键.

变式2.（2022•广东福田•八年级期末）如图，ABIICD,BF交CD于点、E,AEA.BF,NCEF=34。，则

的度数是（）

A.34°B.66°C.56°D.46°

【答案】C

【解析】

【分析】

由余角的定义得出ZAEC的度数，由两直线平行内错角相等即可得出结论.

【详解】

解：■-AE1BF,ZCEF=34°,

■■ZAEC=90°-34°=56°,

■：ABIICD,

；•NA=NAEC=56°,

故选：C

【点睛】

本题考查了平行线的性质和余角，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

变式3.（2021•吉林净月高新技术产业开发区•七年级期末）如图，若要使1与4平行，则4绕点。至少旋转

的度数是（)

1

o

80°V

%

A.38°B.42°C.80°D.138°

【答案】A

【解析】

【分析】

根据“两直线平行，内错角相等”进行计算.

【详解】

解：如图，

汕眄，

；.UOB=〃）BC=42°,

.­.80°-42°=38°,

即//绕点。至少旋转38度才能与力平行.

故选：A.

【点睛】

考查了旋转的性质和平行线的性质，根据平行线的性质得到〃1。3=4。8。=42。是解题的关键，难度不大.

◎考点题型3两直线平行，同旁内角互补

例.（2022•云南广南•八年级期末）如图，直线4BIICD,直线48、CD被直线即所截，交点分别为点M、

点、N,若乙4回£=130。，贝I］乙，W的度数为（）

■E

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】C

【解析】

【分析】

由对顶角得到乙8初「130。，然后利用平行线的性质，即可得到答案.

【详解】

解：由题意，

“BMN与乙4ME是对顶角，

.•/BMN=UME=13Q°,

■.■AB\\CD,

■■■/^MN+Z.DNM=180°,

.•.HW=50°；

故选：C.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到的W=130。.

变式1.(2021•西藏•九年级专题练习)如图，把长方形/BCD沿环对折，若Nl=50。，则4IE尸的度数为

()

A.110°B.115°C.120°D.130°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据折叠的性质及N1=50。可求出乙8斤£的度数，再由平行线的性质即可得到乙4£斤的度数.

【详解】

解：根据折叠以及乙1=50。，得

乙BFE==KBFG=L（180°-Z1）=65°.

22

■■■ADWBC,

山£尸=180°-4BFE=M5。.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形

的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

变式2.（2021•黑龙江绥棱•七年级期末）如图，AB//CD,Zl=120°,Z2=80°,则/3的度数为（）

A.10°B.20°C.30°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】

延长CK交48于点尸，由4BIICD知Nl+—FE=180。，据此得乙〃^=60。，再根据42=43+乙4FE■可得答

案.

【详解】

解：如图，延长CE交于点R

D

■■■ABWCD,Mzl=120°,

••.zl+^7^=180°,

“尸£=180°-41=60°,

XVZ2=Z3+ZL47^,且42=80°,

••23=乙2-乙4尸£=20。，

故选：B.

【点睛】

本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补及三角形外角的性质.

变式3.（2021•黑龙江道里•七年级期末）如图，ABWCD,平分乙13C且过点。，NCD£=160。，则NC的

A.110°B.120°C.130°D.140°

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根据邻补角互补可得NC£>3=180。-160。=20。，然后再根据平行线的性质可得乙48£>=NCD2=20。,

进而得到NC2O=20。，再利用三角形内角和定理算出/C的度数.

【详解】

解：•.zCDE=160°,

.-.zCZ）S=180o-160°=20°,

■■ABWCD,

:.UBD=LCDB=2。。,

■■■BE平分ZJ8C,

:.乙CBE=UBE=20°,

.•4=180°-20°-20°=140°,

故选D

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握两直线平行和内错角相等.

◎考点题型4根据性质探究角的关系

例.（2021・江苏•宜兴市实验中学七年级阶段练习）如图：已知"=42,下列结论：①43=44；②Z3与

N5互补；③"=44；④/3=22；⑤N1与45互补，正确的有（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据平行线的判定与性质分别对每一项进行分析即可得出答案.

【详解】

解：•••Zl=Z2,

a//b,

-：Z4=Z2,

Z3=Z4,

•••N2与N5互补,

；.23与N5互补,

•••N4与N5互补，

N1与25互补；

，正确的有5个;

故选：A.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等，同旁内角互补.

