专题06等边三角形的性质(原卷版+解析)

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题06等边三角形的性质考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·嵩县期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．2．（2分）（2021八上·凉山期末）三角形中，最大角的取值范围是（）A． B．C． D．3．（2分）（2021八上·遵义期末）点D、E分别是等边三角形的边、的中点，，F是AD上一动点，则的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．94．（2分）（2021八上·松桃期末）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.55．（2分）（2021八上·灌阳期末）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（）A．8 B．10 C．11 D．126．（2分）（2021八上·河东期末）如图，过边长为4的等边的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A． B．2 C． D．7．（2分）（2021八上·乌兰察布期末）如图所示，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是（）A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③8．（2分）（2021八上·江油期末）下列结论正确的是（）A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等B．两个等边三角形全等C．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等D．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等9．（2分）（2021八上·德阳月考）如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则最小值为()A．2 B．3 C．4 D．610．（2分）（2021八上·句容期末）如图，边长为5的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接.则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（）A．B．1C．2D．评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2021八上·丰台期末）如图，在等边三角形中，，是边的高线，延长至点，使，则BE的长为．12．（2分）（2021八上·本溪期末）如图，和都是等边三角形，连接AD，BD，BE，．下列四个结论中：①≌；②；③；④，正确的是（填写所有正确结论的序号）．13．（2分）（2021八上·延边期末）如图，正三角形ABC中，D是AB的中点，于点E，过点E作与BC交于点F．若，则的周长为．14．（2分）（2021八上·道里期末）如图，是等边三角形，点E在AC的延长线上，点D在线段AB上，连接ED交线段BC于点F，过点F作于点N，，，若，则AN的长为．15．（2分）（2021八上·铁西期末）如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当与的和最小时，度．16．（2分）（2021八上·延边期末）如图，是等腰直角三角形，AB是斜边，以BC为一边在右侧作等边三角形BCD，连接AD与BC交于点E，则的度数为度．17．（2分）（2021八上·灌云期中）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝度.18．（2分）（2021八上·铁东期中）如图，在中，，，以BC为边在BC的右侧作等边，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当的值最小时，的度数为．19．（2分）（2021八上·平阳月考）如图，△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在AC，AB，BC上，若CD=4，BE=6，则AB的长为.20．（2分）（2020八上·江岸月考）如图，等边三角形ABC中，BD⊥AC于D，BC＝8，E在BD上一动点，以CE为边作等边三角形ECP，连DP，则DP的最小值为.评卷人得分三．解答题（共7小题，满分60分）21．（5分）（2021八上·盐池期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使．求证：．22．（5分）（2021八上·建邺期末）如图，在中，，和都是等边三角形，和交于点，求证：.23．（9分）（2021八上·覃塘期中）如图，已知ABC是等边三角形，点M，N分别在CB，BC的延长线上，且BM＝CN.（1）（4分）求证：AM＝AN；（2）（5分）在（1）的条件下，作∠AMN的平分线MF，MF与AB，AC，AN分别交于点D，E，F，若AD＝MD.求证：MF＝AC+CN.24．（13分）（2021八上·遵义期末）数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”.几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来.下面是一道探索几何图形中线段AE与DB数量关系的例子：已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC.小强的思路是：（1）（3分）（特例探索）如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（选填“＞”、“＜”或“＝”）.（2）（5分）（特例引路）如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论并加以理由说明，格式如：答：AE▲DB（选填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC交AC于点F.（请你将接下来的解答过程补充完整）.（3）（5分）（拓展延伸）在等边三角形ABC中，当点E在直线AB上（在线段AB外），点D在线段CB的延长线上时，同样ED＝EC，若已知△ABC的边长为1，AE＝2，则请你帮助小强求出CD的长.（请你画出相应图形，并简要写出求CD长的过程）.25．（8分）（2019八上·同安期中）如图，△ABC是边长为10的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合）．（Ⅰ）如图1，若点Q是BC边上一动点，与点P同时以相同的速度由C向B运动（与C、B不重合）．求证：BP＝AQ；（Ⅱ）如图2，若Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D，在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．26．（10分）（2019八上·越秀期中）已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC．（1）（5分）如图1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE于点M．①求证：∠FEA=∠FCA；②猜想线段FE，AD，FD之间的数量关系，并证明你的结论；（2）（5分）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的异侧时，利用图2画出图形探究线段FE，AD，FD之间的数量关系，并直接写出你的结论．27．（10分）（2021八上·望花期末）已知，点P、点Q分别是等边△ABC的边AB、BC所在直线上的动点（端点除外）．点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，连接AQ、CP，直线AQ、CP相交于点M．（1）（5分）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上时，①求证：△ABQ≌△CAP；②当点P、点Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（2）（5分）如图2，当点P、Q分别在AB、BC的延长线上运动时，请直接写出∠QMC的度数．2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题06等边三角形的性质考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·嵩县期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．【答案】D【完整解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB＝60°，∵BD是AC上的中线，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，

又CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠CBD＝∠DEC，∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，故A、B、C均正确．故答案为：D．【思路引导】利用等边三角形性质得∠ABC=∠ACB＝60°，∠ADB＝∠CDB＝90°；∠ABD＝∠CBD＝30°，再利用三角形的外角的性质及等腰三角形的性质可得到∠CDE＝∠CED＝30°，可对A作出判断；由此可推出∠CBD=∠DEC，同时可求出∠BDE的度数，可对B作出判断；利用等角对等边可证得DE=DB，可对C作出判断；不能证明DE=AB，可对D作出判断.2．（2分）（2021八上·凉山期末）三角形中，最大角的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【完整解答】解：根据题意得：最大角，当三角形为等边三角形时，三角形的三个内角相等，且，∴最大角a的取值范围是.故答案为：D.【思路引导】根据三角形的内角和定理可得α<180°，当三角形为等边三角形时，α=60°，据此可得α的范围.3．（2分）（2021八上·遵义期末）点D、E分别是等边三角形的边、的中点，，F是AD上一动点，则的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【完整解答】解：连接CE，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），∵E是AB的中点，△ABC是等边三角形，由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，∵等边△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=6，即BF+EF=6.故答案为：A.【思路引导】连接CE，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，根据等边三角形的性质可得CE⊥AB，根据轴对称的性质可得BF+EF=CF，推出AD是BC的垂直平分线，得到CF=BF，则BF+EF=CF+EF=CE，证明△ADB≌△CEB，得到CE=AD=6，据此解答.4．（2分）（2021八上·松桃期末）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】C【完整解答】解：连接BE，∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，∴∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，∵EF⊥AB，∴∠D=90°-∠ABC=30°，即∠D=∠CBE=30°，∴BE=DE，在Rt△BEF中，EF=1，∴BE=2EF=2，∴BE=DE=2，∴DF=EF+DE=3，故答案为：C.【思路引导】连接BE，根据等边三角形的性质得∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，易求∠D=30°，即得∠D=∠CBE，由等角对等边可得BE=DE，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE=2EF=2，即得DE=2，从而得出DF=EF+DE=35．（2分）（2021八上·灌阳期末）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（）A．8 B．10 C．11 D．12【答案】B【完整解答】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH=GH，∠FHG=60°，∴∠AHF+∠GHC=120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC=5，∠ACB=∠A=60°，∵∠AHF=180°-∠FHG-∠GHC=120°-∠GHC，∠HGC=180°-∠C-∠GHC=120°-∠GHC，∴∠AHF=∠HGC，在△AFH和△CHG中，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF=CH.∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE=FH，∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF，=(BD+DF+AF)+(CE+BE)，=AB+BC=10.故答案为：B.【思路引导】利用AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF=CH，由于△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，可得BE=FH，由于五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF=(BD+DF+

AF)+(CE+BE)=AB+BC，据此计算即可.6．（2分）（2021八上·河东期末）如图，过边长为4的等边的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A． B．2 C． D．【答案】B【完整解答】解：过P作，交AC于M，∵是等边三角形，∴，，∴是等边三角形，又∵，∴，∵，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：B．

【思路引导】过P作，交AC于M，得出是等边三角形，推出，根据等腰三角形的性质证出，推出，即可得出结论。7．（2分）（2021八上·乌兰察布期末）如图所示，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是（）A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③【答案】A【完整解答】解：和是正三角形，，，，，，，，故①符合题意，，故②符合题意；，，，故③符合题意；，，，．，，是等边三角形，故④符合题意；故答案为：A．

