第7章《平行线的证明》

20222023学年北师大版数学八年级上册章节考点精讲精练第7章《平行线的证明》知识互联网知识互联网知识导航知识导航知识点01：定义、命题及证明1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题.

细节剖析：（1）命题一般由条件和结论组成.

（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.

（3）公认的真命题叫做公理.(4)经过证明的真命题称为定理.3.证明:除了公理外，其它的真命题的正确性都要通过推理的方法进行证实，这种演绎推理的过程叫做证明.

细节剖析：实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．知识点02：平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．细节剖析：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.细节剖析：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．知识点03：三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．细节剖析：（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.（2）推论可以当做定理使用.考点提优练考点提优练考点01：平行线的判定1．（2021秋•城阳区期末）如图，∠C+∠D＝180°，∠DAE＝3∠EBF，∠EBF＝27°，点G是AB上的一点，若∠AGF＝102°，∠BAF＝34°，下列结论错误的是（）A．∠AFB＝81° B．∠E＝54° C．AD∥BC D．BE∥FG解：∵∠C+∠D＝180°，∴AD∥BC，故选项C正确，不符合题意；∴∠DAE＝∠CFE，∵∠CFE＝∠EBF+∠BEF，∠DAE＝3∠EBF，∠EBF＝27°，∴∠CFE＝3∠EBF＝81°，∠BEF＝54°，故选项B正确，不符合题意；∴∠AFB＝∠CFE＝81°，故选项A正确，不符合题意；∵∠AGF＝102°，∠BAF＝34°，∴∠AFG＝44°，∵∠E＝54°，∴∠AFG≠∠E，∴BE和FG不平行，故选项D错误，符合题意；故选：D．2．（2022春•番禺区期末）如图，下面推理中，正确的是（）A．∵∠DAE＝∠D，∴AD∥BC B．∵∠DAE＝∠B，∴AB∥CD C．∵∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD D．∵∠D+∠B＝180°，∴AD∥BC解：∵∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，故选：C．3．（2021春•铁西区期末）如图，某工件要求AB∥ED，质检员小李量得∠ABC＝146°，∠BCD＝60°，∠EDC＝154°，则此工件合格．（填“合格”或“不合格”）解：作CF∥AB，如图所示：则∠ABC+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣146°＝34°，∴∠2＝∠BCD﹣∠1＝60°﹣34°＝26°，∵∠2+∠EDC＝26°+154°＝180°，∴CF∥ED，∴AB∥ED；故答案为：合格．4．（2018秋•平度市期末）如图，已知直线EF⊥MN垂足为F，且∠1＝140°，则当∠2等于50°时，AB∥CD．解：∵AB∥CD，∴∠3＝∠4（两直线平行，同位角相等）；又∵∠1+∠3＝180°（平角的定义），∠1＝140°（已知），∴∠3＝∠4＝40°；∵EF⊥MN，∴∠2+∠4＝90°，∴∠2＝50°；故答案为：50°5．（2021秋•市北区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）∵∠1＝∠4（对顶角相等）∴∠2+∠4＝180°（等量代换）∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）又∵∠3＝∠B（已知）∴∠B＝∠ADE（等量代换）∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）6．（2021秋•东西湖区期中）如图，∠B＝42°，∠A+10°＝∠ACB，∠ACD＝64°．求证：AB∥CD．证明：∵∠A+∠ACB+∠B＝180°，∠A+10°＝∠ACB，∴∠A+（∠A+10°）+∠B＝180°∴∠A＝64°，∵∠ACD＝64°，∴∠A＝∠ACD，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．7．（2020春•东平县期末）已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，试说明：CF∥DO．解：∵DE⊥AO于E，BO⊥AO，∴DE∥OB，∴∠EDO＝∠DOF，∵∠CFB＝∠EDO，∴∠CFB＝∠DOF，∴CF∥DO．考点02：平行线的性质8．（2022秋•惠阳区校级月考）如图，AB∥EF，C点在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．