专题07乘法公式与多项式的因式分解重难点题型专训(原卷版+解析)

专题07乘法公式与多项式的因式分解重难点题型专训【题型目录】题型一运用平方差公式进行运算问题题型二运用完全平方公式进行运算问题题型三乘法公式在几何图形中的应用题型四整式的混合运算题型五提公因式法分解因式题型六运用公式法分解因式题型七十字相乘法题型八分组分解法题型九因式分解的应用【经典例题一运用平方差公式进行运算问题】知识点一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如【例1】（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）化简的结果是（

）A． B． C． D．【变式训练】【变式1】（2023春·七年级课时练习）计算，结果的个位数字是（）A．6 B．5 C．8 D．7【变式2】（2022秋·上海浦东新·七年级统考期中）若，则的值为________．【变式3】（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图1，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形，然后将图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．(1)上述操作能验证的等式是______（用，表示）；(2)请利用你从（1）得出的等式，完成下列各题：①已知，，则______；②计算：．【经典例题二运用完全平方公式进行运算问题】知识点一、完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：知识点二、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.知识点三、补充公式；；；.【例2】（2023春·七年级课时练习）观察下列各式及其展开式：请你猜想的展开式第三项的系数是（

）；；；；A． B． C． D．【变式训练】【变式1】（2022秋·海南海口·八年级校考期中）若a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为(

)A．0 B．1 C．2 D．3【变式2】（2022秋·山东东营·九年级东营市东营区实验中学校考期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”则展开式中所有项的系数和是________．…【变式3】（2022秋·重庆璧山·八年级校考期末）在学习分式这一章节时，璧山中学的小宏在网上查找资料时看到了这样一个的问题：“已知，求的值．”小宏在向老师请教之后，给出了如下做法：∵，∴，故．又∵，（分子分母同时除以）且，∴原分式的值为．(1)若，根据小宏的解答，求的值．(2)小宏在解决上述问题后，结合学过的完全平方公式有了新的想法：∵恒成立，且，∴也是恒成立的．∴．”小宏根据上述结论得到：“就应该恒成立，∴的最小值为．”结合两段材料，求的最小值，并求此时的取值．【经典例题三乘法公式在几何图形中的应用】【例3】（2021春·浙江·七年级期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式训练】【变式1】（2020春·江苏南京·七年级统考期末）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形．从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【变式2】（2021·安徽芜湖·统考二模）很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等．【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算：？【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法：【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出______=______（用含n的代数式表示）；【拓展应用】根据以上结论，计算：的结果为________．【变式3】（2022秋·四川巴中·八年级校考阶段练习）如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状，拼成一个正方形．(1)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法①．方法②；(2)观察图b，请你写出三个代数式，，mn之间的等量关系是；(3)若，，利用（2）题中提供的等量关系计算：；(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来解释，如图C，它表示了，现有一个代数恒等式，请用一个几何图形的面积来解释它的正确性．【经典例题四整式的混合运算】【例4】（2023春·七年级课时练习）已知实数m，n满足，则的最小值为（）A． B． C． D．【变式训练】【变式1】（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）将多项式除以后得商式，余式为0，则的值为（

）A．3 B．23 C．25 D．29【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是______．【变式3】（2023秋·北京海淀·七年级人大附中校考期末）对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式，若将其写成的形式，就能看出不论字母取何值，它都表示正数；若将它写成的形式，就能与代数式建立联系．下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律：x﹣2﹣10123105212517p5212(1)表中p的值是；(2)观察表格可以发现：若时，，则时，．我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值延后，此时延后值为1．①若代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；②已知代数式参照代数式取值延后，请直接写出的值．【经典例题五提公因式法分解因式】知识点一、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.知识点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【例5】（2021春·河北邢台·七年级统考期末）已知，那么代数式的值是（

）A．2000 B．－2000 C．2001 D．－2001【变式训练】【变式1】（2022春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）已知a、b、c是正整数，且，，则等于（

）A．1 B．1或7 C．－1 D．－1或－7【变式2】（2022秋·山东威海·八年级统考期中）已知，，，那么代数式的值是______．【变式3】（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程解：设①，将①带入原式后，原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）请根据上述材料回答下列问题：(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法；(2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果；(3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解【经典例题六运用公式法分解因式】知识点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.知识点二、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.【例6】（2020·内蒙古包头·九年级统考学业考试）下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．【变式训练】【变式1】（2020·山西·八年级统考阶段练习）多项式与的公因式是（

