专项36锐角三角函数实际应用-母子型

专项36锐角三角函数实际应用母子型通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DBC中，BC为公共边，AD+DC=AC.图形演变及对应的数量关系如下：特别提醒：”母子“型的关键是找到两个直角三角形外的公共高1．（2021春•丽水月考）如图，小梦要测量学校旗杆的高度BD，在点A处测得∠BAD＝45°，在点C处测得∠BCD＝60°．已知AC＝8米，点A、C、D在同一直线上，则旗杆的高度BD为（）A．（4+4）米 B．（7+7）米 C．（14+14）米 D．（4+12）米【答案】D【解答】解：在Rt△ABD中，∵∠BAD＝45°，∴∠ABD＝∠BAD＝45°．∴BD＝AD．在Rt△CBD中，∵tan∠BCD＝＝tan60°．∴CD＝＝＝BD．∵AC＝AD﹣CD，∴BD﹣BD＝8．∴BD＝＝＝12+4．故选：D．2．（2021秋•城阳区校级期中）如图，斜坡BC的长度为4米．为了安全，决定降低坡度，将点C沿水平距离向外移动4米到点A，使得斜坡AB的长度为4米，则原来斜坡的水平距离CD的长度是（）米．A．2 B．4 C．2 D．6【答案】A【解答】解：设CD＝x米，BD＝y米，在Rt△BCD中，BD2＝BC2﹣CD2，即y2＝42﹣x2，在Rt△BAD中，BD2＝AB2﹣AD2，即y2＝（4）2﹣（x+4）2，∴42﹣x2＝（4）2﹣（x+4）2，解得：x＝2，即CD＝2米，故选：A．3．（2021春•怀化期中）如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了28米，到达D处，测得∠ADB＝30°，则树的高度是．【答案】14米【解答】解：∵∠ADB＝30°，∠ACB＝15°，∴∠CAD＝∠ADB﹣∠ACB＝15°，∴∠ACB＝∠CAD，∴AD＝CD＝28（米），又∵∠ABD＝90°，∴AB＝AD＝14（米），∴树的高度为14米．故答案为：14米．4．（2022•武昌区模拟）如图，某河段的两岸平行，小明在一侧河岸的A点观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小刚在距离A点80米的B点测得∠CBD＝30°，根据这些数据可以算出河宽为米（≈1.414，≈1.732，精确到个位）．【答案】109【解答】解：过点C作CE⊥DB，垂足为E，设CE＝x米，在Rt△CEA中，∠CAE＝45°，∴AE＝＝＝x（米），∵AB＝80米，∴BE＝AE+AB＝（x+80）米，在Rt△BEC中，∠CBE＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x≈109，经检验：x≈109是原方程的根，∴河宽约为109米，故答案为：109．5．（2022•深圳三模）某学校安装红外线体温检测仪（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上自由调节（如图2）．已知最大探测角∠OBC＝67°，最小探测角∠OAC＝37°．测温区域AB的长度为2米，则该设备的安装高度OC应调整为（）米．（精确到0.1米．参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）A．2.4 B．2.2 C．3.0 D．2.7【答案】B【解答】解：设BC＝xm，∵AB＝2m，∴AC＝（x+2）m，∵∠OBC＝67°，∠OAC＝37°∴tan∠OBC＝tan67°≈，tan∠OAC＝tan37°≈，∵OC＝BC•tan∠OBC＝BC•tan67°≈x，OC＝AC•tan∠OAC＝AC•tan37°≈（x+2），∴x＝（x+2），解得：x＝，∴OC≈x＝≈2.2m，故选：B．6．（2022•济南）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（）（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）A．28m B．34m C．37m D．46m【答案】C【解答】解：由题意可知：AB⊥BC，在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°，∵tan∠ADB＝tan58°＝，∴BD＝≈（m），在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°，∵CD＝70m，∴BC＝CD+BD＝（70+）m，∴AB＝BC×tanC≈（70+）×0.40（m），解得：AB≈37m，答：该建筑物AB的高度约为37m．故选：C．7．（2022•随州）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，若CD＝α，则建筑物AB的高度为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：设AB＝x，在Rt△ABD中，tanβ＝，∴BD＝，∴BC＝BD+CD＝a+，在Rt△ABC中，tanα＝，解得x＝．故选：D．8．（2022春•茅箭区校级月考）某人为了测量塔DE的高度，他在山下与山脚B在同一水平面的A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进30米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，那么塔DE的高度是（）A．（15+5）m B．（15﹣5）m C．（30+10）m D．（30﹣10）m【答案】C【解答】解：设BC＝x米，在Rt△BDC中，∠DBC＝60°，∴DC＝BC•tan60°＝x（米），∵AB＝30米，∴AC＝AB+BC＝（30+x）米，在Rt△ADC中，∠A＝45°，∴tanA＝＝＝1，∴x＝15+15，经检验：x＝15+15是原方程的根，∴BC＝（15+15）米，DC＝x＝（45+15）米，在Rt△EBC中，∠EBC＝30°，∴EC＝BC•tan30°＝（15+15）×＝（15+5）米，∴DE＝DC﹣CE＝（30+10）米，故选：C．9．（2022•吴中区模拟）同学甲为了测量教学楼ABCD的高度CD，在水平地面点F处，观察点D的仰角为32°，再向点C处前行了15米到达点E，即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则教学楼的高CD用三角函数表示为（）A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°【答案】C【解答】解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，∴∠EDF＝∠F，∴DE＝EF，∵EF＝15米，∴DE＝15米，在Rt△CDE中，sin∠CED＝，∴CD＝DEsin∠CED＝15sin64°，故选：C．10．（2022•武汉模拟）如图，因疫情防控工作的需要，在学校大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高ME＝7.5米，学生身高BD＝1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A处测得摄像头M的仰角为60°，则体温监测有效识别区域AB的长是米（≈1.73，结果精确到0.1米）．【答案】6.9【解答】解：由题意得EF＝BD＝1.5米，∵ME＝7.5米，∴FM＝6米，在Rt△CFM中，∠FCM＝60°，tan60°＝，解得CF＝2，在Rt△DFM中，∠MDF＝30°，tan30°＝，解得DF＝6，∴CD＝DF﹣CF＝6﹣2≈6.9（米），∴AB＝CD＝6.9米．