则关于结论①AE∥CD；②∠BDC＝2∠1，下列判断正确的是（）A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确解：∵AB∥EF，∴∠ECA＝∠BAC，∠BCF＝∠B，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠1+∠BCD＝90°，∠ECA+∠BCF＝90°，∵BC平分∠DCF，∴∠BCD＝∠BCF，∴∠1＝∠ECA，∴AC平分∠DCE，∵∠EAC＝∠ECA，∴∠EAC＝∠1，∴AE∥CD，①正确；∵∠1＝∠ECA＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC+∠1，∴∠BDC＝2∠1，②正确；故选：A．9．（2022秋•临洮县校级月考）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（）A．15° B．25° C．30° D．45°解：∵CE∥DF，∴∠CEA+∠DFB＝180°，∵∠1+∠CEA＝125°，∠2+DFB＝85°，∴∠1+∠CEA+∠2+DFB＝125°+85°，∴∠1+∠2＝210°﹣180°＝30°．故选：C．10．（2022•柯城区校级开学）如图，QP∥MN，A，B分别为直线MN，PQ上两点，且∠BAN＝60°，射线AE从AM开始绕点A按顺时针方向旋转至AN后立即回转，然后以不变的速度在AM和AN之间不停地来回旋转，射线BF从BQ绕点B按逆时针方向同时开始旋转，射线AE转动的速度是4°/s，射线BF转动的速度是1°/s，在射线BF到达BP之前，有2次射线AE与射线BF互相平行，时间分别是36或60s．解：设射线AE从AM开始绕点A按顺时针方向旋转ts时，射线AE与射线BF互相平行．分三种情况：①如图，当0＜t＜45时，∠QBF＝t°，∠MAE＝（4t）°，∵PQ∥MN，∠BAN＝60°，∴∠ABQ＝∠BAN＝60°，∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝120°，∴∠ABF＝60°﹣t°，∠BAE＝∠MAE﹣∠MAB＝（4t）°﹣120°，当∠ABF＝∠BAE时，AE∥BF，此时，60﹣t＝4t﹣120，解得t＝36；②当45≤t≤60时，∠QBF＝t°，∠NAE＝（4t）°﹣180°，∠BAE＝60°﹣[（4t）°﹣180°]＝240°﹣（4t）°，∵PQ∥MN，∠BAN＝60°，∴∠ABQ＝∠BAN＝60°，∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝120°，∴∠ABF＝60°﹣t°，∠BAE＝240°﹣（4t）°，当∠ABF＝∠BAE时，AE∥BF，此时，60﹣t＝240﹣4t，解得t＝60；③如图，当60≤t＜180时，∠QBF＝t°，∠NAE＝（4t）°﹣180°，∠BAE＝[（4t）°﹣180°]﹣60°＝（4t）°﹣240°，∵PQ∥MN，∠BAN＝60°，∴∠ABQ＝∠BAN＝60°，∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝120°，∴∠ABF＝t°﹣60°，∠BAE＝240°﹣（4t）°，当∠ABF＝∠BAE时，AE∥BF，此时，t﹣60＝4t﹣240，解得t＝60；综上所述，在射线BF到达BP之前，有2次射线AE与射线BF互相平行，时间分别是36或60s．故答案为：2，36或60．11．（2022•丰顺县校级开学）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④，⑤360°﹣α﹣β，可以表示∠AEC的度数的是①②③⑤．（填序号）解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C＝β﹣α．（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，∴∠AE2C＝α+β．当AE2平分∠BAC，CE2平分∠ACD时，∠BAE2+∠DCE2＝（∠BAC+∠ACD）＝×180°＝90°，即α+β＝90°，又∵∠AE2C＝∠BAE2+∠DCE2，∴∠AE2C＝180°﹣（α+β）＝180°﹣α﹣β；（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C＝α﹣β．（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，180°﹣α﹣β，360°﹣α﹣β．故答案为：①②③⑤．12．（2021秋•镇江期末）小明用两张完全相同的长方形纸片按如图所示的方式摆放，一张纸片压住射线OB，另一张纸片压住射线OA且与第一张纸片交于点P，若∠BOP＝25°，则∠AOB＝50°．解：过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，则∠PMO＝∠PNO＝90°，∵两张长方形纸片完全相同，∴PM＝PN，在Rt△POM和Rt△PON中，，∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），∴∠POM＝∠PON，∵∠BOP＝25°，∴∠AOP＝25°，∴∠AOB＝50°，故答案为：50°．考点03：平行线的判定与性质13．