变式1.（2021•安徽省安庆市外国语学校八年级开学考试）如图，ABHCD,UBE=34EBF,乙DCE=:

乙ECF,设"lBE=a,/£=£,LF=y,则a,£,y的数量关系是（）

A.4/?-a+y=360。B.36-a+y=360。

C.4/3-a-y=360°D.3夕-2a-y=360°

【答案】A

【解析】

【分析】

过E作ENUAB,过F作FQMB,根据已知条件得出乙48尸=3葭，3CF=44ECD,求出ABHENUCD,

ABHFQHCD,根据平行线的性质得出乙45E=MEN=a,乙ECD—CEN,乙45尸+乙8/0=180。，

乙DCF+NCF0=18O。，求出a+/£CD=B，3a+y+4乙DC£=360。，再求出答案即可.

【详解】

解：过.E作ENHAB,过尸作破例8,

■：Z-ABE=y/.EBF,乙DCE=g乙ECF,zABE=a,

；.UBF=3a,/JDCF=4^ECD,

-AB//CD,

.■■ABHENHCD,ABI/FQI/CD,

:.乙4BE—BEN=a,4ECD=^CEN,^ABF+^BFQ=\^0,ADCF+NCF0=180°,

；.乙ABE+乙ECD=LBEN+乙CEN=4BEC,UBF+乙BFQ+乙CFQ+乙DCF=180°+180°=360°,

即a+z£CZ)=p,3a日+4乙。。£=360。，

••・"C7)=B-a,

.­-3a+y+4(p-a)=360°,

即4|3-a+Y=360°,

故选A.

DC

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质.

变式2.（2021•陕西•陇县教学研究室七年级期末）如图，已知A8//CD,BC平分ZABE,ABED=64°,

则NC的度数是（）

A.26°B.32°C.48°D.54°

【答案】B

【解析】

【分析】

利用平行线的性质，角平分线的定义即可解决问题.

【详解】

解：；AB//CD,ABED=64°,BC平分ZABE,

ZABE=64°,NABC=ZEBC=-NABE=-x64°=32°,

22

-：AB//CD,

ZC=ZABC=32°,

故选：B.

【点睛】

本题考查平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

变式3.（2021・湖北新春•七年级期中）如图，ABWCD,zFG8=146。，FG平分乙EFD,则乙4所的度数等

)

EG

AB

F----------------D

A.34°B.68°C.46°D.92°

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据平行线的性质可得〃FG=34。，再根据角平分线的定义可得㈤*=2〃）PG=68。，然后根据平行线的

性质即可得.

【详解】

•：AB//CD,ZFGB=146°,

••・〃尸G=1800-"G5=34°,

■:FG平分乙EFD,

；/EFD=2乙DFG=68。,

又•:AB//CD,

：.AAEF=AEFD=68°,

故选：B.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键.

◎考点题型5根据性质探究求角的度数

例.（2022•广东・深圳市宝安中学（集团）八年级期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线

有关.如图，从光源尸点照射到抛物线上的光线P4P8等反射以后沿着与直线放平行的方向射出，若

ZCAP=a°,ZDBP=[3°,则N/P5的度数为()°

C.a+(3D.j(a+0

【答案】c

【解析】

【分析】

根据平行线的性质可得"PA=APAC,NEPB=NPBD,进而根据ZAPB=NAPE+ZBPE即可求解

【详解】

解：VPF//AC,PF//BD

NEPA=APAC,NEPB=ZPBD

ZAPB=NAPE+ZBPE=a+4

故选C

【点睛】

本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.

变式1.（2022•河南•郑州外国语中学八年级期末）一把直尺与一块直角三角板按下图方式摆放，若

A.52°B.53°C.54°D.63°

【答案】B

【解析】

【分析】

过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等）即可求解.

【详解】

解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线,

•••直尺的两边互相平行,

.-.Z3=Z2=37°,Zl=Z4,

.•.Z4=90°-Z3=53°,

.­lZ1=Z4=53°,

故选B.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.

变式2.（2022・四川省遂宁市第二中学校七年级期末）如图，已知直线4DII2C,2E平分442C交直线ZX4

于点E,若乙048=54。，贝亚E等于（）

A.25°B.27°C.29°D.45°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据两直线平行，内错角相等可求442c=54。，再根据角平分线的性质可求NMC=27。，再根据两直线平

行，内错角相等可求NE.

【详解】

解：•••皿山C

乙4BC=3AB=54°,/.EBC=Z.E,

■■■BE平分乙48C,

；"BC=gUBC=27°,

."=27。.