【思路引导】根据三角形全等的判定、等边三角形的性质判断各选项即可得出答案。8．（2分）（2021八上·江油期末）下列结论正确的是（）A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等B．两个等边三角形全等C．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等D．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等【答案】D【完整解答】解：A、∵两个三角形全等至少有一条边对应相等，错误；

B、两个等边三角形三个角对应相等，但对应边不一定相等，∵两个三角形全等至少有一条边对应相等，错误；

C、一条斜边对应相等，且有一个直角边对应相等的两个直角三角形全等，错误；

D、顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等，正确；

故答案为：D.【思路引导】三角形全等的判定定理有：边角边、角角边、角边角和边边边定理，利用HL可证直角三角形，逐项分析即可判断.9．（2分）（2021八上·德阳月考）如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则最小值为()A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【完整解答】解：设BE与AC交于点P'，连接BD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴点B与D关于AC对称，

∴P'D=P'B，

∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小，

∵正方形ABCD的面积为16，

∴AB=4，

∵△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=4，

∴PD+PE的最小值为4.

故答案为：C.

【思路引导】由于点B与D关于AC对称，连接BE，与AC的交点即为P点，此时PD+PE=BE最小，根据正方形ABCD的面积为16，得出AB=4，根据等边△ABE的性质得出BE=AB，即可得出答案.10．（2分）（2021八上·句容期末）如图，边长为5的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接.则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（）A．B．1C．2D．【答案】A【完整解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN=60°，又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，∴∠HBN=∠GBM，∵CH是等边△ABC的对称轴，∴HB=AB，∴HB=BG，又∵MB旋转到BN，∴BM=BN，在△MBG和△NBH中，，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG=NH，根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，此时∵∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×5=2.5，∴MG=CG=，∴HN=.故答案为：A.【思路引导】取BC的中点G，连接MG，根据旋转角为60°可得∠MBH+∠HBN=60°，根据等边三角形的性质可得∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，推出∠HBN=∠GBM，易得HB=AB，则HB=BG，根据旋转的性质可得BM=BN，证明△MBG≌△NBH，得MG=NH，由垂线段最短可知：MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，此时∠BCH=30°，CG=AB=2.5，据此求解.二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2021八上·丰台期末）如图，在等边三角形中，，是边的高线，延长至点，使，则BE的长为．【答案】3【完整解答】解：三角形是等边三角形，BC＝AC＝2，又是边的高线，DC＝，＝1，，故答案为：3.

【思路引导】根据等边三角形的性质可得CD=AC=1，所以CE=CD=1，再利用BE=BC+CE计算即可。12．（2分）（2021八上·本溪期末）如图，和都是等边三角形，连接AD，BD，BE，．下列四个结论中：①≌；②；③；④，正确的是（填写所有正确结论的序号）．【答案】①③【完整解答】解：和都是等边三角形，，，，，故①符合题意；，在四边形中，，，故②不符合题意；，，，，，故③符合题意；，，不一定等于，不一定成立，故④不符合题意；故答案是：①③．

【思路引导】由“SAS”可证，故①正确，由全等三角形的性质和四边形内角和定理可得，故②错误，先求出∠ADB=90°，由勾股定理可得，故③正确，由∠ADC的大小无法确定，可得∠BED不一定为90°，故④错误，即可求解。13．（2分）（2021八上·延边期末）如图，正三角形ABC中，D是AB的中点，于点E，过点E作与BC交于点F．若，则的周长为．【答案】18【完整解答】解：是等边三角形，，，，，为等边三角形，，由于D是AB的中点，故，，，在中，，，，，故答案为：18．