（2022春•西乡塘区校级期末）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F＝135°，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB＝90°，∠DEC+∠AEB＝90°，∴∠1＝∠DEC，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC+∠2＝90°，∴∠C＝90°，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，故①正确；∴∠ADN＝∠BAD，∵∠ADC+∠ADN＝180°，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；∵∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，而∠3＝∠1，∴∠2＝∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确；∵∠1+∠2＝90°，∴∠EAM+∠EDN＝360°﹣90°＝270°．∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF＝×270°＝135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4＝90°，∴∠FAD+∠FDA＝135°﹣90°＝45°，∴∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝180﹣45°＝135°，故④正确．综上所述正确的有：①③④，共3个．故选：C．14．（2021秋•开江县期末）小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，小明说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE．”小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”他们四人中，有（）个人的说法是正确的．A．1 B．2 C．3 D．4解：已知EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥EF，（1）若∠CDG＝∠BFE，∵∠BCD＝∠BFE，∴∠BCD＝∠CDG，∴DG∥BC，∴∠AGD＝∠ACB．（2）若∠AGD＝∠ACB，∴DG∥BC，∴∠BCD＝∠CDG，∠BCD＝∠BFE，∴∠CDG＝∠BFE．（3）由题意知，EF∥DC，∴∠BFE＝∠DCB＜∠ACB，如下图，①当DG∥BC时，则∠AGD＝∠ACB＞∠BFE，即∠AGD一定大于∠BFE；②当GD（GD′、GD″）与BC不平行时，如图，设DG∥BC，当点G′在点G的上方时，∵∠AG′D＞AGD，由①知，∠AG′D一定大于∠BFE；当点G″在点G的下方时，见上图，则∠AG″D不一定大于∠BFE，综上，∠AGD不一定大于∠BFE；（4）如果连接GF，则GF不一定平行于AB；综上知：正确的说法有两个．故选：B．15．（2021春•临潼区期末）如图，AB∥CD，EG、EM、FM分别平分∠AEF、∠BEF、∠EFD，则下列结论正确的有（）①∠DFE＝∠AEF；②∠EMF＝90°；③EG∥FM；④∠AEF＝∠EGC．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF，∠DFE+∠BEF＝180°，故①正确，∵ME平分∠BEF，MF平分∠DFE，∴∠MEF＝∠BEF，∠MFE＝∠DFE，∴∠MEF+∠MFE＝（∠BEF+∠DFE）＝90°，∴∠EMF＝90°，故②正确，∵EG平分∠AEF，∴∠GEF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠DFE，∴∠GEF＝∠MFE，∴EG∥MF，故③正确，无法判断∠AEF＝∠EGC，故④错误．故选：C．16．（2021秋•渠县期末）如图，已知∠A＝α（0°＜α＜60°，且α≠45°），在∠A的两边上各任取一点，分别记为P，Q，过该两点分别引一条直线，并使得该直线与∠A所在的边夹角也为α，设两条直线交于点O，则∠POQ的数量应是3α或α或180°﹣α或180°﹣3α．解：有四种情形：当点O在∠A内部时，①如图：此时∠POQ＝3α；②如图：此时∠POQ＝180°﹣α；当点O在AQ下方时，③如图：此时∠POQ＝α；当点O在AP上方时，④如图：此时∠POQ＝180°﹣3α；综上所述：∠POQ的数量应是3α或α或180°﹣α或180°﹣3α，故答案为：3α或α或180°﹣α或180°﹣3α，17．（2021春•零陵区期末）如图，已知AC∥BD，BC平分∠ABD，CE平分∠DCM，且BC⊥CE．则下列结论：①CB平分∠ACD，②AB∥CD，③∠A＝∠BDC，④点P是线段BE上任意一点，则∠APM＝∠BAP+∠PCD．正确的是①②③．解：如图，∵AC∥BD，∵∠2＝∠3∵BC平分∠ABD，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∵CE平分∠DCM，∴∠4＝∠5，∵BC⊥CE．∴∠4+∠6＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∵∠3+∠5＝90°，∴∠3＝∠6，∴CB平分∠ACD，故①正确；∴∠1＝∠6，AB∥CD，故②正确；∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠BDC，故③正确；如图，点P是线段BE上任意一点，∵AB与PC不平行，CD与PM不平行，∴∠BAP≠∠APC，∠PCD≠∠CPM，∴∠APM≠∠BAP+∠PCD．故④不正确．所以正确的是①②③．故答案为：①②③．18．（2019秋•呼兰区期中）如图，在△ABC中，BF、BE分别平分∠ABC和∠ABC的外角，EF＝8，EF∥BC，则BG＝4．