故答案为：6.911．（2022•西青区一模）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度，他们在C处仰望建筑物顶端A测得仰角为37°．再往建筑物的方向前进9m到达D处，测得建筑物顶端A的仰角为63°，求建筑物AB的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到1m）．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.8．sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0．【解答】解：设BD＝xm，AB＝ym，在Rt△ADB中，tan63°＝≈2，∴y≈2x，在Rt△ACB中，tan37°＝≈0.8，即≈0.8，∴y≈0.8（9+x），∴解得：，∴AB的高度约为12m，答：建筑物AB的高度约为12m．12．（2022•朝阳）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7）【解答】解：延长DF交AB于点G，由题意得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，设AG＝xm，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，∴FG＝＝x（m），∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝4+4，经检验：x＝4+4是原方程的根，∴AB＝AG+BG≈12（m），∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．13．（2022春•长沙期中）长沙为打造宜游环境，对某旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，步行道BD的坡度为1：，在D处测得山顶A的仰角为45°．（1）求∠DBC的大小；（2）求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．【解答】解：（1）如图，作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，∵步行道BD的坡度为1：，∴tan∠DBC＝＝＝，∴∠DBC＝30°；（2）∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，∴四边形DECF为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC，在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，∴DE＝BD＝84，∴FC＝DE＝84，∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AD＝AF＝70（米），答：电动扶梯DA的长为70米．14．（2022•平定县模拟）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．北京冬奥会为绿色办奥、科技办奥贡献了中国样本和中国智慧，让奥运精神点亮更多人的冰雪梦想，并以冰雪运动和奥林匹克精神为纽带，凝聚更团结的力量．图1，图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线，若大腿弯曲处与滑雪板后端的距离EM长为0.9m，该运动员大腿EF长为0.4m，且其上半身GF长为0.8m，∠EMD＝35°．（1）求此刻滑雪运动员的身体与大腿所成的夹角∠GFE的度数；（2）求此刻运动员头部G到斜坡AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，）【解答】解：（1）连接GE，∵EF∥AB，ED⊥AB，G，E，D三点共线，∴∠GEF＝∠EDM＝90°，∵EF＝0.4m，GF＝0.8m，∴cos∠GFE＝＝，∴∠GFE＝60°；（2）由（1）得∠GFE＝60°，在Rt△GFE中，GE＝GF•sin∠GFE＝×＝≈0.69（m），在Rt△EDM中，∠EMD＝35°，EM＝0.9m，∴ED＝EM•sin∠EMD＝0.9×sin35°≈0.51（m），∴GD＝GE+ED≈0.69+0.51＝1.2（m），答：此刻运动员头部G到斜坡AB的高度约为1.2m．15.（2022•河南）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）．【解答】解：延长EF交DC于点H，由题意得：∠DHF＝90°，EF＝AB＝15米，CH＝BF＝AE＝1.5米，设FH＝x米，∴EH＝EF+FH＝（15+x）米，在Rt△DFH中，∠DFH＝45°，∴DH＝FH•tan45°＝x（米），在Rt△DHE中，∠DEH＝34°，∴tan34°＝＝≈0.67，∴x≈30.5，经检验：x≈30.5是原方程的根，∴DC＝DH+CH＝30.5+1.5≈32（米），∴拂云阁DC的高度约为32米．16．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°，测角仪的高度为1.6m．（Ⅰ）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m）；（Ⅱ）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，请计算本次测量结果的误差．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41．【解答】解：（1）过点A作AE⊥MP，交MP的延长线于点E，连接BC并延长，交AE于点D．则CD⊥AE，BM＝CN＝DE＝1.6m，BC＝MN＝16m，∠ABC＝22°，∠ACD＝45°，设AD＝xm，则CD＝xm，BD＝（16+x）m，在Rt△ABD中，tan22°＝≈0.40，∴x≈10.7m，∴AE＝AD+DE＝10.7+1.6＝12.3（m）．即观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m．（2）12.6﹣12.3＝0.3（m）．∴本次测量结果的误差为0.3m．17．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4m．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出5m的通道，试判断距离B点4m的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AD＝AB＝4（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝8（m），答：新传送带AC的长度为8m；（2）在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴CD＝AC•cos∠ACD＝4（m），在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝4（m），∴BC＝CD﹣BD＝（4﹣4）m，∴PC＝BP﹣BC＝4﹣（4﹣4）＝4（m），∵4＜5，∴货物MNQP需要挪走．18．如图，学校一幢教学楼AB的顶部竖有一块写有校训的宣传牌AC，小同在M点用测倾器测得宣传牌的底部A点的仰角为31°，他向教学楼前进7米到达N点，测得宣传牌顶部C点的仰角为45°，已知广告牌AC的高度