【思路引导】由等边三角形的性质得出，，再由含30度角的直角三角形的性质得出，则，再证出为等边三角形，即可求解。14．（2分）（2021八上·道里期末）如图，是等边三角形，点E在AC的延长线上，点D在线段AB上，连接ED交线段BC于点F，过点F作于点N，，，若，则AN的长为．【答案】22【完整解答】解：作DG∥AC交BC于G，∵是等边三角形，∴，∴∠DGB=∠ACB=60°，∠DGF=∠ECF，∵∠DFG=∠EFC，，∴△DFG≌△EFC，∴，∵∠DGB=∠ACB=60°，∴是等边三角形，∴，∵，设，则，∵，∴，∴，∴，，，，则，，AN的长为27-5=22，故答案为：22．

【思路引导】作DG∥AC交BC于G，根据是等边三角形，证出△DFG≌△EFC，得出，再证出是等边三角形，得出，设，则，根据垂直的性质得出a的值即可。15．（2分）（2021八上·铁西期末）如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当与的和最小时，度．【答案】30【完整解答】解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE≥BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE=60°，∵BA=BC，AE=EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=30°，∵PB=PC，∴∠PCB=∠PBC=30°，∴∠ACP=30°，故答案为：30．

【思路引导】连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，根据△ABC是等边三角形，AD⊥BC，得出PC=PB，即BE就是PE+PC的最小值，根据△ABC是等边三角形，得出BE⊥AC，从而得出∠ACP的度数。16．（2分）（2021八上·延边期末）如图，是等腰直角三角形，AB是斜边，以BC为一边在右侧作等边三角形BCD，连接AD与BC交于点E，则的度数为度．【答案】75【完整解答】解：∵是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠ABC=∠BAC=45°，∠ACB=90°，∵△BCD是等边三角形，∴BC=CD，∠BCD=60°，∴AC=CD，∠ACD=90°+60°=150°，∴是等腰三角形，∴，∴，∴；故答案为：75．

【思路引导】结合等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质得出AC=CD，∠ACD=90°+60°=150°，进而求解，再利用直角三角形的性质及对顶角的性质可求解。17．（2分）（2021八上·灌云期中）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝度.【答案】30【完整解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH.∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，故答案为30.【思路引导】作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH，根据等边三角形的性质和平行线的性质得出有关角或边相等，利用SAS证明△ABM≌△CHN，得出BM＝HN，根据两点之间线段最短得出B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，由△ABM≌△CHN，求出∠ABM=45°，然后由角的和差关系求出∠DBM＝15°，从而求出∠MBN的度数即可.18．（2分）（2021八上·铁东期中）如图，在中，，，以BC为边在BC的右侧作等边，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当的值最小时，的度数为．【答案】15°【完整解答】解：连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，∵△BCD是等边三角形，点E为BC的中点，∴∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，BC=CD，CE⊥BD，BE=DE，∴CE为线段BD的垂直平分线，∴PD=BP，∴当点P运动时，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，∴当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值，连接BP1，则BP1=DP1，∴∠P1BD=∠P1DB，又∠CBD=∠BDC，∴∠CBP1=∠CDP1，∵AC=BC=CD，∴∠CDP1=∠CAD，即延长AC至Q，∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，∴∠DCQ=90°﹣60°=30°，又∠DCQ=∠CDP1+∠CAD=2∠CDP1，∴∠CDP1=15°，即∠CBP1=15°，∴当的值最小时，=15°，故答案为：15°．【思路引导】连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，因为△BCD是等边三角形，点E为BC的中点，得出CE为线段BD的垂直平分线，PD=BP，当点P运动时，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值，连接BP1，则BP1=DP1，得出∠CDP1=∠CAD，延长AC至Q，得出∠CBP1=15°，推出当的值最小时，=15°。19．（2分）（2021八上·平阳月考）如图，△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在AC，AB，BC上，若CD=4，BE=6，则AB的长为.【答案】【完整解答】解：如图，在EB上取一点G，使EG=AD，连接FG，∵∠A=90°-∠B=60°，

∵△DEF为等边三角形，

∴∠DEF=60°，DE=EF，

∵∠FEG+∠AED=180°-∠DEF=120°，∠ADE+∠AED=180°-∠A=120°，

∴∠ADE=∠FEG，

在△AED和△GEF中，

AD=EG∠ADE=∠FEGDE=EF，

∴△AED≌△GEF（SAS），

∴∠FGE=∠DAE=60°，

∴∠GFB=∠FGE-∠B=30°，

∴∠B=∠GFB，

∴GB=GF，

设AD=EG=x，

∴BG=BE-EG=6-x，

∴AE=FG=GB=6-x，

∴AB=AE+EG+GB=2（6-x）+x=12-x，

∵AC=AD+CD=x+4，

∵∠B=30°，∠C=90°，

∵2AC=AB，

∴2（x+4）=12-x，

解得：x=，

∴AB=12-x=12-=.

