2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步阶段性评估2习题含解析北师大版必修2

阶段性评估(二)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．在空间中，下列命题中正确的是(C)A．若两直线a，b与直线l所成的角相等，那么a∥bB．若两直线a，b与平面α所成的角相等，那么a∥bC．假如直线l与两平面α，β所成的角都是直角，那么α∥βD．若平面γ与两平面α，β所成的二面角都是直二面角，那么α∥β解析：A错，两直线可平行或相交或异面；B错，若两直线与平面α所成角相等，两直线可平行，也可相交(如圆锥的每一条母线与圆锥的底面所成角均相等)；C正确，据已知直线l⊥α，l⊥β，故必有α∥β；D错误，据题意得α⊥γ，β⊥γ，则α，β可平行也可相交(如墙角或长方体从一顶点引出的三个平面，留意长方体是空间想象的一个重要模型，考生应很好地利用它)．2．如图为一个正方体的表面绽开图，则在原正方体中，线段AB，CD的位置关系是(D)A．平行B．垂直但不相交C．异面但不垂直D．相交解析：将表面绽开图还原易得直线AB与CD为相交直线，故选D.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1A．1 B．2C．3 D．6解析：仅有平面ABCD和平面A1B1C1D1与直线AA14．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是(B)A．若m，n都平行于平面α，则m，n肯定不是相交直线B．若m，n都垂直于平面α，则m，n肯定是平行直线C．已知α，β相互平行，m，n相互平行，若m∥α，则n∥βD．若m，n在平面α内的射影相互平行，则m，n相互平行解析：A中，m，n可以是相交直线；B正确；C中，n可以平行β，也可以在β内；D中，m，n也可能异面．5．已知PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是(C)A．PB⊥BC B．PD⊥CDC．PD⊥BD D．PA⊥BD解析：如图所示，由PA⊥矩形ABCD可得BC⊥平面PAB，DA⊥平面PAB，DC⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，则有PB⊥BC，PD⊥CD，PA⊥BD均正确，而PD⊥BD不正确，故应选C.6．下列命题中不正确命题的个数是(C)①过空间随意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②过空间随意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；③过空间随意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；④过空间随意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．A．1 B．2C．3 D．4解析：考查正方体中相互垂直的线和平面．对于①：过空间随意一点不是有且仅有一个平面与已知平面垂直，如图中平面A1D和平面A1B与平面AC都垂直，故①错；对于②：过空间随意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直，这是错误的，如图中平面A1D和平面A1B都与平面AC垂直，故②错；对于③：过空间随意一点不是有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行，如图中过C1的与A1B1和AD都平行的平面就不存在，故③错；对于④：过空间随意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直是正确的．故选C.7．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点H是棱B1C1的中点，则四边形BDD1A．平行四边形 B．矩形C．空间四边形 D．菱形解析：∵D1H与DB是异面直线，∴四边形BDD1H是空间四边形，故应选C.8．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是线段C1D1，A1D1，BD1，BC①MN∥平面APC；②B1Q∥平面DMN；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.正确的序号为(A)A．①② B．①④C．②③ D．③④解析：逐一推断．因为MN∥AC，MN⃘平面APC，AC平面APC，所以MN∥平面APC，故①正确；又因为B1Q∥ND，B1Q⃘平面DMN，ND平面DMN，所以B1Q∥平面DMN，故②正确；因为A，P，C1三点共线，所以③错误；平面MNQ与平面APC相交，故④错误．9．如图，在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E，F，H，K分别为AC′，CB′，A′B，B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K，H，G，B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为(C)A．K B．HC．G D．B′解析：当点P与K重合时，平面PEF即为平面KEF，因为KF与三棱柱三条侧棱都平行，不满意题设条件．当P点与H重合时，平面PEF即为平面HEF，当平面HEF与三棱柱两底平面均平行时，有六条棱平行于平面HEF不合题意．当P点与B′点重合时，平面PEF即为平面B′EF，此时三棱柱棱中只有一条棱AB与它平行不合题意．当P点与G点重合时，平面PEF即为平面GEF，此时恰有三棱柱的两条棱AB，A′B′与平面平行满意题意．故应选C.10．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(D)A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°解析：∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB，∴tan∠ADP＝eq\f(PA,AD)＝eq\f(2AB,2AB)＝1，∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.11．如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A′不与A，F重合)，则下列命题中真命题为(C)①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′－FED的体积有最大值．A．① B．①②C．①②③ D．②③解析：折叠前DE⊥AF，折叠后其位置关系没有变更．①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，∴点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②∵BC∥DE，BC平面A′DE，DE平面A′DE，∴BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大．12．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满意PQ⊥DQ，则a的取值状况是(A)A．有且仅有一个 B．至少有一个C．至多有一个 D．有多数个解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DQ，又PQ⊥DQ，所以DQ⊥平面PAQ，所以DQ⊥AQ.因为BC边上只有一个点Q满意PQ⊥DQ，所以在矩形ABCD中，只有一个点Q满意AQ⊥QD.所以以AD为直径的圆与BC相切，所以BC＝AD＝2AB＝2，即a＝2只有一个值．选A.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．