解：∵EF∥BC，∴∠GFB＝∠FBC，∠GEB＝∠EBD，∵BF、BE分别平分∠ABC和∠ABC的外角，∴∠EBG＝∠EBD，∠GBF＝∠FBC，∴∠GEB＝∠EBG，∠GBF＝∠GFB，∴EG＝BG，BG＝GF，∴BG＝EF＝，故答案为：4．19．（2022春•思明区校级期末）如图1，G，E是直线AB上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过点E的直线EP交于点P．直线PE交直线CD于点H，满足点E在线段PH上，∠PGB+∠P＝∠PHD．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，点Q在直线AB，CD之间，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，点F，G，Q在同一直线上，且2∠Q+∠P＝120°，求∠QHD的度数；（3）在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N在点B左侧，请直接写出∠MNB和∠PHM的数量关系．（题中所有角都是大于0°且小于180°的角）（1）证明：∵∠PGB+∠P＝∠PHD，∠PGB+∠P＝∠PEB，∴∠PEB＝∠PHD，∴AB∥CD；（2）解：过点Q作QK∥AB，如图，则∠GQK＝∠EGF，由（1）知：AB∥CD，∴QK∥CD，∴∠HQK＝∠CHQ，∴∠GQH＝∠GQK+∠HQK＝∠EGF+∠CHQ，∵GF平分∠PGB，∴∠PGB＝2∠EGF＝2∠GQK，∵PH平分∠QHD，∴∠QHD＝2∠PHD，∵∠PGB+∠P＝∠PHD，∴∠QHD＝2∠PHD＝2∠PGB+2∠P＝4∠GQK+2∠P，∵2∠GQH+∠P＝120°，∴2∠GQK+2∠HQK+∠P＝120°，∴2∠GQK+∠P＝120°﹣2∠HQK＝120°﹣2∠QHC，∴∠QHD＝4∠GQK+2∠P＝2（120°﹣2∠QHC）＝240°﹣4∠QHC，∵∠QHC＝180°﹣∠QHD，∴∠QHD＝240°﹣4（180°﹣∠QHD），解得∠QHD＝160°；即∠QHD的度数为160°；（3）在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N在点B左侧，∠MNB和∠PHM的数量关系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°，理由如下：在（2）的条件下，∠PHD＝∠QHD＝80°，若点M在PG的延长线上，∵AB∥CD，∴∠HEN＝∠PHD＝80°，∵∠MNB+∠PHM+∠HEN＝180°，∴∠MNB+∠PHM＝180°﹣∠HEN＝100°若点M在PG上，∵AB∥CD，∴∠HEN＝∠PHD＝80°，∵∠MNB＝∠PHM+∠HEN，∴∠MNB﹣∠PHM＝∠HEN＝80°；若点M在GP的延长线上，∵AB∥CD，∴∠HEN+∠PHD＝180°，∴∠HEN＝180°﹣∠PHD＝100°，∵∠HME+∠PHM+∠HEN＝180°，∠MNB＝∠HNE，∴∠MNB+∠PHM＝180°﹣∠HEN＝80°．综上所述，点N在点B左侧，∠MNB和∠PHM的数量关系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°．20．（2021秋•电白区期末）如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1＝∠2．（1）判断DG与BC的位置关系，并说明理由；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠3＝85°，且∠DCE：∠DCG＝9：10，试说明AB与CD有怎样的位置关系？解：（1）DG∥BC．理由：∵CD∥EF，∴∠2＝∠BCD．∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BCD，∴DG∥BC；（2）CD⊥AB．理由：∵由（1）知DG∥BC，∠3＝85°，∴∠BCG＝180°﹣85°＝95°．∵∠DCE：∠DCG＝9：10，∴∠DCE＝95°×＝45°．∵DG是∠ADC的平分线，∴∠ADC＝2∠CDG＝90°，∴CD⊥AB．21．（2022春•柘城县期末）如图，已知直线AB∥DF，∠D+∠B＝180°．（1）求证：DE∥BC；（2）如果∠AMD＝75°，求∠AGC的度数．解：（1）∵AB∥DF，∴∠D+∠BHD＝180°，∵∠D+∠B＝180°，∴∠B＝∠BHD，∴DE∥BC；（2）∵DE∥BC，∴∠AGB＝∠AMD，即∠AMD＝75°，∴∠AGB＝75°，∴∠AGC＝180°﹣∠AGB＝180°﹣75°＝105°．考点04：三角形内角和定理22．（2022秋•东光县校级月考）如图，D是△ABC的角平分线BD和CD的交点，过点D作△BCD的高，交BC于点E．若∠A＝70°，∠CDE＝65°，则∠DBE的度数为（）A．30° B．35° C．20° D．25°解：∵DE⊥BC∴∠CED＝90°．∴∠DCB+∠CDE＝90°．∵∠CDE＝65°，∴∠BCD＝25°∵BD、CD分别是∠CBA、∠BCA的平分线，∴∠CBA＝2∠CBD，∠BCA＝2∠BCD＝50°．∵∠A+∠CBA+∠BCA＝180°，∠A＝70°，∴∠CBA+∠BCA＝110°．∴∠CBA＝110°﹣50°＝60°．∴∠DBE＝∠DBC＝30°．故选：A．23．（2022春•巴中期末）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线……，若∠A＝α，则∠A2022为（）°．