故选：B.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线，关键是求出N£8C=27。.

变式3.（2022•黑龙江香坊•七年级期末）如图，ADWBC,4c=30。，UDB：乙BDC=1：2,@2=72。,

以下四个说法：

①40）k=30°；②乙4DB=50。；

③480=22°；（4）zCW=108°

其中正确说法的个数是（）

【答案】D

【解析】

【分析】

根据NDI由C,ZC=3O°,利用内错角相等得出"DC=NC=30。，可判断①正确；根据邻补角性质可求

乙4ZXM80。-4厂。。=180。-30。=150。，根据乙乙BDC=l：2,得出方程3乙408=150。，解方程可判断②

正确；根据㈤8=72。，可求邻补角皿4加=180。-乙以2=180。-72。=108。，利用三角形内角和可求

zJ3D=180。-Z■N4D乙4。2=180。-：108。-50。=22。可判断③正确，利用ADWBC,同位角相等的

乙CBN=KDAN=108。可判断④正确即可.

【详解】

解：-ADWC,ZC=3O°,

.-.z77)C=zC=30o,故①正确;

.­.Z^Z）C=180o-zFZ）C=180o-30o=150o,

Z.ADB：Z.BDC=1：2,

；/BDC=2UDB,

•"DC=UDB+乙BDC=，4DB+2乙4DB=3乙4DB=150°,

解得乙403=50。，故②正确

,:乙EAB=12。,

.•.ZD/N=18O°j/3=180°-72°=108°,

/-ABD=\80°-^AD-1LADB=180°-108°-50°=22°,故③正确

■■■ADWBC,

；/CBN=3AN=l08°,故④正确

其中正确说法的个数是4个.

故选择D.

【点睛】

本题考查平行线性质，角的倍分，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程，掌握平行线性质，邻补角

性质，三角形内角和，一元一次方程地解题关键.

◎考点题型6性质的生活中的应用

例.（2021•山东潍坊•中考真题）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射

光线的夹角为60。，则平面镜的垂线与水平地面的夹角a的度数是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

作C®1平面镜，垂足为G,根据EF1平面镜，可得CD//M,根据水平线与底面所在直线平行，进而可得

夹角a的度数.

【详解】

解：如图，作。1平面镜，垂足为G,

・・•£尸1平面镜，

■■.CD//EF,

■■■Z-AGC=Z.CDH=a,

■■■^AGC=a,

•：AAGC=-ZAGB=-x60°=30°

22f

••・a=300.

故选：B.

【点睛】

本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG平分乙4GB.

变式1.（2021•浙江浙江•七年级期末）如图，Z402的两边均为平面反光镜，ZAOB=35°,在02

上有一点E,从£点射出一束光线经。4上的点。反射后，反射光线。C恰好与03平行，这里

NODE=NADC,则NDE8的度数是（）

A.35°B.70°C.110°D.120°

【答案】B

【解析】

【分析】

过点。作。咒L4。交于点工根据题意知，。尸是NCDE的角平分线，可得41=43；然后又由两直线

CDII08推知内错角41=42；最后由三角形的内角和定理求得乙）班的度数是70。.

【详解】

解：过点。作。尸L4O交08于点?

•・•入射角等于反射角，

•■•z.l=z3,

■■■CDWOB,

•■.zl=z2（两直线平行，内错角相等）；

.•22=乙3（等量代换）；

在MADO9中，乙ODF=90°,乙402=35。,

.•22=55。；

:.在4DEF中,3EB=180°-2z2=70°.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质.解答本题的关键是根据题意找到法线，然后由法线的性质来解答问题.

变式2.（2022•全国•七年级）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的//=120。,

第二次拐的N3=150。，第三次拐的NC,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则NC是

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】D

【解析】

【分析】

过点3作直线AD与第一次拐弯的道路平行，由题意可得44=120。，进而可得4D8C=30。，然

后问题可求解.

【详解】

解：过点8作直线3。与第一次拐弯的道路平行，如图所示：

・•・第三次拐的NC,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，

二直线BD与第三次拐弯的道路也平行，

■.■ZA=120°,

.-.ZA=ZABD=120°,NDBC+ZC=180°,

•••Z5=150o,

ZDBC=30°,

.-.ZC=150°；

故选D.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

变式3.（2021•安徽阜南•七年级期末）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气

时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，当21=45。，

A.58°,122°B.45°,68°C.45°,58°D.45°,45°

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据EGIIFH得出43的度数，再由ABHCD得出NECD的度数，根据CE||DF即可得出结论.