）A． B． C． D．【变式2】（2021·全国·九年级专题练习）若a+b=2，ab=3，则代数式a3b+2a²b²+ab3的值为________．【变式3】（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务．把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）．它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．把分解因式．该因式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，再将此项减去，即可得．这种方法叫填项法．任务：请你仿照上面的做法，将下列各式分解因式．(1)；(2)．【经典例题七十字相乘法】知识点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.知识点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.【例7】（2022秋·全国·八年级专题练习）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则的值为（

）A．1 B．5 C． D．【变式训练】【变式1】（2021秋·全国·八年级专题练习）因式分解，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（

）．A． B．C． D．【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下面材料：分解因式：．因为，设．比较系数得，．解得．所以．解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．【变式3】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）利用多项式乘以多项式的法则，可以计算，反过来．请仔细观察，一次项系数是两数之和，常数项是这两数之积，二次项系数是1，具有这种特点的二次三项式可利用进行因式分解．根据上述阅读，解决下列问题：(1)已知关于x的二次三项式有一个因式是，求另一个因式和k的值；(2)甲，乙两人在对二次三项式进行因式分解时，甲看错了一次项系数，分解的结果为，乙看错了常数项，分解的结果为，求这个二次三项式，并将其进行正确的因式分解．【经典例题八分组分解法】知识点一、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组

③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项

二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式知识点二：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【例8】（2022秋·八年级单元测试）已知实数m，n，p，q满足，，则（

）A．48 B．36 C．96 D．无法计算【变式训练】【变式1】（2021春·全国·八年级专题练习）若实数x满足x2-2x-1=0，则2x3-7x2+4x-2019的值为（

）A．-2019 B．-2020 C．-2022 D．-2021【变式2】（2022·北京·九年级专题练习）阅读下面材料：分解因式：．因为，设．比较系数得，．解得．所以．解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．【变式3】（2022秋·四川宜宾·八年级统考期中）观察下列多项式的分解因式做法：①；②；③…(1)模仿以上做法，对分解因式；(2)观察以上结果，猜想___________；（n为正整数，直接写结果，不用验证）(3)根据以上结论，试求的值．【经典例题九因式分解的应用】【例8】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）已知，则多项式的值为（

）A．24 B．18 C． D．【变式训练】【变式1】（2022秋·北京·八年级校考阶段练习）在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法生成的密码可以是（

）A． B． C． D．【变式2】（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）若a、b是的两条边的长度，且满足，则面积的最大值是__________．【变式3】（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式．原式．求代数式的最小值．可知当时，有最小值．根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)填空：；；(2)利用配方法分解因式：（注意：用其它方法不给分）(3)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．【培优检测】1．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）已知是完全平方式，则常数k等于（）A．8 B． C．16 D．8或2．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）设，是实数，定义一种新运算：．则下列结论中正确的有（

）①；②；③A．①②③ B．①② C．②③ D．①③3．（2022秋·重庆渝北·八年级重庆市两江育才中学校校考期末）已知，，则代数式的值为（

）A．8 B．18 C．19 D．254．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知有理数a，b，c满足，，则（

）A． B． C． D．5．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）把多项式分解因式，结果是（

）A． B．C． D．6．（2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）已知，，，则的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．37．（2022秋·山东淄博·九年级统考期中）将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．例如，由图（1）可得等式：．将图（2）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（

）A． B． C． D．8．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知满足，则的值为（

）A．1 B．－5 C．－6 D．－79．（2023秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）已知已知，，且，则值为_______．10．（2022秋·山东烟台·八年级统考期中）若，，则的值为________．11．（2022秋·山东泰安·八年级校联考期中）已知，，，则多项式的值为______．12．（2021春·江苏常州·七年级校考期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和．现有这三种纸片各8张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为_________．13．（2022春·福建三明·七年级校考阶段练习）若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则A－2022的末位数字是________．14．（2022·辽宁大连·统考一模）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是___________.15．（福建省漳州市2022—2023学年八年级上学期期末考试数学试卷）将两数和（差）的平方公式：，通过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若，，求的值．解：，，．请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：(1)若，，求的值；(2)将边长为x的正方形和边长为y的正方形按如图所示放置，其中点D在边上，连接，，若，，求阴影部分的面积．16．（2022秋·广西南宁·八年级校考期中）阅读材料：完全平方公式是．选取二次三项式中两项，配成完全平方式的过程叫配方，例如：叫配方请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，将二次三项式配方得：（______）______；∴______0（填“>”，“<”，“=”）(2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由．17．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）【实践探究】小明在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块，进行实践探究：(1)现取其中两个拼成一个大长方体，如图2，据此写出一个多项式的因式分解：________________．【问题解决】(2)若要用这四种长方体拼成一个棱长为的正方体，需要②号长方体________个，③号长方体_____个，据此写出一个多项式的因式分解：____________________．【拓展与延伸】(3)如图3，在一个边长为的正方体中挖出一个边长为的正方体，据此写出______________．18．（2022秋·宁夏银川·九年级校考阶段练习）阅读理解并解答：【方法呈现】(1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小或最大问题．例如：，，．则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______．【尝试应用】(2)求代数式的最小或最大值，并写出相应的的值．(3)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．19．（2023秋·河北邯郸·八年级校考期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：___________；(2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值；(3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．20．（2022秋·全国·八年级专题练习）(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：①