A． B． C． D．解：∵BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，∴∠ABA1＝∠CBA1＝ABC，∠ACA1＝∠DCA1＝∠ACD，∵∠A＝α，∴∠ACD＝∠ABC+∠A＝2∠CBA1+∠A①，∠DCA1＝∠A1+∠CBA1②，②×2得：2∠DCA1＝2∠A1+2∠CBA1，∴∠ACD＝2∠A1+2∠CBA1③，由①和③得：2∠A1＝∠A，∵∠A＝α，∴∠A1＝A＝，同理∠A2＝A1＝∠A＝α，∠A3＝∠A2＝∠A＝α，•••∴∠A2022＝α＝，故选：B．24．（2022秋•忠县校级月考）如图（甲），D是△ABC的边BC的延长线上一点．∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1．（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝40°，则∠P1的度数为30°；（2）若∠A＝α，则∠P1的度数为α；（用含α的代数式表示）（3）如图（乙），∠A＝α，∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1，∠P1BC、∠P1CD的平分线相交于P2，∠P2BC、∠P2CD的平分线相交于P3，依此类推，则∠Pn的度数为（用n与α的代数式表示）．解：∵P1B、P1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD＝2∠P1CD，∠ABC＝2∠P1BC，而∠P1CD＝∠P1+∠P1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠P1，∴∠P1＝∠A，（1）∵∠ABC＝80°，∠ACB＝40°，∴∠A＝60°，∴∠P1＝30°；（2）∵∠A＝α，∴∠P1的度数为α；（3）同理可得∠P1＝2∠P2，即∠A＝22∠P2，∴∠A＝2n∠Pn，∴∠Pn＝．故答案为：30°，α，．25．（2022秋•临平区月考）如图，直线a，b分别与黑板边缘形成∠1，∠2，小明量出∠1＝71°，∠2＝78°，则可以算出直线a，b形成的锐角的度数＝31°．解：图形化简如下图，∠5为直线a和直线b的夹角，∵∠3＝∠1＝71°，∠4＝∠2＝78°，∴∠3+∠4＝71°+78°＝149°，∴∠5＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣149°，∴∠5＝31°，∴直线a和直线b的夹角为31°．故答案为：31．26．（2022•北碚区校级开学）如图，在△ABC中，∠C＝47°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2＝94°．解：如图，由折叠的性质得：∠D＝∠C＝47°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+94°，则∠1﹣∠2＝94°．故答案为：94°．27．（2021秋•西湖区校级期末）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为3倍角三角形．（2）如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝30°，点A、点B分别是射线OP、OM上的动点；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC的度数．（3）如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的度数．解：（1）∵∠E＝40°，∠F＝35°，∴∠D＝180°﹣40°﹣35°＝105°，∴∠D＝3∠F，∴△ABC为3倍角三角形，故答案为：3；（2）解：∵∠POM＝30°，∴∠OAB+∠OBA＝150°．又∵BC平分∠OBA，AC平分∠OAB，∴∠CBA+∠CAB＝∠OAB+∠OBA＝75°，∴∠C＝105°．①当∠CBA＝2∠CAB时，∵∠CBA+∠CAB＝75°，∴∠BAC＝25°；②当∠CAB＝2∠CBA时，∵∠CBA+∠CAB＝75°，∴∠BAC＝50°；③当∠C＝2∠CAB时，∵∠C＝105°，∴∠BAC＝∠C＝52.5°；④当∠C＝2∠CBA时，∵∠C＝105°，∴∠CBA＝∠C＝52.5°，∴∠BAC＝22.5°．综上，在△ABC中当一个角是另一个角的2倍时，∠BAC等于50°、52.5°、25°或22.5°；（3）解：∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，∴∠BAE＝∠EAO，∠OAF＝∠GAF，∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝90°，∴∠E+∠F＝90°；又∵EF平分∠BOQ，∴∠EOQ＝∠E+∠EAO＝45°①，∠BOQ＝∠ABO+∠BAO＝90°②；①×2﹣②得：∠ABO＝2∠E．若△AEF为3倍角三角形：i）若∠F＝3∠E，∵∠E+∠F＝90°，∴∠E＝22.5°，∴∠ABO＝45°；ii）若∠E＝3∠F，∴∠E＝67.5°，∴∠ABO＝135°（不符合题意，舍去）；iii）若∠EAF＝3∠E，∴∠E＝30°，∴∠ABO＝60°；iv）若∠EAF＝3∠F，∴∠F＝30°，∠E＝60°，∴∠ABO＝120°（不符合题意，舍去）；综上所述，∠ABO等于45°或60°时，△AEF为3倍角三角形．28．