【详解】

解：vEGIIFH,41=45°,

.•23=41=45°.

•••ABHCD,Z2=122°,

.­.ZECD=18O°-122°=58°.

•••CEIIDF,

.­.Z4=ZECD=58°.

故选：C.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补.

◎考点题型7根据判定和性质求角度

例.（2021•北京•七年级期末）如图，点E,B,C,。在同一条直线上，ZA=/4CF,ZDCF=50°,则

4的度数是（）

A.50°B.130°C.135°D.150°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据NN=NACF推出AB//CF,求出ZABC的度数即可求出答案.

【详解】

NA=NACF,

AB//CF,

■：ZDCF=50°,

NABC=50°,

:.ZABE=130°.

故选：B.

【点睛】

此题考查了平行线的判定及性质，熟记平行线的判定定理：内错角相等两直线平行是解题的关键.

变式1.（2021・全国•七年级单元测试）如图，点。是N8上的一点，点E是NC边上的一点，且48=70。,

A.70°B.80°C.100°D.110°

【答案】B

【解析】

【分析】

先证明DE//BC,根据平行线的性质求解.

【详解】

解：因为乙8=乙4。£=70。

所以DE〃BC,

所以乙DEC+NC=180。，所以NC=80。.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟知同位角相等，两直线平行.

变式2.（2021•浙江慈溪•七年级期末）如图，若Nl=89。，Z2=91°,Z3=88°,则N4的度数是（）

h

A.88°B.89°C.91°D.92°

【答案】D

【解析】

【分析】

由N5=N1=89。，Z2=91°,可知N5+N2=180。，根据同旁内角互补，两直线平行，即可求得。〃乙；根据

两直线平行，同旁内角互补，即可求得44的度数.

【详解】

解：如图：

•••45=41=89°,42=91°,

.•25+乙2=180°,

：13H14,

.•23+26=180°,

•••43=88°,

.•26=92°,

.,Z4=N6=92°.

故选：D.

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质.解题的关键是熟练掌握平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行）与

平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）.

变式3.（2021•河南汤阴•七年级期末）如图，AB,CD,EF,MN均为直线，N2=N3=70。,

/GPC=80°,GH平分■NMGB,则Nl=（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

【答案】D

【解析】

【分析】

由42=43=70。，根据平行线的判定可得出4B//CD,则可得乙8Gp=NGPC,进而可得ABG"=100。，由G77

平■分乙MGB即可求得N1.

【详解】

Z2=Z3=70°,

ABHCD,ZBGP=NGPC,

•；/GPC=80°,

:"BGP=80°,

ZBGM=180°-/BGP=100°,

■:GH平分/MGB,

.-.Zl=-ZBGM=50°,

2

故选：D.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，补角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

◎考点题型8根据判定和性质证明

例.（2021•黑龙江・哈尔滨德强学校七年级期中）如图，点E在4D的延长线上，下列条件中能使4B//CD

的是（）

B

B.乙ADB=ACBD

C.々C=KCDED.zC+zUr>C=180°

【答案】A

【解析】

【分析】

根据平行线的判定定理分别进行分析即可.

【详解】

解：•••乙4BD=£CDB,

.-.ABWCD,故选项/符合题意；

■：^ADB=ACBD,

■■ADWBC,故选项2不合题意；

.:乙C=KCDE,

.■.ADWBC,故选项C不合题意；

•••zC+A4Z）C=180o,

■.ADWBC,故选项。不合题意，

故选/.

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内

角互补，两直线平行.

变式1.（2021•广西•南宁市第八中学七年级阶段练习）如图，给出下列条件：①一=/2；②N3=N4；

@AB\\CE,且ZADC=AB,@AB\\CE,且N2CD=N24D；其中能推出2cli4D的条件为（）

A.①②B.②④C.②③D.②③④

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平行线的判定条件逐一进行排除即可.

【详解】

解:①力=Z2,

.■.AB^CD,不符合题意；

②乙3=44,

：.BC\[AD,故符合题意；

."+42CZ）=180°,

••,UDC=cB,

.-.zS4Z）C+z5CD=180o,

.■.BCWAD,符合题意;

・"+480）=180°,

-Z-BCD=Z-BAD,

・・・48+乙胡。=180。，

：.BCUD,符合题意；

・•・能推出BCUD的条件为②③④；

故选D.