__________；②

__________．(3)【探究与拓展】对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：①

分解因式__________；②

若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．专题07乘法公式与多项式的因式分解重难点题型专训【题型目录】题型一运用平方差公式进行运算问题题型二运用完全平方公式进行运算问题题型三乘法公式在几何图形中的应用题型四整式的混合运算题型五提公因式法分解因式题型六运用公式法分解因式题型七十字相乘法题型八分组分解法题型九因式分解的应用【经典例题一运用平方差公式进行运算问题】知识点一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如【例1】（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题可知，原式由两个平方差公式组成，因此利用平方差公式计算即可．【详解】解：故选：D．【点睛】本题考查平方差公式的运用，字母较多，计算时要小心谨慎．【变式训练】【变式1】（2023春·七年级课时练习）计算，结果的个位数字是（）A．6 B．5 C．8 D．7【答案】B【分析】根据平方差公式将原式可化简为．求出2的乘方的前几项，总结出其个位数字依次为并依次循环出现．从而即得出的个位数字为6，进而得出的个位数字为5．【详解】解：…．∵，，，，，…，即其个位数字依次为并依次循环出现．∵，∴的个位数字为6，∴的个位数字为．故选B．【点睛】本题考查平方差公式的应用，数字类变化规律．正确利用平方差公式化简，并找出个位数字规律性的出现是解决问题的关键．【变式2】（2022秋·上海浦东新·七年级统考期中）若，则的值为________．【答案】【分析】先根据平方差公式进行分解，再计算能约分的直接约分即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查平方差公式的应用，有理数的混合运算，解题关键是巧用平方差公式达到简化计算的目的．【变式3】（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图1，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形，然后将图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．(1)上述操作能验证的等式是______（用，表示）；(2)请利用你从（1）得出的等式，完成下列各题：①已知，，则______；②计算：．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，图2阴影部分是长为，宽为的长方形，可表示其面积，由两种方法所求的面积相等可得答案；（2）①根据平方差公式将转化为，再根据，进而求出的值；②利用平方差公式将原式化为，进而得出即可．【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，由图1、图2的面积相等得，，故答案为：；（2）解：①，，又，，故答案为：4；②原式．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．【经典例题二运用完全平方公式进行运算问题】知识点一、完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：知识点二、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.知识点三、补充公式；；；.【例2】（2023春·七年级课时练习）观察下列各式及其展开式：请你猜想的展开式第三项的系数是（