（2021秋•新建区校级月考）如图，∠B＝50°，点P在∠ABC内部，∠P的两边分别交AB，BC于点E，F．（1）若PE⊥AB，PF⊥BC．①如图1，则∠P＝130°；②如图2，EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，求∠Q的度数．（2）若∠BEP与∠BFP两角的平分线交于ABC内一点Q，请写出∠Q与∠P的数量关系，并说明理由．解：（1）①∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠BEP＝∠BFP＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠EPF＝360°﹣∠BEP﹣∠BFP﹣∠ABC＝130°，故答案为：130；②∵EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，∴∠QEP＝∠BEP＝45°，∠QFP＝∠BFP＝45°，∴∠Q＝360°﹣∠QEP﹣∠QFP﹣∠EPF＝140°；（2）①四边形BEPF为凸四边形时，如图：∵EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，∴∠BEP＝2∠2，∠BFP＝2∠4，∵∠B+∠BEP+∠BFP+∠P＝360°，∴∠B+2∠2+2∠4+∠P＝360°，而∠B＝50°，∴2∠2+2∠4＝310°﹣∠P，即∠2+∠4＝155°﹣∠P①，又∠2+∠4＝360°﹣∠P﹣∠Q②，由①②可得：155°﹣∠P＝360°﹣∠P﹣∠Q，整理得：∠Q+∠P＝205°．②四边形BEPF为凹四边形时，如图：∵EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠B＝50°，∴2（∠2+∠3）+∠PEF+∠PFE＝130°（Ⅰ），又∠Q+（∠2+∠3）+∠PEF+∠PFE＝180°（Ⅱ），（Ⅱ）×2﹣（Ⅰ）得：2∠Q+∠PEF+∠PFE＝230°（Ⅲ），而∠P+∠PEF+∠PFE＝180°（Ⅳ），（Ⅲ）﹣（Ⅳ）得：2∠Q﹣∠P＝50°；综上所述，∠Q与∠P的数量关系为∠Q+∠P＝205°或2∠Q﹣∠P＝50°．29．（2021春•镇江期末）直线AB、CD为平面内两条直线，点M、点N分别在直线AB、CD上，点P（P不在直线AB、CD上）为平面内一动点．（1）如图1，若AB、CD相交于点O，∠MON＝40°；①当点P在△OMN内部时，求证：∠MPN﹣∠OMP﹣∠ONP＝40°；②小芳发现，当点P在∠MON内部运动时，∠MPN、∠OMP、∠ONP还存在其它数量关系，这种数量关系是∠MPN+∠OMP+∠ONP＝320°；③探究，当点P在∠MON外部时，∠MPN、∠OMP、∠ONP之间的数量关系共有5种；（2）如图2，若AB∥CD，请直接写出∠MPN与∠AMP、∠CNP之间存在的所有数量关系是∠AMP＝∠MPN+∠CNP或∠CNP＝∠MPN+∠AMP或∠AMP+∠CNP+MPN＝360°．（1）①证明：如图1，延长OP至点E，∵∠MPE和∠NPE分别是△MOP和△NOP的外角，∴∠MPE＝∠MOP+∠OMP，∠NPE＝∠NOP+∠ONP，∴∠MPE+∠NPE＝∠MOP+∠NOP+∠OMP+∠ONP，即∠MPN＝∠MON+∠OMP+∠ONP，∴∠MPN﹣∠OMP﹣∠ONP＝∠MON＝40°．②解：如图2，当点P在∠MON内部，且在直线MN右侧时，延长OP至点E，则∠MPO+∠MOP+∠OMP＝180°，∠NPO+∠NOP+∠ONP＝180°，∴∠MPO+∠NPO+∠MOP+∠NOP+∠OMP+∠ONP＝360°，即∠MPN+∠MON+∠OMP+∠ONP＝360°，∴∠MPN+∠OMP+∠ONP＝360°﹣∠MON＝360°﹣40°＝320°．故答案为：∠MPN+∠OMP+∠ONP＝320°．③解：如图3，当点P落在直线MN左侧，且在∠COB内部时，记PN与AB的交点为点E，∵∠OEP是△MEP和△OEN的外角，∴∠OEP＝∠MPN+∠OMP，∠OEP＝∠MON+∠ONP，∴∠MPN+∠OMP＝∠MON+∠ONP，即∠MPN+∠OMP﹣∠ONP＝∠MON，∴∠MPN+∠OMP﹣∠ONP＝40°；如图4，当点P落在直线MN的右侧，且在∠COB内部时，记PN与AB的交点为点E，∵∠OMP是△MEP的外角，∠OEP是△OEN的外角，∴∠OMP＝∠MPN+∠OEP，∠OEP＝∠MON+∠ONP，∴∠OMP＝∠MPN+∠MON+∠ONP，即∠OMP﹣∠ONP﹣∠MPN＝∠MON，∴∠OMP﹣∠ONP﹣∠MPN＝40°；如图5，当点P落在直线MN左侧，且在∠AOD内部时，记PM与CD的交点为点F，∵∠OFP是△MOF和△FNP的外角，∴∠OFP＝∠MON+∠OMP，∠OFP＝∠MPN+∠ONP，∴∠MON+∠OMP＝∠MPN+∠ONP，即∠MPN+∠ONP﹣∠OMP＝∠MON，∴∠MPN+∠ONP﹣∠OMP＝40°；如图6，当点P落在直线MN右侧，且在∠AOD内部时，记PM与CD的交点为点F，∵∠OFP是△MOF的外角，∠ONP是△FNP的外角，∴∠OFP＝∠MON+∠OMP，∠ONP＝∠MPN+∠OFP，∴∠ONP＝∠MPN+∠MON+∠OMP，∴∠MPN+∠OMP+∠ONP＝∠MON＝40°；如图7，当点P落在∠AOC内部时，延长PO至点G，∵∠MOG和∠NOG分别是△MOP和△NOP的外角，∴∠MOG＝∠MPO+∠PMO，∠NOG＝∠NPO+∠PNO，∴∠MOG+∠NOG＝∠MPO+∠NPO+∠PMO+∠PNO，即∠MON＝∠MPN+∠PMO+∠PNO，∴∠MPN+∠PMO+∠PNO＝40°，综上所述：当点P在∠MON外部时，∠MPN、∠OMP、∠ONP之间的数量关系共有5种．