导数压轴专题突破-第01讲 直接讨论法（含答案及解析）

第01讲直接讨论法【典型例题】例1．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．例2．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．例3．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．例4．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．例5．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．例6．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．【同步练习】1．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．2．已知函数．（1）当求曲线在，（1）处的切线方程；（2）若时，，求的取值范围．3．已知函数，．（1）证明：当时，；（2）若，求．4．已知点，，，为坐标原点，设函数．（1）当时，判断函数在上的单调性；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．5．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．6．已知函数．（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；（2）若，求的取值范围．7．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，若无最小值，求实数的取值范围．8．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若在上只有一个极值，且该极值小于，求的取值范围．

第01讲直接讨论法【典型例题】例1．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．【解析】解：（1），①时，在恒成立，故在单调递减，②时，由，解得：，由，解得：，故在单调递增，在单调递减；（2）由（1）可得，当时，在单调递减，，当时，在单调递增，在单调递减，（a），令（a），，易知函数（a）在单调递增，又（1），当时，（a），即，满足题意，当时，（a），即，不满足题意，综上所述的取值范围为，．例2．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．【解析】解：（1），定义域为，．当时，，；，；在上单调递增，在上单调递减；当时，，此时在上单调递减；当时，，；，；在上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）可知：当时，，解得；当时，，在上恒成立；当时，，即，解得．综上所述，．例3．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．【解析】解：（1），当时，，又，故，递增，当时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；（2），即，时，递增，恒成立，时，，故，令（a），（a），故（a）递减，又，故，综上：，．例4．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．【解析】解：（1）函数的定义域为，①若，则，在单调递增．②若，则由得．当时，；当，时，，所以在单调递减，在，单调递增．③若，则由得当，时，；当，时，，故在，单调递减，在，单调递增．（2）①若，则，所以．②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时，．③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时．综上，的取值范围为，．例5．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．【解析】解：（1）由，当时，，则在上递减，当时，令得（负根舍去），令得；令得，所以在上递增，在上递减．（2）当时，，符合题意，当时，，因为，所以，所以，所以，当时，在上递减，且与的图象在上只有一个交点，设此交点为，，则当时，，故当时，不满足，综上，的取值范围为，．例6．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．【解析】解：（1），，①当时，恒成立，在上单调递增，②当时，，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，③当时，，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在，上单调递减，在，上单调递增，（2）①当时，恒成立，②当时，由（1）可得，，，③当时，由（1）可得：，，，综上所述的取值范围为，．【同步练习】1．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．【解析】解：（1），，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）若，因为，取，则，，，此时，故此时不可能恒成立．若，此时恒成立．若，则在上单调递减，在上单调递增，故的最小值在处取到，即（a），而．显然当时，，，此时（a）．当时，，，此时（a），故此时．综上所述，的取值范围为，．2．已知函数．（1）当求曲线在，（1）处的切线方程；（2）若时，，求的取值范围．【解析】解：（1）当时，，，，（1），又（1），曲线在，（1）处的切线方程为：，即．（2）令，则，当时，恒成立，即在上单调递增，（1），①当时，（1），故在上单调递增，且（1），此时符合题意；②当时，由（1）及在上单调递增，知，使得，即，不符合题意，综上，的取值范围是，．3．已知函数，．（1）证明：当时，；（2）若，求．【解析】解：（1）证明：，，，考虑到，，所以①当，时，，此时，②当，时，，所以单调递增，所以，所以函数单调递减，，③当，时，，所以单调递增，所以，所以函数单调递增，，当，时，，综上所述，当时，．（2）构造函数，考虑到，，，，由（1）可知：在时恒成立，所以在，上单调递增，①若，则在，为负，为正，在，单调递减，递增，所以，而当时，，故满足题意．②若，，因为，所以，由零点存在定理，必存在，，使得，此时满足时，，单调递减，所以，矛盾，舍去；③若，，因为当时，，所以当时，，此时必存在，使得，此时满足，时，，单调递增，所以，矛盾，舍去，而当时，当，所以在，时，成立，单调递增，，矛盾，舍去．综上所述，．4．已知点，，，为坐标原点，设函数．（1）当时，判断函数在上的单调性；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1），，，当时，，，当时，，又，则，所以在上递减；（2）①当时，，对于，恒成立；②当时，，设，，因为，，所以，在递增，又，所以，所以在递增，且．当时，，在递增，因为，所以恒成立；当时，，因为在递增，又当，，则存在，对于，恒成立，故在上递减，所以，当时，，不合题意．综上可得，的取值范围是，．5．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】解：（1）由，求导，，当时，，在上单调递减，当时，，令，解得：，当，解得：，当，解得：，时，单调递减，，单调递增；综上可知：当时，在单调减函数，当时，在是减函数，在，是增函数；（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，当时，，当时，，，当时，，当，，且远远大于和，当，，函数有两个零点，的最小值小于0即可，由在是减函数，在，是增函数，，，即，设，则，，求导，由（1），，解得：，的取值范围．方法二：（1）由，求导，，当时，，在上单调递减，当时，，令，解得：，当，解得：，当，解得：，时，单调递减，单调递增；综上可知：当时，在单调减函数，当时，在是减函数，在是增函数；（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，，当，时，，故只有一个零点，当时，由，即，故没有零点，当时，，，由，故在有一个零点，假设存在正整数，满足，则，由，因此在有一个零点．的取值范围．6．已知函数．（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；（2）若，求的取值范围．【解析】解：（1）根据题意，当时，，其导数，则切线的斜率，且，即切点的坐标为；即切线方程为，即；（2）函数，其导数，其定义域为，分3种情况讨论：①，，即时，，有恒成立，符合题意；②，当，即时，令可得：，分析可得：在上，，为减函数；在，上，，为增函数；此时有，若恒成立，必有，即，解可得：；③，当，即时，令可得：，分析可得：在，上，，为减函数；在，上，，为增函数；此时有，若恒成立，必有，即，解可得：；综合可得：的取值范围为，．7．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，若无最小值，求实数的取值范围．【解析】解：（1），．①当时，时，；时，，在上递减，在上递增；②当时，，，时，；时，，在上递增，在上递减，在上递增；③当时，，在上递增；④当时，，，时，；时，．在上递增，在上递减，在上递增；（2）①时，由（1）知：（1），与题意不符，舍去；②时，，，由（1）知：要使无最小值，则：，，；③时，由（1）知：无最小值，符合题意；④，时，，（a），由（1）知：要使无最小值，则：，令，，，，令，，，，在，上递增，（1），（2），（1）（2），故在上恰有一个零点，设为，时，，；，时，，即，故在上递减，在，上递增，又（1），（2），因此，时，恒成立，则，．综上，，．8．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若在上只有一个极值，且该极值小于，求的取值范围．【解析】解：（1），当时，，由，解得：，由，解得：，故在递减，在递增，当时，令，解得：或，设（a），（a），当时，（