）；；；；A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得出次幂展开项的系数规律，分别表示出的展开式，得到所求即可．【详解】∵；；；；得到，则的展开式第三项的系数是，故选：C．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式训练】【变式1】（2022秋·海南海口·八年级校考期中）若a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由已知分别计算的值，然后逆用完全平方公式：，将所求式子化成含、、的形式，再代入计算即可．【详解】a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，，又==，==3．故选D．【点睛】此题考查了代数式的求值，熟练逆用完全平方公式将所求代数式化成三个完全平方式的和是解此题的关键．【变式2】（2022秋·山东东营·九年级东营市东营区实验中学校考期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”则展开式中所有项的系数和是________．…【答案】【分析】通过阅读理解寻找规律，观察题中例子的所有项系数之和，可得（n为非负整数）展开式的各项系数之和的规律．【详解】解：分别计算，，，，，展开式的各项系数之和分别为：，，，，，，由此可得（n为非负整数）展开式的各项系数之和为：，∴展开式中所有项的系数和为：．故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式、展开式；关键在于观察、分析已知数据，找出规律是解决问题的关键．【变式3】（2022秋·重庆璧山·八年级校考期末）在学习分式这一章节时，璧山中学的小宏在网上查找资料时看到了这样一个的问题：“已知，求的值．”小宏在向老师请教之后，给出了如下做法：∵，∴，故．又∵，（分子分母同时除以）且，∴原分式的值为．(1)若，根据小宏的解答，求的值．(2)小宏在解决上述问题后，结合学过的完全平方公式有了新的想法：∵恒成立，且，∴也是恒成立的．∴．”小宏根据上述结论得到：“就应该恒成立，∴的最小值为．”结合两段材料，求的最小值，并求此时的取值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据阅读材料可以得到，再根据阅读材料可将变形可得：；（2）根据阅读材料可以得到的最小值是，进而得到，最后得出结论．【详解】（1）解：∵∴∴∵且∴原分式的值为：；（2）解：∵∴的最小值是∴有最小值∴∴．【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，解题是要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．【经典例题三乘法公式在几何图形中的应用】【例3】（2021春·浙江·七年级期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，可得m+n=22，再根据长方形面积公式可得mn=120，再根据完全平方公式即可求解．【详解】解：∵花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，∴2（m-3）+2（n-3）=32，∴m+n=22，∵mn=120，∴（m+n）2=m2+n2+2mn=m2+n2+240=484，∴m2+n2=244，∴（m-n）2=m2+n2-2mn=244-240=4，∵m＞n，∴m-n=2．故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是灵活运用完全平方公式．【变式训练】【变式1】（2020春·江苏南京·七年级统考期末）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形．从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张，根据完全平方公式的特点可确定拼成的正方形的边长可以为（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）共六种情况．【详解】解：∵每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张拼成正方形，∴正方形的边长可以为：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六种情况；（注意每一种卡片至少用1张，至多用10张）即：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；故选：C．【点睛】本题考查的是完全平方公式的意义和应用，面积法表示完全平方公式是解题的关键．【变式2】（2021·安徽芜湖·统考二模）很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等．【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算：？【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法：【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出______=______（用含n的代数式表示）；【拓展应用】根据以上结论，计算：的结果为________．【答案】规律探究；解决问题；；拓展应用或．【分析】规律探究：计算=36=大正方形面积，然后直接求大正方形面积即可；解决问题：转化为大正方形面积，其边长为1+2+3+…+n，再求面积化简即可；拓展应用：提公因式8转化为8（），再用规律计算即可【详解】解：规律探究：=1+8+27=36=大正方形面积=；故答案为：62解决问题：由上面表示几何图形的面积探究知，，又，；故答案为：；拓展应用：，，．故答案为：或．【点睛】本题考查实践探索问题，仔细观察图形与算式的关系，发现规律为立方数的和等于最大正方形面积，再利用面积公式求是解题关键．【变式3】（2022秋·四川巴中·八年级校考阶段练习）如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状，拼成一个正方形．(1)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法①．方法②；(2)观察图b，请你写出三个代数式，，mn之间的等量关系是；(3)若，，利用（2）题中提供的等量关系计算：；(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来解释，如图C，它表示了，现有一个代数恒等式，请用一个几何图形的面积来解释它的正确性．【答案】(1)，(2)(3)(4)见解析【分析】（1）根据阴影部分的面积可以看作正方形的面积减去四个长方形的面积或边长为的正方形的面积，即可列式；（2）根据阴影部分的面积相等可得答案；（3）由（2）可得，代入，求值即可；（4）根据等式的意义画出符合要求的图形即可．【详解】（1）解：方法①：大正方形的面积减去四个长方形的面积，即阴影部分的面积为，方法②：看作边长为的正方形的面积，即阴影部分的面积为，故答案为：，（2）根据阴影部分的面积相等可得：，即，，mn之间的等量关系是：，故答案为：（3）由（2）可得，若，，则，∴，故答案为：（4）如图所示，图形面积可以表示为长为，宽为的大长方形的面积，即；还可看作四个正方形的面积与四个小长方形的面积之和，即，∴．【点睛】此题主要考查了整式的乘法与几何图形面积之间的联系，从几何的图形来解释多项式乘法的意义．解此类题目的关键是正确的分析图形，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．【经典例题四整式的混合运算】【例4】（2023春·七年级课时练习）已知实数m，n满足，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化简，再判断出，即可求出答案．【详解】解：∵，∴，∵，∴（当时，取等号），∴，∴（当时，取等号），∴，∴，∴，∴，即的最小值为，故选：A．【点睛】此题主要考查了完全平方公式，整式的乘法，化简是解本题的关键．【变式训练】【变式1】（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）将多项式除以后得商式，余式为0，则的值为（