故答案为：.

【思路引导】在EB上取一点G，使EG=AD，连接FG，根据等边三角形的性质得出∠DEF=60°，DE=EF，然后利用角的和差关系求出∠ADE=∠FEG，则可利用SAS证明△AED≌△GEF，得出∠FGE=∠DAE，AD=EG，通过三角形外角的性质求出△FGB为等腰三角形，设AD=EG=x，然后把AC和AB用x表示出来，结合AB=2AC建立方程求解，即可求出AB长.20．（2分）（2020八上·江岸月考）如图，等边三角形ABC中，BD⊥AC于D，BC＝8，E在BD上一动点，以CE为边作等边三角形ECP，连DP，则DP的最小值为.【答案】2【完整解答】解：如图，连接AP，∵△ABC为等边三角形，BD⊥AC，BC=8，∴BC=AC=AB=8，DA=DC=4，∠BCA=∠ABC=60°，∠CBE=30°，∵△CEP为等边三角形，∴CE=CP，∠PCE=60°，∴∠PCE=∠ACB，∴∠BCE=∠ACP，∴在△BCE和△ACP中，∴△BCE≌△ACP（SAS），∴∠CBE=∠CAP=30°，AP=BE，∴当DP⊥AP时，DP值最小，此时∠APD=90°，∠CAP=30°，DA=4，∴DP=2.故答案为：2.【思路引导】连接AP，由等边三角形的性质可得BC=AC=AB=8，DA=DC=4，∠BCA=∠ABC=60°，∠CBE=30°，CE=CP，∠PCE=60°，证明△BCE≌△ACP，得到∠CBE=∠CAP=30°，AP=BE，推出当DP⊥AP时，DP值最小，据此求解.三．解答题（共7小题，满分60分）21．（5分）（2021八上·盐池期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使．求证：．【答案】证明：∵是等边三角形，∴，．∵是中线，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．【思路引导】对图形进行角标注，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠1=60°，∠2=∠ABC=30°，由等腰三角形的性质得∠E=∠3，由外角的性质得∠1=∠E+∠3=60°，故∠E=∠3=30°，则∠E=∠2=30°，据此证明.22．（5分）（2021八上·建邺期末）如图，在中，，和都是等边三角形，和交于点，求证：.【答案】∵和都是等边三角形；∴，∵，∴在中，∴【思路引导】由等边三角形的性质可得∠ACP=∠CBQ=60°，由角的构成可求得∠BCP=30°，在三角形BCH中，由三角形的内角和等于180°可求解.23．（9分）（2021八上·覃塘期中）如图，已知ABC是等边三角形，点M，N分别在CB，BC的延长线上，且BM＝CN.（1）（4分）求证：AM＝AN；（2）（5分）在（1）的条件下，作∠AMN的平分线MF，MF与AB，AC，AN分别交于点D，E，F，若AD＝MD.求证：MF＝AC+CN.【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵点M，N分别在CB，BC的延长线上，∴∠ABM＝∠ACN＝120°，又BM=CN，∴△ABM≌△CAN（SAS），∴BM=CN；（2）证明：∵MF是∠AMN的平分线，∴∠AMF=∠CMF，∵AD=MD，∴∠AMF=∠MAB，∴∠AMF=∠MAB=∠CMF，又由（1）知：∠NAC=∠MAB，∠BAC=∠ACB=60°，∴∠MAB+∠BAC=∠CMF+∠ACB，即∠MAE=∠MEA，∴MA=ME，∵∠MAF=∠MAE+∠NAC=∠MAE+∠AMF=∠MEC，∴△MEC≌△MAF（ASA），∴MF=MC，又AC=BC，CN=BM，∴MF=AC+CN.【思路引导】（1）由题意用边角边可证△ABM≌△CAN，根据全等三角形的对应边相等可求解；