【点睛】

本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键.

变式2.（2021•山东•曹县教学研究室七年级期末）如图，在四边形48。中，若N48C+NC=180。则下

列结论正确的是（）

A.Z1=Z2B.N2=N3C.Z1=Z3D./2=，4

【答案】D

【解析】

【分析】

由四边形中N/8C+NC=180。，根据同旁内角互补两直线平行，可证得/8//0C,再根据平行线的

性质可得答案.

【详解】

解：；四边形48CD中/48C+/C=180。，

ABHDC,

Z2=Z4.

故选：D.

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，此题难度不大，注意数形结合思想的应用.

变式3.（2021•青海治多•七年级期中）如图，能判定4B//CD的是（）

A.Nl=/4B.Z1=Z3C.Z1=Z2D.N2=N3

【答案】A

【解析】

【分析】

根据两直线平行的判定定理，顺次推导就可以得到正确答案.

【详解】

解：A、/1=N4,内错角相等，ABIICD,选项正确；

B、Z1=Z3,不能判定4BIICD,故该选项错误；

C、Z1=Z2,只能说明8。是442c的角平分线，选项错误；

D、/2=/3,互为内错角，ADHBC,选项错误.

故选：A

【点睛】

本题考查的是两直线平行的判定定理，角平分线的定义、等底对等腰等知识点，根据定理内容进行判断是

解题关键.

◎考点题型9求平行线间的距离

例.（2021•全国•八年级期中）已知直线加〃力如图，下列哪条线段的长可以表示直线机与”之间的距离

)

A.只有4BB.只有/EC.48和CD均可D./E和CF均可

【答案】C

【解析】

【分析】

由平行线之间的距离的定义判定即可得解.

【详解】

解：••・从一条平行线上的任意一点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，

•••线段AB和CD都可以示直线m与n之间的距离，

故选：C.

【点睛】

本题考查了平行线之间的距离，解题的关键是熟记平行线之间的距离的概念.

变式1.（2021•辽宁建昌•八年级期中）如图，已知直线a//6〃c,直线d与直线a,b,c分别垂直，垂足是

点C,B,A.若48=2,NC=5,则直线a,6的距离是（）

毛d

A.2B.3

C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

利用线段的差计算即可.

【详解】

解：直线a//6//c,直线d与直线a,b,c分别垂直，

：.AB的长为平行线b与c的距离，AC的长为平行线a与c的距离，

直线a,b的距离是BC=AC-AB=5-2=3.

故选择B.

【点睛】

本题考查平行线间的距离，线段的和差计算，掌握平行线间的距离与线段的和差计算是解题关键.

变式2.（2021•河北•平泉市教育局教研室八年级期末）如图，在YNBCO中，AELBC,下列说法不正确的

是（）

A./E表示的是/、£两点间的距离B.4E表示的是N点到8c的距离

C.4E■表示的是4D与3c间的距离D.4E表示的是4B与CD间的距离

【答案】D

【解析】

【分析】

根据两点之间的距离，点到直线的距离，平行线之间的距离的定义进行逐一判断即可.

【详解】

解：A、/£表示的是/、E两点间的距离，正确；

B、NE表示的是/点到的距离，正确；

C、/£表示的是40与2c间的距离，正确；

D、/E表示的是/。与3C间的距离，错误.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了两点之间的距离，点到直线的距离，平行线之间的距离的定义，解题的关键在于能够熟练

掌握相关知识进行求解.

变式3.（2021・山东日照•七年级期中）已知在同一平面内，直线。，b,c互相平行，直线。与6之间的距

离是3cm,直线6与c之间的距离是5cm,那么直线。与c的距离是（）cm.A.8B.2C.8

或2D.无法确定

【答案】C

【解析】

【分析】

画出图形(1)(2),根据图形进行计算即可.

【详解】

解：有两种情况，如图：

(1)(2)

(1)直线a与c的距离是3厘米+5厘米=8厘米；

(2)直线。与c的距离是5厘米-3厘米=2厘米；

故选：C.

【点睛】

本题主要考查对平行线之间的距离的理解和掌握，能求出所有情况是解此题的关键.

◎考点题型10利用平行线间的距离解决问题

例.(2021•陕西陈仓•八年级期中)如图，在4x5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1,点。，A,B

在方格纸的格点上，在第四象限内的格点上找点C,使V/8C的面积为3,则这样的点C共有()

VA

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】

先找到一个使三角形面积为3的点，再过这个点作的平行线，可找到符合题意的格点.