如图，在正方体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是eq\f(\r(3),3).解析：如图，因为B1B∥A1A，所以∠BB1D就是异面直线AA1与B1D所成的角，连接BD在Rt△B1BD中，设棱长为1，则B1D＝eq\r(3).cos∠BB1D＝eq\f(BB1,B1D)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).所以AA1与B1D所成的角的余弦值为eq\f(\r(3),3).14．过正方体ABCD—A1B1C1D1的三个顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1解析：因为过A1，C1，B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1，与底面ABCD的交线为l，由于正方体的两底面相互平行，则由面面平行的性质定理知l∥A115．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，E是A1C1上一点，且A1B∥平面B1DE，则eq\f(A1E,EC1)的值为eq\f(1,2).解析：连接BC1交B1D于点F，连接EF.因为平面A1BC1∩平面B1DE＝EF，A1B∥平面B1DE，所以A1B∥EF，所以eq\f(A1E,EC1)＝eq\f(BF,FC1).因为BC∥B1C1，所以△BDF∽△C1B1F，所以eq\f(BF,FC1)＝eq\f(BD,B1C1).因为D是BC的中点，所以eq\f(BD,B1C1)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(A1E,EC1)＝eq\f(1,2).16．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是2，则点F的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长是eq\r(2).解析：如图所示，设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG，EG，则G为BC的中点，分别取B1B，B1C1的中点M，N，连接A1M，MN，A1N，因为A1M∥D1E，所以A1M∥平面D1AE，同理可得MN∥平面D1AE，所以平面A1MN∥平面D1AE.因为A1F∥平面D1AE，所以A1F平面A1MN，所以点F的轨迹被正方形截得的线段是MN，其长度是三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知：空间四边形ABCD中，如图，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3).求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)三条直线EF，GH，AC交于一点．证明：(1)在△ABD和△CBD中，∵E，H分别是AB和AD的中点，∴EH綊eq\f(1,2)BD.又∵eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，∴FG綊eq\f(2,3)BD.∴EH∥FG.所以，E，F，G，H四点共面．(2)由(1)可知，EH∥FG，且EH≠FG，即EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点，设这个交点为P.∵E，F∈平面ABC，∴EF平面ABC.∵P∈EF，∴P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，∵平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，所以EF，GH，AC交于一点．18．(12分)如图，已知矩形ABCD中，PA⊥平面ABCD，M，N，R分别是AB，PC，CD的中点．求证：(1)直线AR∥平面PMC；(2)直线MN⊥直线AB.证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，M，R分别为AB，CD的中点．∴AM∥CR且AM＝CR.∴四边形AMCR是平行四边形，∴CM∥AR.又∵AR⃘平面PCM，CM平面PCM，∴AR∥平面PMC.(2)连接MR，NR，如图，在矩形ABCD中，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，∴AB⊥平面PAD.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(MR∥AD,NR∥PD))⇒平面PAD∥平面NMR，∴AB⊥平面MNR，∴AB⊥MN.19．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC.(1)若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA；(2)若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：直线l∥平面PBC.证明：(1)因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AB平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC.因为CP平面PBC，所以CP⊥AB.又CP⊥PB，且PB∩AB＝B，所以CP⊥平面PAB.又PA平面PAB，所以CP⊥PA.(2)在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D.因为平面PBC⊥平面ABC，且平面PBC∩平面ABC＝BC，PD平面PBC，所以PD⊥平面ABC.又l⊥平面ABC，所以l∥PD.又l⃘平面PBC，PD平面PBC，所以l∥平面PBC.20．(12分)如图1，在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AE＝BF＝2，AB＝2eq\r(2).现将梯形沿CB，DA折起，使EF∥AB，且EF＝2AB，得一简洁组合体ABCDEF，如图2所示，已知M，N，P分别为AF，BD，EF的中点．(1)求证：MN∥平面BCF；(2)求证：AP⊥平面DAE.证明：(1)在题图2中，连接AC.∵四边形ABCD是矩形，N为BD的中点，∴N为AC的中点．在△ACF中，M为AF的中点，∴MN∥CF.∵CF平面BCF，MN平面BCF，∴MN∥平面BCF.(2)依题意，知DA⊥AB，DA⊥AE，且AB∩AE＝A，∴AD⊥平面ABFE.又AP平面ABFE，∴AP⊥AD.∵P为EF的中点，∴FP＝AB＝2eq\r(2).又AB∥EF，∴四边形ABFP是平行四边形，∴AP∥BF，且AP＝BF＝2.又AE＝2，PE＝2eq\r(2)，∴AP2＋AE2＝PE2，∴∠EAP＝90°，即AP⊥AE.又AD∩AE＝A，∴AP⊥平面ADE.21．(12分)四棱锥P－ABCD的底面与四个侧面的形态和大小如图所示．(1)写出四棱锥P－ABCD中四对线面垂直关系(不要求证明)；(2)在四棱锥P－ABCD中，若E为PA的中点，求证：BE∥平面PCD.解：(1)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD.(2)证法一：取PD的中点F，连接EF，CF，如图，∵E，F分别是PA，PD的中点，∴EF∥AD，EF＝eq\f(1,2)AD.在直角梯形ABCD中，BC∥AD，且BC＝eq\f(1,2)AD，∴EF∥BC，且EF＝BC.∴四边形BEFC是平行四边形，∴BE∥CF.又∵CF平面PCD，BE⃘平面PCD，∴BE∥平面PCD.证法二：取AD的中点N，连接EN，BN，如图，∵E，N分别是PA，AD的中点，∴EN∥PD.又∵EN⃘平面PCD，∴EN∥平面PCD.在直角梯形ABCD中，BC∥AD，且BC＝eq\f(1,2)AD＝DN，∴四边形BCDN是平行