（2）由角平分线定义得∠AMF=∠CMF，结合等边对等角得∠AMF=∠MAB=∠CMF，结合三角形外角的性质得∠MAE=∠MEA，由等角对等边得MA=ME，由角的构成可得∠MAF=∠MAE+∠NAC=∠MAE+∠AMF=∠MEC，用角边角可证△MEC≌△MAF，由全等三角形的对应边相等得MF=MC，于是MF=MC=BC+MB=AC+CN可求解.24．（13分）（2021八上·遵义期末）数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”.几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来.下面是一道探索几何图形中线段AE与DB数量关系的例子：已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC.小强的思路是：（1）（3分）（特例探索）如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（选填“＞”、“＜”或“＝”）.（2）（5分）（特例引路）如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论并加以理由说明，格式如：答：AE▲DB（选填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC交AC于点F.（请你将接下来的解答过程补充完整）.（3）（5分）（拓展延伸）在等边三角形ABC中，当点E在直线AB上（在线段AB外），点D在线段CB的延长线上时，同样ED＝EC，若已知△ABC的边长为1，AE＝2，则请你帮助小强求出CD的长.（请你画出相应图形，并简要写出求CD长的过程）.【答案】（1）＝（2）解：＝；理由如下，过点E作EF//BC，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠A=60°，AB=AC，∵EF//BC，∴AEF=∠ABC=60°，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF=AF，∴AB-AE=AC-AF，∴BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，DE=CE∠DEB=∠ECF∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，则AE＝DB；（3）解：点E在AB延长线上时，如图3所示，作EF//BC，交AC的延长线于点F，则△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝2，BE=CF，∠ABC=∠DBE=∠F=60°，在△DBE和△EFC中，DE=CE∠DEB=∠ECF∴△DBE≌△EFC，∴DB＝EF＝2，BC＝1，则CD＝BC+DB＝3.【完整解答】解：（1）AE＝DB，理由如下：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∵点E为AB的中点，∴∠ECD＝∠ACB＝30°，∴∠EDC＝30°，∵∠CBE=∠D+∠DEB=60°，∴∠D＝∠DEB＝30°，∴DB＝BE，∵AE＝BE，∴AE＝DB；故答案为：＝；【思路引导】(1)由E为等边三角形AB边的中点，由等腰三角形的性质得出CE⊥AB，且CE为角平分线，由ED=EC，利用等腰三角形的性质得到∠EDC＝∠ECD=30°，再利用三角形外角的性质求出∠DEB=30°，则可得出∠D=∠DEB，最后利用等腰三角形的性质即可得证；(2)过点E作EF//BC，交AC于点F，由△ABC为等边三角形，得到△AEF为等边三角形，则可得出AE=EF=AF，BE=FC，再利用三角形外角的性质和角的和差关系求出∠DEB＝∠ECF，结合ED=EC，利用SAS证明△DBE≌△EFC，得出DB=EF，即可得证；

(3)当点E在AB延长线上时，同理可证△DBE≌△EFC，得出DB=EF，最后利用线段的和差关系求CD的长即可.25．（8分）（2019八上·同安期中）如图，△ABC是边长为10的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合）．（Ⅰ）如图1，若点Q是BC边上一动点，与点P同时以相同的速度由C向B运动（与C、B不重合）．求证：BP＝AQ；（Ⅱ）如图2，若Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D，在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAP＝∠ACQ＝60°，∵AP＝CQ，∴△BAP≌△ACQ（SAS），∴BP＝AQ．（Ⅱ）解：当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，∵点P、Q速度相同，∴AP＝BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，∴∠APE＝∠BQF，∴在△APE和△BQF中，，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE＝EF，∵EB+AE＝BE+BF＝AB，∴DE＝AB，又∵等边△ABC的边长为10，∴DE＝5，∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．【思路引导】（Ⅰ）证明△BAP≌△ACQ（SAS）即可解决问题．（Ⅱ）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP＝BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE＝BE+BF＝AB，DE＝AB，由等边△ABC的边长为10可得出DE＝5，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．26．（10分）（2019八上·越秀期中）已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC．（1）（5分）如图1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE于点