）A．3 B．23 C．25 D．29【答案】D【分析】先把整式化简，然后由整式的乘法、除法运算进行运算，求出a、b、c的值，即可得到答案．【详解】解：=；∵，∴，，，∴，，，∴；故选：D．【点睛】本题考查了整式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是______．【答案】12【分析】根据已知条件化简，根据完全平方公式的非负性求得的最大值，进而即可求解．【详解】，；∵，∴原式==,∴原式．故原式的最大值是12.故答案为：12【点睛】本题考查运用已知公式，及平方的非负性，掌握灵活运用题中给的公式是解题的关键．【变式3】（2023秋·北京海淀·七年级人大附中校考期末）对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式，若将其写成的形式，就能看出不论字母取何值，它都表示正数；若将它写成的形式，就能与代数式建立联系．下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律：x﹣2﹣10123105212517p5212(1)表中p的值是；(2)观察表格可以发现：若时，，则时，．我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值延后，此时延后值为1．①若代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；②已知代数式参照代数式取值延后，请直接写出的值．【答案】(1)10(2)①；②7【分析】（1）将代入即可求得；（2）①；②由①可得，设延后值为，，则可求．【详解】（1）解：将代入得，，故答案为：10；（2）代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为2，，，^；②代数式参照代数式取值延后，设延后值为，时，，时，，，，，，，故答案为7．【点睛】本题考查代数式求值和数字的变化规律；理解题意，能够准确地列出代数式，并进行求解即可．【经典例题五提公因式法分解因式】知识点一、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.知识点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【例5】（2021春·河北邢台·七年级统考期末）已知，那么代数式的值是（

）A．2000 B．－2000 C．2001 D．－2001【答案】B【分析】先将化为，再将转化为，再将代入求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查代数式求值、提公因式法分解因式，利用整体代入求解是解答的关键．【变式训练】【变式1】（2022春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）已知a、b、c是正整数，且，，则等于（

）A．1 B．1或7 C．－1 D．－1或－7【答案】B【分析】此题先把a2−ab−ac+bc=7因式分解，再结合a、b、c都是正整数和a>b，探究它们的可能值，从而求解．【详解】解：根据已知a2−ab−ac+bc=7，即a(a−b)−c(a−b)=7，(a−b)(a−c)=7，∵a>b，∴a−b>0，∴a−c>0，∵a、b、c都是正整数，∴a−c=1或a−c=7，故选：B．【点睛】此题考查了因式分解；能够借助因式分解分析字母的取值范围是解决问题的关键．【变式2】（2022秋·山东威海·八年级统考期中）已知，，，那么代数式的值是______．【答案】【分析】根据代数式的结构，分解成，然后计算出，代入代数式即可求解．【详解】，又由，，，得：，同理得：，，原式．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解的应用，根据条件化简是解题的关键．【变式3】（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程解：设①，将①带入原式后，原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）请根据上述材料回答下列问题：(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法；(2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果；(3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解【答案】(1)提取公因式(2)(3)【分析】（1）根据因式分解的方法判断即可；（2）因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，将因式分解成即可；（3）用换元法设，代入多项式，然后仿照题干的换元法解答即可．【详解】（1）解：由题意得：从到运用了因式分解中的提取公因式法故答案为：提取公因式（2）解：由题意得：（3）解：设，将代入中得：原式【点睛】本题考查了因式分解的方法和运用，解题关键是灵活运用换元法对较为复杂的多项式进行因式分解，达到去繁化简的效果．【经典例题六运用公式法分解因式】知识点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.知识点二、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.【例6】（2020·内蒙古包头·九年级统考学业考试）下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据因式分解的方法，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A、，故A错误；B、，故B错误；C、，故C错误；D、，故D正确；故选：D．【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和步骤进行判断．【变式训练】【变式1】（2020·山西·八年级统考阶段练习）多项式与的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把多项式进行因式分解，然后取相同的因式，即可得到答案．【详解】解：∵，，∴多项式与的公因式是；故选：A．【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法，正确的求出多项式的公因式．【变式2】（2021·全国·九年级专题练习）若a+b=2，ab=3，则代数式a3b+2a²b²+ab3的值为________．【答案】12【分析】首先提公因式ab，再利用完全平方公式进行分解，分解后再代入a+b＝2，ab＝3求值即可．【详解】解：a3b+2a²b²+ab3=ab（a²+2ab+b²）=ab（a+b）²a+b=2，ab=3∴原式=ab（a+b）2=3×22=3×4=12故答案为：12．【点睛】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．【变式3】（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务．把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）．它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．把分解因式．该因式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，再将此项减去，即可得．这种方法叫填项法．任务：请你仿照上面的做法，将下列各式分解因式．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）原式仿照题意添一项，再减去，利用乘法公式分解因式即可；（2）仿照题意求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知乘法公式分解因式是解题的关键．【经典例题七十字相乘法】知识点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.知识点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.【例7】（2022秋·全国·八年级专题练习）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则的值为（

