6.2黄金分割（练习）-2022-2023学年九年级数学下册（苏科版）

第六章图形的相似6.2黄金分割基础篇基础篇一．单选题1．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，则下列比例式能成立的是（）A．ABAP＝BPAB B．BPAP＝ABBP C．APAB＝BP【详解】解：根据黄金分割定义可知：AP是AB和BP的比例中项，∴AP2＝AB•BP，∴APAB＝BP故选：C．2．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为3m，那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为xm，根据题意，列方程正确的是（）A．x2＝3（x﹣3） B．x2＝3（3﹣x） C．x2＝3 D．x2＝3﹣x【详解】解：设雕像的下部设计高度为xm，∵雕像的高为3m，∴雕像上部设计高度为（3﹣x）m，∵雕像的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比，∴3−xx＝∴x2＝3（3﹣x）．故选：B．3．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是（）A．35﹣3 B．2﹣5 C．25﹣1 D．5﹣2【详解】解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝6×5−12＝3故选：A．4．矩形的两条相邻的边的长分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形（宽与长的比为黄金比的矩形）的是（）A．a＝4，b＝5+2 B．a＝4，b＝5﹣2 C．a＝4，b＝25+4 D．a＝4，b＝25﹣2【详解】解：∵宽与长的比是5−1∴当a＝4，b＝5+2时，ab＝45+2＝45当a＝4，b＝5﹣2时，ba＝5−24当a＝4，b＝25+4时，ab＝425+4＝2当a＝4，b＝25﹣2时，ba＝25−24＝故选：D．5．如图，C是AB的黄金分割点（AC＞CB），BG＝AB，以CA为边的正方形的面积为S1，以BC、BG为边的正方形的面积为S2，则S1与S2的关系为（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．无法判断【详解】解：根据黄金分割的概念和正方形的性质知：AC2＝AB•BC，S1S2＝AC2BC∙BG＝AC2BC∙AB＝AC故选：C．6．如图，点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，S3：S2的值为（）A．12 B．23 C．5−1【详解】解：设AB＝a，∵点E是边AB边上的黄金分割点，AE＞EB，∴AE＝5−12AB＝5∴BE＝AB﹣AE＝a﹣5−12a＝3−∴S3：S2＝5−12a故选：C．7．“双减”期间，某校音乐社团购买了一种乐器，如图．乐器上的一根弦AB＝60cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（）A．（305﹣30）cm B．（605﹣30）cm C．（100﹣305）cm D．（605﹣120）cm【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，AB＝60cm，∴AC＝BD＝5−12AB＝5−12×60＝（30∴CD＝AC﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝（605﹣120）（cm）．故选：D．二．填空题8．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”（黄金比为5−12≈0.618），如图，P为AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB的长度为10cm，那么较长线段AP的长度为【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，∴AP＝5−12AB≈0.618×10≈6.2（故答案为：6.2．9．已知点C是线段AB的黄金分割点，若AB＝8，则线段AC的长为．【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8，∴AC＝5−12AB＝45﹣4，或AC＝8﹣（45﹣4）＝12﹣4故答案为：45﹣4或12﹣45．10．当一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚脐以下的高度）的比值越接近黄金分割比0.618时，越给人一种美感．某位参加空姐选拔的选手身高165cm，上半身长65cm，那么她应穿cm的鞋子才更美？（精确到1cm）．【详解】解：设某位参加空姐选拔的选手应穿xcm的鞋子才更美，根据题意，得：65165−65+x≈0.618，解得：∴某位参加空姐选拔的选手应穿5cm的鞋子才更美．故答案为：5．11．已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的等边三角形的面积为S1，以PB、AB为直角边的直角三角形的面积为S2，则S1与S2的关系是．【详解】解：∵点P是它的黄金分割点，AP＞BP，∴AP：AB＝PB：AP，即AP2＝PB•AB，∵S1＝12×AP×32AP＝34AP2，S2＝12∵34＜1∴34AP2＜12AB•∴S1＜S2．故答案为：＜．12．实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B，若AM2＝BM▪AB，BN2＝AN▪AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，当b﹣a＝4时，m﹣n＝．【详解】解：由题意得：AB＝b﹣a＝4，设AM＝x，则BM＝4﹣x，∵AM2＝BM▪ABx2＝4（4﹣x），解得：x＝﹣2±25，x1＝﹣2+25，x2＝﹣2﹣25（舍），∴AM＝BN＝25﹣2，∴MN＝m﹣n＝AM+BN﹣4＝2AM﹣4＝2（25﹣2）﹣4＝45﹣8．故答案为：45﹣8．13．黄金分割具有严格的比例性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感．