专题5.2相交线（2）垂线-2021-2022学年七年级数学下册尖子生培优题典

20212022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】专题5.2相交线（2）垂线姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•射阳县期末）下列说法中不正确的是（）A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．两点确定一条直线 C．小于平角的角可分为锐角和钝角两类 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【分析】根据线段、射线和角的概念，对选项一一分析，选择正确答案．【解析】A、两点之间的所有连线中，线段最短，正确；B、两点确定一条直线，正确；C、小于平角的角可分为锐角、钝角，还应包含直角，错误；D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；故选：C．2．（2021春•浦东新区月考）下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（）A． B． C． D．【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案．【解析】由题意得PQ⊥MN，P到MN的距离是PQ垂线段的长度，故选：A．3．（2021春•饶平县校级期末）如图，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，则下列哪条线段的长度是表示点A到BC的距离（）A．AD B．AF C．AE D．AB【分析】根据点到直线的距离的定义解答即可．【解析】∵AE⊥BC于点E，∴AE表示点A到BC的距离，故选：C．4．（2020春•新乡期末）如图，田地A的旁边有一条小河l，要想把小河里的水引到田地A处，为了省时省力需要作AB⊥l，垂足为B，沿AB挖水沟，则水沟最短，理由是（）A．点到直线的距离 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案．【解析】把小河里的水引到田地A处，则作AB⊥l，垂足为点B，沿AB挖水沟，依据为：垂线段最短．故选：C．5．（2021春•沈阳月考）如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（）A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两点之间，线段最短【分析】利用垂线的性质解答．【解析】如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选：C．6．（2021春•浦东新区期末）如图，已知直角△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则表示点A到直线CD距离的是（）A．线段CD的长度 B．线段AC的长度 C．线段AD的长度 D．线段BC的长度【分析】根据点到直线的距离的概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度即为该点到这条直线的距离作答．【解析】点A到CD的距离是线段AD的长度．故选：C．7．（2020秋•奉化区校级期末）如图，AC⊥BC，AC＝4，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是（）A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5【分析】利用垂线段最短得到AD≥AC，然后对各选项进行判断．【解析】∵AC⊥BC，AC＝4，∴AD≥AC，即AD≥4．观察选项，只有选项A符合题意．故选：A．8．（2020•陕西）如图，AC⊥BC，直线EF经过点C，若∠1＝35°，则∠2的大小为（）A．65° B．55° C．45° D．35°【分析】由垂线的性质可得∠ACB＝90°，由平角的性质可求解．【解析】∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣90°﹣35°＝55°，故选：B．9．（2020春•孝义市期末）下列各图中，过直线l外的点P画直线l的垂线，三角尺操作正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可．【解析】用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线，∴C选项的画法正确，故选：C．10．（2019秋•仁寿县期末）如图，O为直线AB上一点，OC⊥OD，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列结论：①∠DOG+∠BOE＝180°；②∠AOE﹣∠DOF＝45°；③∠EOD+∠COG＝180°；④∠AOE+∠DOF＝90°．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据角平分线的定义可设∠AOE＝∠COE＝α，∠BOG＝∠COG＝β，利用平角等于180°得出α+β＝90°，∠EOG＝90°．根据同角的余角相等得出∠DOG＝∠COE＝90°﹣∠COG＝α，则∠BOD＝∠DOG﹣∠BOG＝α﹣β．∠BOF＝∠DOF（α﹣β）．然后根据互余、互补的定义分别判断即可．【解析】∵OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，∴可设∠AOE＝∠COE＝α，∠BOG＝∠COG＝β，∵O为直线AB上一点，∴∠AOB＝180°，∴2α+2β＝180°，∴α+β＝90°，∠EOG＝90°．∵∠DOC＝90°，∴∠DOG＝∠COE＝90°﹣∠COG＝α，∴∠BOD＝∠DOG﹣∠BOG＝α﹣β．∵OF平分∠BOD，∴∠BOF＝∠DOF（α﹣β）．①∵∠DOG＝α＝∠AOE，∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠DOG+∠BOE＝180°，故本选项结论正确；②∵∠AOE＝α，∠DOF（α﹣β），∴∠AOE﹣∠DOF＝α（α﹣β）（α+β）＝45°，故本选项结论正确；③∵∠EOD＝∠EOG+∠GOD＝90°+α，∠COG＝β，∴∠EOD+∠COG＝90°+α+β＝180°，故本选项结论正确；④∵∠AOE+∠DOF＝α（α﹣β）（90°﹣α）＝2α﹣45°，∴当α＝67.5°时，∠AOE+∠DOF＝90°，但是题目没有α＝67.5°的条件，故本选项结论错误．综上所述，正确的有：①②③共3个．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•西华县期中）若线段AM，AN分别是△ABC的高线和中线，则线段AM，AN的大小关系是AM≤AN（用“≤”，“≥”或“＝”填空）．【分析】利用垂线段最短进行解答即可．【解析】∵线段AM，AN分别是△ABC的高线和中线，∴AM≤AN，故答案为：≤．12．（2020春•金寨县期末）如图，为了把河中的水引到C处，可过点C作CD⊥AB于D，然后沿CD开渠，这样做可使所开的渠道最短，这种设计的依据是垂线段最短．【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．【解析】过D点引CD⊥AB于D，然后沿CD开渠，可使所开渠道最短，这种设计的依据是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．13．（2021春•饶平县校级期末）如图，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝4，BC＝3，AC＝5，则点A到直线l1的距离是4．【分析】由AB⊥l1，即可得出答案．【解析】∵AB⊥l1，则点A到直线l1的距离是AB的长＝4；故答案为：4．14．（2021春•饶平县校级期末）如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的为①②（填序号）．①点A到BC的距离是线段AD的长度；②线段AB的长度是点B到AC的距离；③点C到AB的垂线段是线段AB．