（2）解：如图8，当点P在直线MN右侧，且在直线AB上方时，记PN与直线AB的交点为H，∵AB∥CD，∴∠AHP＝∠CNP，∵∠AMP是△MPH的外角，∴∠AMP＝∠MPN+∠AHP，∴∠AMP＝∠MPN+∠CNP，如图9，当点P在直线MN的左侧，且在直线AB上方时，记PN与直线AB的交点为H，∵AB∥CD，∴∠AHP＝∠CNP，∵∠AHP是△MPH的外角，∴∠AHP＝∠MPN+∠AMP，∴∠CNP＝∠MPN+∠AMP，如图10，当点P在直线MN右侧，且在直线AB和直线CD之间时，∵AB∥CD，∴∠BMP+∠PMN+∠PNM+∠PND＝180°，∵∠BMP＝180°﹣∠AMP，∠PND＝180°﹣∠PNC，∠PMN+∠PNM＝180°﹣∠MPN，∴∠AMP+∠CNP+MPN＝360°，如图11，当点P在直线MN左侧，且在直线AB和直线CD之间时，∵AB∥CD，∴∠AMP+∠PMN+∠CNP+∠PNM＝180°，∵∠PMN+∠PNM＝180°﹣∠MPN，∴∠AMP+∠CNP＝∠MPN，如图12，当点P在直线MN右侧，且在直线CD下方时，记PN与CD的交点为H，∵AB∥CD，∴∠AMP＝∠CHP，∵∠CNP是△NHP的外角，∴∠CNP＝∠CHP+∠MPN，∴∠CNP＝∠AMP+∠MPN，如图13，当点P在直线MN的左侧，且在直线CD下方时，记PN与CD的交点为H，∵AB∥CD，∴∠AMP＝∠CHP，∵∠CHP是△PHN的外角，∴∠CHP＝∠MPN+∠CNP，∴∠AMP＝∠MPN+∠CNP，如图14，当点P在NM的延长线上时，∠MPN＝0°，∵AB∥CD，∴∠AMP＝∠CNP，∴∠AMP﹣∠CNP＝∠MPN，如图15，当点P在MN的延长线上时，∠MPN＝0°，∵AB∥CD，∴∠AMP＝∠CNP，∴∠AMP﹣∠CNP＝∠MPN，如图16，当点P在线段MN上（不包含端点）时，∠MPN＝180°，∵AB∥CD，∴∠AMP+∠CNP＝180°，∴∠AMP+∠CNP＝∠MPN，综上所述，当AB∥CD时，∠MPN与∠AMP、∠CNP之间存在的所有数量关系是：∠AMP＝∠MPN+∠CNP或∠CNP＝∠MPN+∠AMP或∠AMP+∠CNP+∠MPN＝360°或∠AMP+∠CNP＝∠MPN．故答案为：∠AMP＝∠MPN+∠CNP或∠CNP＝∠MPN+∠AMP或∠AMP+∠CNP+∠MPN＝360°或∠AMP+∠CNP＝∠MPN．考点05：三角形的外角性质30．（2022秋•嘉祥县月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P1是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（）A．2° B．4° C．8° D．16°解：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP1交于P1，∴∠P1BC＝∠ABC，∠P1CE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC+∠P1，∴（∠A+∠ABC）＝∠P1BC+∠P1＝∠ABC+∠P1，∴∠P1＝∠A＝×128°＝64°，同理∠P2＝∠P1＝32°，∴∠P6＝2°，故选：A．31．（2022春•泌阳县月考）如图，在△ABC中，O是三个内角的平分线的交点，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．若∠ABC＝n°，则∠BOD的度数为（）A．90°+n° B．45°+n° C．90°﹣n° D．90°解：∵∠ABC＝n°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC＝180°﹣n°，∵O是三个内角的平分线的交点，∴∠OBC＝ABC＝n°，∠OCA＝BCA，∠OAC＝BAC，∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣n°）＝90°﹣n°，∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°，∵∠ODC＝∠AOC，∴∠ODC＝∠AOC＝90°+n°，∵∠ODC＝∠OBC+∠BOD，∠OBC＝n°，∴∠BOD＝90°，故选：D．32．（2022秋•钱塘区月考）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ACD是其外角，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；则∠A2＝…；∠A2021BC与∠A2021CD的平分线交于点A2022，则∠A2022＝．解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，即∠ACD＝∠A1+∠ABC，∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1＝∠A＝α，∠A2＝∠A1＝∠A＝，…，以此类推，∠An＝∠A＝，∴∠A2022＝．故答案为：，．33．（2021秋•黄石期末）如图，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是110°．解：∵∠A＝20°，∠C＝50°，∴∠AEB＝∠A+∠C＝70°，∵∠B＝40°，∴∠ADB＝∠AEB+∠B＝70°+40°＝110°，故答案为：110°．34．（2021秋•黄石期末）如图，△ABC的内角∠ABC的平分线BP与外角∠ACD的平分线CP交于点P，连接AP，若∠BPC＝46°，则∠CAP＝44°．