【详解】

解：设点C到48的距离为九,“3=3,

・•.SV，BC=；x3x〃=3，

h=2,

又•••点C在第四象限，

二满足条件的点共有3个.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查坐标系下三角形的面积，找到一个符合条件的点，作平行线即可.

变式1.(2021•河北顺平•八年级期末)如图，四边形中，AD\\BC,NC与AD相交于点O,若S/8O=

5cm2,SQCO为()

A.5cm2B.4cm2C.3cm2D.2cm2

【答案】A

【解析】

【分析】

分别过点A、。作4E_LBC、DbLBC,根据平行线的性质可得/E=D尸，根据三角形的面积求得

'△ABO=S&DCO,即可求解.

【详解】

解：分别过点A、。作月E1,BC、DFLBC,如下图:

.•・AE=DF

^■.SAABC=-BCXAE,S.DCB=-BCXDF

•'■S&ABC=S&DCB

S&ABO=S&ABC—S&CBO，*^ADCO=^ADCB-^ACBO

••S/XABO=S△DC。-5cm

故选A

【点睛】

此题考查了平行线的性质以及三角形的面积公式，解题的关键是根据平行线的性质及三角形的面积公式推

出S4ABo=S&DCO•

变式2.（2021•浙江杭州•八年级期末）如图，mlln,ADIIBC,CD-.CF=2A.若ACE尸的面积为5,则四边形

/BCD的面积为（）

A.10B.20C.30D.不能确定

【答案】B

【解析】

【分析】

设C尸=x,加与〃之间的距离为〃，贝|CD=2x,再根据三角形的面积公式求出x/z的值，进而可得出结论.

【详解】

解：CD：CF=2：1,

・,.设CF=x,心与〃之间的距离为〃，则CD=2x,

•••△CE/的面积为5,

；CF*h=5,即yxh=5,解得xh=10,

"ADWC,

二四边形N8CD是平行四边形，

■■Sgg^ABCD=CD*h=2xh=2x10=20.

故选B.

【点睛】

本题考查的是平行线间的距离，熟知平行线间的距离处处相等是解答此题的关键.

变式3.（2021・全国•九年级专题练习）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定

点，且直线m||n；则下列说法正确的是（

A.ABHPCB.AABC的面积等于ABCP的面积

C.AC=BPD.AABC的周长等于ABCP的周长

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案.

【详解】

解:AB不一定平行于PC,A不正确；

•••平行线间的距离处处相等，

.•.△ABC的面积等于ABCP的面积，B正确；

AC不一定等于BP,C不正确；

△ABC的周长不一定等于ABCP的周长，D不正确，

故选：B.

【点睛】

本题考查平行线之间的距离；三角形的面积.解题的关键是掌握平行线的性质和判定.

◎考点题型11真假命题

例.（2021,重庆,七年级期末）下列命题是真命题的是（）

A.内错角相等

B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.相等的角是对顶角

D.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平行线的性质、垂直的判定、对顶角和平行线的判定进行判断即可.

【详解】

解：A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题；

B、在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；

C、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；

D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题；

故选：D.

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、垂直的判定、对顶角和平行线的判定.

变式1.（2021•北京市海淀区清华附中稻香湖学校七年级期末）下面命题：①同位角相等；②对顶角相

等；③若N=产，则》="④互补的角是邻补角.其中真命题有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

根据平行线的性质、对顶角、乘方的意义和邻补角判断解答即可.

【详解】

①两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；

②对顶角相等，是真命题；

③若式=/，则工=»或芯=-外原命题是假命题；

④互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题；

故选：A.

【点睛】

本题考查了命题的真假，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角、乘方的意义和邻补角，难度不大.

变式2.（2021•重庆市两江中学校七年级期中）下列命题中真命题的个数有（）

①有公共顶点且相等的两个角叫对顶角；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于

同一条直线的两条直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤直线外一点到已知直线的垂

线段就是该点到直线的距离.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】

【分析】

根据对顶角的定义（有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角）可判断①；同一平面

内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断②；平行于同一条直线的两条直线平行，根

据平行线的判定可判断③；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可判断④；直线外一

点到已知直线的垂线段长度就是该点到直线的距离，可判断⑤，综合即可得出选项.

【详解】

解：根据对顶角的定义（有公共顶点且两条边都互为反向延长线的