）A．1 B．5 C． D．【答案】A【分析】根据两个一次多项式的两个一次项的乘积得到结果中的二次项，两个常数项的积得到结果中的常数项，从而可判断出另一个因式，再利用整式的乘法进行计算，即可得到答案．【详解】解：多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，由多项式的乘法运算法则可得另一个因式的一次项为常数项为故选：A【点睛】本题考查的是因式分解的应用，整式乘法与因式分解的关系，理解题意得出多项式的另一个因式为是解本题的关键．【变式训练】【变式1】（2021秋·全国·八年级专题练习）因式分解，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根据甲看错了a的值，将分解的结果展开，能求出正确的b的值，乙看错了b的值，可以求出a的值，再因式分解即可得到答案．【详解】解：∵甲看错了a的值∴b是正确的∵=∴b=-6∵乙看错了b的值∴a是正确的∵=∴a=-1∴=故选：B．【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练因式分解以及计算是解决本题的关键．【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下面材料：分解因式：．因为，设．比较系数得，．解得．所以．解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．【答案】【分析】先用十字相乘法分解因式得到，再设，比较系数得到，解方程组即可求解．【详解】解：∵，设，比较系数得，，解得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查分组分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．【变式3】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）利用多项式乘以多项式的法则，可以计算，反过来．请仔细观察，一次项系数是两数之和，常数项是这两数之积，二次项系数是1，具有这种特点的二次三项式可利用进行因式分解．根据上述阅读，解决下列问题：(1)已知关于x的二次三项式有一个因式是，求另一个因式和k的值；(2)甲，乙两人在对二次三项式进行因式分解时，甲看错了一次项系数，分解的结果为，乙看错了常数项，分解的结果为，求这个二次三项式，并将其进行正确的因式分解．【答案】(1)另一个因式为；k的值为(2)；【分析】（1）设，根据定义对应系数相等即可解得．（2）把，，依次展开，分别取正确的常数项和一次项系数．【详解】（1）设∴，，∴，∴另一个因式为，k的值是．（2），，由题意得：，，∴这个二次三项式是．【点睛】此题考查了多项式乘以多项式的法则、因式分解，解题的关键是读懂题意，熟悉运算规则．【经典例题八分组分解法】知识点一、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组

③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项

二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式知识点二：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【例8】（2022秋·八年级单元测试）已知实数m，n，p，q满足，，则（

）A．48 B．36 C．96 D．无法计算【答案】A【分析】先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解．【详解】解：，，，，，，，，，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解．【变式训练】【变式1】（2021春·全国·八年级专题练习）若实数x满足x2-2x-1=0，则2x3-7x2+4x-2019的值为（

）A．-2019 B．-2020 C．-2022 D．-2021【答案】C【分析】先将x2-2x-1=0变形为x2-2x=1，再将要求的式子逐步变形，将x2-2x=1整体代入降次，最后可化简求得答案．【详解】解：∵x2-2x-1=0，∴x2-2x=1，∵2x3-7x2+4x-2019=2x3-4x2-3x2+4x-2019，=2x（x2-2x）-3x2+4x-2019，=6x-3x2-2019，=-3（x2-2x）-2019=-3-2019=-2022，故选：C．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．【变式2】（2022·北京·九年级专题练习）阅读下面材料：分解因式：．因为，设．比较系数得，．解得．所以．解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．【答案】【分析】先用十字相乘法分解因式得到，再设，比较系数得到，解方程组即可求解．【详解】解：设比较系数得，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查分组分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．【变式3】（2022秋·四川宜宾·八年级统考期中）观察下列多项式的分解因式做法：①；②；③…(1)模仿以上做法，对分解因式；(2)观察以上结果，猜想___________；（n为正整数，直接写结果，不用验证）(3)根据以上结论，试求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）按照给定例题的步骤因式分解即可；（2）依据（1）中的结果即可确定；（3）根据（2）中的结论可得，，从而有，，而，进一步计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：根据（1）结果，可得，（3）解：，．∵，∴，∴．【点睛】本题考查了分组法进行因式分解与数式规律探究，找出因式分解的规律是解题的关键．【经典例题九因式分解的应用】【例8】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）已知，则多项式的值为（