【分析】利用点到直线的距离定义可得正确答案．【解析】∵AD⊥BC，∴点A到BC的距离是线段AD的长度，①正确；∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，∴线段AB的长度是点B到AC的距离，②正确∵AB⊥AC，∴C到AB的垂线段是线段AC，③不正确．其中正确的为①②，故答案是：①②．15．（2020春•东城区校级期末）如图，∠C＝90°，线段AB＝15cm，线段AD＝12cm，线段AC＝9cm，则点A到BC的距离为9cm．【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案．【解析】因为∠C＝90°，所以AC⊥BC，所以A到BC的距离是AC，因为线段AC＝9cm，所以点A到BC的距离为9cm．故答案为：9．16．（2020秋•绿园区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，且∠COE＝48°，则∠AOD为138°．【分析】利用垂线定义可得∠BOE＝90°，然后可得∠COB的度数，再利用对顶角相等可得答案．【解析】∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∵∠COE＝48°，∴∠COB＝90°+48°＝138°，∴∠AOD＝138°，故答案为：138°．17．（2020秋•南岗区校级期中）已知，∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠BOC：∠AOB＝4：1，射线OD平分∠AOB，射线OE⊥OD，则∠BOE＝72°或108°．【分析】根据平角的意义、角平分线的意义，邻补角，垂直的意义，分别计算各个角的大小即可．【解析】∵∠AOB和∠BOC互为邻补角，∴∠AOB+∠BOC＝180°，又∵∠BOC：∠AOB＝4：1，∴∠BOC＝180°144°，∠AOB＝180°36°，∵射线OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD∠AOB＝18°，∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，如图1，∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣18°＝72°，如图2，∠BOE＝∠DOE+∠BOD＝90°+18°＝108°，故答案为：72°或108°．18．（2021春•潜山市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB＝3，BC＝4，AC＝5．下列结论正确的有①②④．（写出所有正确结论的序号）①∠BDC＝90°；②∠C＝∠ABD；③点A到直线BD的距离为线段AB的长度；④点B到直线AC的距离为．【分析】①根据垂直的定义即可求解；②根据余角的性质即可求解；③根据点到直线的距离的定义即可求解；④根据三角形面积公式即可求解．【解析】①∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，故①正确；②∵∠ABD+∠A＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠C＝∠ABD，故②正确；③点A到直线BD的距离为线段AD的长度，故③错误；④点B到直线AC的距离为3×4×2÷5，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•北仑区期末）如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．【分析】（1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置；（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段．【解析】（1）∵两点之间线段最短，∴连接AD，BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．（2）过H作HG⊥EF，垂足为G．“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据．20．（2020春•孟村县期中）如图，AB、CD、NE相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°（1）线段MO的长度表示点M到NE的距离；（2）比较MN与MO的大小（用“＜”号连接）：MO＜MN，并说明理由：垂线段最短；（3）求∠AON的度数．【分析】（1）根据点到直线的距离解答即可；（2）根据垂线段最短解答即可；（3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可．【解析】（1）线段MO的长度表示点M到NE的距离；（2）比较MN与MO的大小为：MO＜MN，是因为垂线段最短；（3）∵∠BOD＝∠AOC＝50°，OM平分∠BOD，∴∠BOM＝25°，∴∠AON＝180°﹣∠BOM﹣∠MON＝180°﹣25°﹣90°＝65°．故答案为：MO；MO＜MN；垂线段最短．21．（2020秋•淮安区期末）如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝20°，求∠COD的度数．【分析】利用对顶角相等可得∠AOM的度数，再利用角平分线的定义和垂线定义进行计算即可．【解析】∵∠BON＝20°，∴∠AOM＝20°，∵OA平分∠MOD，∴∠AOD＝∠MOA＝20°，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠COD＝90°﹣20°＝70°．22．（2019秋•张家港市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC．（1）图中∠AOF的余角是∠AOD，∠BOC（把符合条件的角都填上）；（2）如果∠1＝28°，求∠2和∠3的度数．【分析】（1）直接利用垂线的定义结合互为余角的定义得出答案；（2）利用垂直的定义结合角平分线的定义得出∠2＝56°，即可得出答案．【解析】（1）∵OF⊥OC，∴∠FOC＝90°，∴∠FOD＝90°，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOF的余角是：∠AOD，∠BOC；故答案为：∠AOD，∠BOC；（2）∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠1＝56°，∵∠2＝∠AOD，∴∠2＝56°，又∵OF⊥CO，∴∠FOD＝90°，∴∠3＝90°﹣∠AOD＝90°﹣56°＝34°．23．（2020秋•武侯区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OG⊥OC．（1）求证：∠COF＝∠EOG；（2）若∠BOD＝32°，求∠EOG的度数．【分析】（1）根据余角的性质即可求解；（2）根据邻补角的定义，角平分线的定义，以及等量关系即可求解．【解析】（1）证明：∵OF⊥OE，OG⊥OC，∴∠FOE＝∠COF+∠COE＝90°，∠COG＝∠EOG+∠COE＝90°，∴∠COF＝∠EOG；（2）解：∵∠BOD＝32°，∴∠BOC＝180°﹣32°＝148°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE∠BOC＝74°，∵∠COG＝90°，∴∠EOG＝∠COG﹣∠COE＝16°．24．（2019秋•市中区期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．（1）如图（1），若∠BOD＝35°，则∠AOC＝145°；若∠AOC＝135°，则∠BOD＝45°；（直接写出结论即可）（2）如图（2），若∠AOC＝140°，则∠BOD＝40°；（直接写出结论即可）（3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图（1）说明理由；（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方