导数压轴专题突破-第02讲 分离参数之全分离半分离换元分离（含答案及解析）

第02讲分离参数之全分离，半分离，换元分离【典型例题】例1．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．例2．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．例3．已知函数．（Ⅰ）当时，讨论的单调性；（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围．例4．已知函数，其中．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围．【同步练习】1．设、，为自然对数的底数）．（1）若曲线在点，（1）处的切线方程为，求、的值；（2）当时，若总存在负实数，使得当时，恒成立，求实数的取值范围．2．设．（1）若（e），求时的值；（2）若，时，求的取值范围．3．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，不等式对恒成立，求的取值范围4．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．5．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围．6．已知函数．（1）若，求函数的单调区间及极值；（2）当时，函数（其中恒成立，求实数的取值范围．7．已知函数，为自然对数的底数）．（1）若在定义域内有唯一零点，求的取值范围；（2）若在，上恒成立，求的取值范围．8．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）当时，对，任意恒成立，求正整数的最大值．9．已知函数，，若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线．（Ⅰ）求，，，的值；（Ⅱ）若对于任意，都有恒成立，求的取值范围．10．设函数．（1）求的单调区间；（2）若，为整数，且当时，，求的最大值．11．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数）．求的最大值．

第02讲分离参数之全分离，半分离，换元分离【典型例题】例1．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．【解析】解：（1）当时，，，设，因为，可得在上递增，即在上递增，因为，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，恒成立，①当时，不等式恒成立，可得；②当时，可得恒成立，设，则，可设，可得，设，，由，可得恒成立，可得在递增，在递增，所以，即恒成立，即在递增，所以，再令，可得，当时，，在递增；时，，在递减，所以（2），所以，综上可得的取值范围是，．例2．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．【解析】解：（1）当时，，所以，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为；（2）由题意得，时，恒成立，即恒成立，所以，令，，由重要不等式可知，当时，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以（1），所以，即，所以的范围为．例3．已知函数．（Ⅰ）当时，讨论的单调性；（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围．【解析】解：当时，，则在上单调递增，又，故当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减；当时，不等式恒成立，当时，由恒成立可得恒成立，令，，则，令，则，令，，则，所以在上单调递增，，所以，在上单调递增，，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以（2），所以，故的取值范围为．例4．已知函数，其中．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围．【解析】解：（1），，令，，时，，即，在递增，时，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在，递减，在，递增；（2）时，显然成立，时，问题转化为在恒成立，令，则，令，，则，故（1），故在递减，而，故．【同步练习】1．设、，为自然对数的底数）．（1）若曲线在点，（1）处的切线方程为，求、的值；（2）当时，若总存在负实数，使得当时，恒成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1），（1）．曲线在点，（1）处的切线方程为，（1）．（1），（1）．联立解得：，．（2）时，，，，可得：．，令，，，，，，，，函数在，上单调递增，．．实数的取值范围是．2．设．（1）若（e），求时的值；（2）若，时，求的取值范围．【解析】解：（1）（e），，即，．由得，即，或，即，或．（2）时，，时，有，即．设，则．由得，．因为关于的二次函数在，上单调递增，的最小值在处取得，这个最小值为3，．3．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，不等式对恒成立，求的取值范围【解析】解：（1），当时，令，解得；令，解得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，令，解得；令，解得，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2），不等式对恒成立即为对恒成立，设，则，令，解得；令，解得，（1），，取，则，即，，设，由，（1），方程必有解，当且仅当时，函数取得最小值2，，即实数的取值范围，．4．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．【解析】解：（1），，①当时，，此时在上单调递减；②当时，可知当时，，单调递减，当时，，单调递增；综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）依题意，在上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，则，在上单调递减，且，故存在，使得，即，即，当时，，，当，时，，，，实数的取值范围为．5．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）当时，若不等式恒成立，求的取值范围．【解析】解：（1）的定义域为，则，当时，，单调递减，当时，令，解得，当时，，单调递减，当，时，，单调递增，综上所述，当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在，上单调递增．（2）当时，，不等式式恒成立等价于在恒成立，即只需，记，则，当时，，所以单调递减，当时，，所以单调递增，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，又因为，当且仅当时，等号成立，所以，从而，所以，所以，故的取值范围为，．6．已知函数．（1）若，求函数的单调区间及极值；（2）当时，函数（其中恒成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1）时，函数的导数为，当时，，时，，可得的增区间为，减区间为，有极大值（1），无极小值；（2）当时，函数（其中恒成立，可得对，恒成立，令，可得，即有，可得，设，，，可得在递增，递减，可得的最大值为（1），则，解得．7．已知函数，为自然对数的底数）．（1）若在定义域内有唯一零点，求的取值范围；（2）若在，上恒成立，求的取值范围．【解析】解：（1），当，，在上单调递增，又，（1），由零点存在定理知，函数在上有唯一零点，符合题意，当，令得，当，，单调递减，，，单调递增，所以，设（a），则（a），当时，（a），（a）单调递增，当时，（a），（a）单调递减，所以（a）（1），故，综上，实数的取值范围为或．（2）对，恒成立，即对，恒成立，记，当时，设函数，则，因此在，单调递减，又，故，所以；当时，设函数，则，所以在，单调递增，且，故．当时，，，取，则，，故，当，取，则，，综上，的取值范围为，．8．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）当时，对，任意恒成立，求正整数的最大值．【解析】解：（1）因为，所以，令，可得，当时，；当，时，．所以的单调递增区间为，；单调递减区间为．（2）当，时，变形为．令，令所以在单调递增，又（2），（3），（4），所以存在唯一，使得，即，故当时，，单调递减；当，时，，单调递增，所以，即，又，所以，因为，所以．9．已知函数，，若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线．（Ⅰ）求，，，的值；（Ⅱ）若对于任意，都有恒成立，求的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由题意知，，，，而，，故，，，，从而，，，；（Ⅱ）由知，，，由恒成立得恒成立，设，则，由得，由得，即当时，取得极小值，同时也是最小值，此时，则．10．设函数．（1）求的单调区间；（2）若，为整数，且当时，，求的最大值．【解析】解：（1）的定义域为，，若，则，在上单调递增；若，则解得．当变化时，，变化如下表：0减极小值增所以，的单调减区间是：，增区间是：．（2）由于，所以．故当时，等价于①，令，则，而函数在上单调递增，（1），（2），所以在存在唯一的零点．故在存在唯一的零点．设此零点为，则．当时，；当时，．所以在的最小值为（a）．又由（a），可得，所以（a）．由于①式等价于（a），故整数的最大值为2．11．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数）．求的最大值．【解析】解：（Ⅰ）函数的定