）A．24 B．18 C． D．【答案】D【分析】先将进行因式分解，然后整体代入求值即可．【详解】解：∵，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了代数式求值以及因式分解的应用，解决本题关键是正确完成分解因式．【变式训练】【变式1】（2022秋·北京·八年级校考阶段练习）在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法生成的密码可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先对多项式提公因式，再利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算，即可确定出密码．【详解】解：，当，时，，，，∴上述方法生成的密码可以是．故选：D【点睛】本题考查了因式分解的应用，涉及分解因式的方法有：提公因式法，以及平方差公式法，属于阅读型的新定义题，其中根据阅读材料得出产生密码的方法是解本题的关键．【变式2】（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）若a、b是的两条边的长度，且满足，则面积的最大值是__________．【答案】【分析】利用因式分解得到，利用非负性，求出的值，再根据两条边互相垂直时，三角形的面积最大，进行求解即可．【详解】解：∵，∴∴，∵，∴，∴，设：，∵直角三角形的斜边大于直角边，∴边上高，∴当时，的面积最大，最大值为；故答案为：．【点睛】本题考查因式分解的应用，以及非负性．熟练掌握因式分解的方法，以及非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键．【变式3】（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式．原式．求代数式的最小值．可知当时，有最小值．根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)填空：；；(2)利用配方法分解因式：（注意：用其它方法不给分）(3)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．【答案】(1)，(2)(3)当时，多项式有最大值，最大值为5【分析】（1）两式利用完全平方公式判断即可得到结果；（2）原式变形后，利用完全平方公式配方得到结果，分解即可；（3）原式变形后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质得出有最大值，并求出最大值即可．【详解】（1）；故答案为：；（2）；（3），∵，∴，即，则当时，多项式有最大值，最大值为5．【点睛】此题考查了因式分解的应用，以及完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【培优检测】1．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）已知是完全平方式，则常数k等于（）A．8 B． C．16 D．8或【答案】D【分析】由已知条件设出一个完全平方式，并将其展开，使其与相等，即可得到关于和的方程组，解方程组即可得到答案．【详解】∵是完全平方式∴∴∴解得故选：D．【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握公式是解题的关键．2．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）设，是实数，定义一种新运算：．则下列结论中正确的有（

）①；②；③A．①②③ B．①② C．②③ D．①③【答案】B【分析】利用新运算的意义对每个选项的结论进行逐一验证即可得出结论．【详解】解：，故①正确；，，故②正确；，，∴，故③错误；故选：B【点睛】本题主要考查了乘法公式，本题是新定义型题目，理解并熟练应用题干中的新定义是解题的关键．3．（2022秋·重庆渝北·八年级重庆市两江育才中学校校考期末）已知，，则代数式的值为（

）A．8 B．18 C．19 D．25【答案】C【分析】原式利用完全平方公式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：∵，，∴，故选：C．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知有理数a，b，c满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由得，再求得得，进一步求出，，即可求解．【详解】解：∵，，∴，，∵，∴，整理，得，∴，∵，，，∴，，，∴，∴，∴，∴，，把，，代入得：原式，故选：C．【点睛】本题考查了利用乘法公式变形求值，解题的关键是利用乘法公式得到．5．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）把多项式分解因式，结果是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式．【详解】解：，故选：D．【点睛】此题考查了利用提公因式法和公式法分解因式，正确掌握分解因式的方法是解题的关键．6．（2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）已知，，，则的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】将变形为，分别计算，，，代入，即可．【详解】解：，，，，故选：D．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟练运用完全平方公式将目标代数式变形是解题关键．7．（2022秋·山东淄博·九年级统考期中）将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．例如，由图（1）可得等式：．将图（2）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出图形，根据图形因式分解即可．【详解】解：如下图：，故选：C．【点睛】本题考查了因式分解的应用，能够根据所给的单项式画出几何图形，利用等积法进行因式分解是解题的关键．8．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知满足，则的值为（