如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为5−12．若DM＝2，则AB＝【详解】解：∵五边形内角和（5﹣2）×180°＝540°，∴∠EDC＝108°，∠DCE＝∠DEC＝36°，∴△CDM为黄金三角形，∴DMCD＝5∵DM＝2，∴CD＝5+1，∴AB＝5+1．故答案为：5+1．三．解答题14．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年﹣﹣前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即PBAP＝APAB（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于5−12（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝12AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB（1）求证：C是线段AB的黄金分割点．（2）若BD＝1，则BC的长为．【详解】（1）证明：设BD＝x，则AB＝2x，由勾股定理得：AD＝5x，∵DE＝BD＝x，∴AC＝AE＝AD﹣DE＝AD﹣BD＝（5﹣1）x，∴ACAB＝5∴C是线段AB的黄金分割点；（2）解：当BD＝1时，由（1）知AB＝2，AC＝5﹣1，∴BC＝AB﹣AC＝2﹣（5﹣1）＝3﹣5，故答案为：3﹣5．15．再读教材：宽与长的比是5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB＝（保留根号）；（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．【详解】解：（1）∵四边形MNCB是正方形，∴NC＝MN＝2，由折叠的性质得：AC＝12NC在Rt△ABC中，AB＝AC2+BC2＝故答案为：5；（2）四边形BADQ是菱形，理由如下：证明：由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，∵BQ∥AD，∴∠AQB＝∠DAQ，∴∠AQB＝∠BAQ，∴AB＝BQ，即AD＝AB＝BQ＝BD，∴四边形BADQ为菱形；（3）图④中的黄金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE，理由如下：∵AD＝AB＝5，AN＝AC＝1，∴CD＝5﹣1，ND＝5+1，∴CDBC＝5−12，MNND＝∴矩形BCDE，矩形MNDE是黄金矩形．提升篇提升篇16．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果APBP＝BPAB，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设APBP＝BPAB＝k，则（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足底腰＝腰底+（2）如图1，设AB＝1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果S1S2＝S2S，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？【详解】解：（1）满足宽长＝长（2）由BPAB＝k得：BP＝1×k＝k，则AP＝1﹣k由APBP＝BPAB得：BP2＝AP×即k2＝（1﹣k）×1，解得：k＝−1±5∵k＞0，∴k＝5−1（3）∵点P是线段AB的黄金分割点，∴APBP＝BP设△ABC的AB上的高为h，则S∆APCS∆BPC＝12AP×ℎ∴S∆APCS∴直线CP是△ABC的黄金分割线．（4）由（3）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．17．二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．例如：化简：12解：将分子、分写同乘以2+1得12−1＝2+1类比应用：（1）化简：123−（2）化简：12+1+13拓展延伸：宽与长的比是5−12的矩形叫黄金矩形，如图①，已知黄金矩形ABCD的宽（1）黄金矩形ABCD的长BC＝；（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；（3）在图②中，连接AE，则点D到线段AE的距离为．【详解】解：类比应用：（1）化简得：123−11＝23故答案为：23+11；（2）根据题意可得：原式＝2﹣1+3﹣2+…+9﹣8＝﹣1+3＝2；拓展延伸：（1）∵宽与长的比是5−1∵黄金矩形ABCD的宽AB＝1，∴黄金矩形ABCD的长BC为：15−12＝2故答案为：5+1（2）矩形DCEF是黄金矩形，理由如下：由裁剪可知：AB＝AF＝BE＝EF＝CD＝1，根据黄金矩形的性质可知：AD＝BC＝15−12＝2∴FD＝EC＝AD﹣AF＝5+12﹣1＝∴FDEF＝5−12∴矩形DCEF是黄金矩形；（3）如图，连接AE，DE，过点D作DG⊥AE于点G，∵AB＝EF＝1，AD＝5+1∴AE＝12+1在△AED中，S△AED＝12×AD×EF＝12×AE×即AD×EF＝AE×DG，则5+12×1＝2×解得：DG＝10+∴点D到线段AE的距离为10+故答案为：10+18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE＝12AB，OD＝2．（1）求∠CDB的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比5−1①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求弦CE的长；③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．

【详解】解：（1）∵AB是⊙O的直径，DE＝12AB∴OA＝OC＝OE＝DE，∴∠EOD＝∠CDB，∠OCE＝∠OEC，设∠CDB＝x，则∠EOD＝x，∠OCE＝∠OEC＝2x，又∵∠BOC＝108°，∴∠CDB+∠OCD＝108°，∴x+2x＝108，x＝36°，∴∠CDB＝36°；（2）①有三个：△DOE，△COE，△COD，理由如下：∵OE＝DE，∠CDB＝36°，∴△DOE