解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，如图所示：设∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝46°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣46）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣46°）﹣（x°﹣46°）＝92°，∴∠CAF＝88°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝44°．故答案为：44．35．（2022秋•汇川区校级月考）如图（1），∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在直线与∠ABC的平分线BD交于点D，与∠CBF的平分线BE交于点E．（1）若∠A＝70°，则∠D＝35度；（2）若∠A＝α，求∠E的度数；（3）在图（1）的条件下，沿BA作射线BM，连接AD，如图（2）．求证：AD平分∠MAC．解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∴∠DCG＝∠ACG，∠DBC＝∠ABC，∵∠ACG＝∠A+∠ABC，∴2∠DCG＝∠A+∠ABC＝∠A+2∠DBC，∵∠DCG＝∠D+∠DBC，∴2∠DCG＝2∠D+2∠DBC，∴∠A+2∠DBC＝2∠D+2∠DBC，∴∠D＝∠A＝35°，故答案为：35；（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC＝∠ABC，∠CBE＝∠CBF，∴∠DBC+∠CBE＝（∠ABC+∠CBF）＝90°，即∠DBE＝90°，∴∠D+∠E＝90°，由（1）得∠D＝∠A，∵∠A＝α，∴∠D＝α，∴∠E＝90°﹣α；（3）过D点分别作DH⊥AM于H，DI⊥AC于I，DJ⊥BC与J，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴DH＝DJ，DI＝DJ，∴DH＝DI，∴AD平分∠MAC．36．（2021秋•梁山县校级月考）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数．解：（1）当BD是“邻AB三分线”时，∠ABD＝∠ABC＝15°，则∠BDC＝∠ABD+∠A＝15°+80°＝95°，当BD′是“邻BC三分线”时，∠ABD′＝∠ABC＝30°，则∠BD′C＝∠ABD′+∠A＝30°+80°＝110°，综上所述，∠BDC的度数为95°或110°；（2）在△BPC中，∠BPC＝140°，则∠PBC+∠PCB＝180°﹣140°＝40°，∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，∴∠ABC+∠ACB＝3（∠PBC+∠PCB）＝120°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°．考点06：命题与定理37．（2022秋•灯塔市校级月考）下面真命题的是（）A．矩形的对角线互相垂直 B．菱形是中心对称图形，不是轴对称图形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．依次连接矩形各边的中点，所得四边形是菱形解：A、矩形的对角线互相垂直．错误矩形的对角线相等，不一定垂直，本选项不符合题意；B、菱形是中心对称图形，不是轴对称图形．错误，菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项不符合题意；C、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，错误，缺少对角线互相平分，本选项不符合题意；D、依次连接矩形各边的中点，所得四边形是菱形，正确．本选项符合题意．故选：D．38．（2022秋•海淀区校级期中）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax上的两点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则y1＞y2 B．若y1＞y2，则|x1﹣2|＞|x2﹣2| C．若y1＝y2，则x1＝x2 D．若|x1﹣2|＝|x2﹣2|，则y1＝y2解：∵y＝ax2﹣4ax，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，当a＜0，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则y1＜y2，∴选项A错误，不符合题意．当a＜0，若y1＞y2，则|x1﹣2|＜|x2﹣2|，∴选项B错误，不符合题意．当y1＝y2，P1（x1，y1），P2（x2，y2）关于抛物线对称轴对称或重合，∴选项C错误，不符合题意．若|x1﹣2|＝|x2﹣2|，P1（x1，y1），P2（x2，y2）到对称轴距离相等，∴y1＝y2.选项D正确，符合题意．故选：D．39．（2021秋•通州区期末）小豪发现一个命题：“如果两个无理数a，b，满足a+b≠0，那么这两个无理数的和是无理数．”这个命题是假命题（填写“真命题”，“假命题”）；请你举例说明与．解：如果两个无理数a，b，满足a+b≠0，那么这两个无理数的和是无理数．这个命题