）A．1 B．－5 C．－6 D．－7【答案】A【分析】三个式子相加，化成完全平方式，得出的值，代入计算即可．【详解】解：∵，∴（a2+2b）+（b2-2c）+（c2-6a）=7+（-1）+（-17），∴a2+2b+b2-2c+c2-6a=-11∴（a2-6a+9）+（b2+2b+1）+（c2-2c+1）=0，∴（a-3）2+（b+1）2+（c-1）2=0∴a-3=0，b+1=0，c-1=0，∴a+b-c=3-1-1=1．故选：A．【点睛】本题考查了代数式求值和完全平方公式，解题关键是通过等式变形化成完全平方式，根据非负数的性质求出的值，准确进行计算．9．（2023秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）已知已知，，且，则值为_______．【答案】7【分析】首先求出的值，再根据求出的值．【详解】解：①，②，①②，得，，，因为，所以，即③，①②，得，④，③平方，得⑤，⑤④，得，，．【点睛】本题主要考查因式分解的运用，求出的值是解答本题的关键．10．（2022秋·山东烟台·八年级统考期中）若，，则的值为________．【答案】【分析】根据两式相加可得，即可求解的值【详解】解：∵，，∴，即∴故答案为：．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11．（2022秋·山东泰安·八年级校联考期中）已知，，，则多项式的值为______．【答案】3【分析】根据题意可得，，，再利用提公因式法原式可变形为，再利用完全平方公式可变形为，然后代入，即可求解．【详解】解：∵，，，∴，，，∴故答案为：3【点睛】本题是因式分解的应用，解题的关键是利用因式分解把所求代数式进行变形．12．（2021春·江苏常州·七年级校考期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和．现有这三种纸片各8张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为_________．【答案】4【分析】根据完全平方公式进行判断，画出相应的图形即可．【详解】解：①，即可以用甲、丙正方形纸片各1张，乙长方形纸片2张拼成一个边长为的正方形；②，即可以用甲正方形纸片1张，乙长方形纸片4张，丙正方形纸片4张，拼成一个边长为的正方形；③，即可以用甲正方形纸片4张，乙长方形纸片4张，丙正方形纸片1张，拼成一个边长为的正方形；④，即可以用甲正方形纸片4张，乙长方形纸片8张，丙正方形纸片4张，拼成一个边长为的正方形；共有4种不同的正方形．故答案为：4．【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，关键是根据题意得出甲、乙、丙的面积，然后结合正方形的面积进行拼图即可．13．（2022春·福建三明·七年级校考阶段练习）若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则A－2022的末位数字是________．【答案】4【分析】将乘以（2－1），然后用平方差公式计算，再用列举法找出的个位数的规律，推出A的个位数，再代入式子计算即可．【详解】（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1＝（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1＝（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1＝（24－1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1＝（28－1）（28＋1）(216＋1)＋1＝(216-1)(216＋1)＋1=232-1+1＝232；∵，，，，，，，；∴尾数是2，4，8，6，……四个一循环，∵32÷4=8，∴232的末位数字是6，即A的末位数字是6，则A－2022的末位数字是4．故答案为：4．【点睛】本题考查了平方差公式、数字规律等知识点，根据题意凑出平方差公式以及发现尾数是2，4，8，6，……四个一循环是解答本题的关键．14．（2022·辽宁大连·统考一模）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是___________.【答案】【分析】依次观察前几个图形以及正方形的个数，进而归纳得到拼成第个图形需要个正方形，即可得出结论．【详解】第1个图形是一个小正方形；第2个图形由个小正方形拼成；第3个图形由个小正方形拼成，……拼成第个图形需要个正方形，拼成第个图形需要个正方形，，解得：；故答案为：．【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，根据图形得出小正方形的变化规律是解题的关键．15．（福建省漳州市2022—2023学年八年级上学期期末考试数学试卷）将两数和（差）的平方公式：，通过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若，，求的值．解：，，．请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：(1)若，，求的值；(2)将边长为x的正方形和边长为y的正方形按如图所示放置，其中点D在边上，连接，，若，，求阴影部分的面积．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）两边平方，可得，将已知带入求解即可；（2）运用割补法阴影部分的面积为：，根据面积公式结合题意化简整理得，将已知代入计算即可．【详解】（1）解：，，，，；（2）阴影部分的面积为：，，．【点睛】本题考查了整式的运算；掌握完全平方公式和整式的运算法则是解题的关键．16．（2022秋·广西南宁·八年级校考期中）阅读材料：完全平方公式是．选取二次三项式中两项，配成完全平方式的过程叫配方，例如：叫配方请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，将二次三项式配方得：（______）______；∴______0（填“>”，“<”，“=”）(2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由．【答案】(1)2，5，>(2)，理由见解析【分析】（1）根据完全平方公式的形式配方求解即可；（2）分别表示出，，然后利用作差法求解即可．【详解】（1）∵∴故答案为：2，5，>；（2）∴∵∴∴．【点睛】此题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的形式．17．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）【实践探究】小明在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块，进行实践探究：(1)现取其中两个拼成一个大长方体，如图2，据此写出一个多项式的因式分解：________________．【