专题12.3全等三角形（章节复习考点讲练）学生版

20232024学年人教版数学八年级上册同步专题热点难点专项练习专题12.3全等三角形（章节复习+考点讲练）知识点01：全等三角形的判定与性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SSS）两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（HL）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必须有一组对应边相等知识点02：全等三角形的证明思路知识点03：角平分线的性质1.角的平分线的性质定理

角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

2.角的平分线的判定定理

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

3.三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.知识点04：全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3)等式性质.2．证明角相等的方法：(1)利用平行线的性质进行证明.(2)证明两个角所在的两个三角形全等.(3)利用角平分线的判定进行证明.(4)同角（等角）的余角（补角）相等.(5)对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5.证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【典例分析】（2023春•明水县期中）已知△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12cm，面积为6cm2，则△DEF的周长为12cm，面积为6cm2．【思路点拨】利用全等三角形的性质即可解决问题．【规范解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴△ABC与△DEF的面积相等，周长相等，∵△ABC的周长为12cm，面积为6cm2，∴△DEF的周长为12cm，面积为6cm2，故答案为12，6．【考点评析】本题考查全等三角形的性质，记住全等三角形的面积相等，周长相等是解决问题的关键．【变式训练11】（2022秋•兴城市期末）如图，△ABC≌△DEC，∠A＝40°，∠B＝70°，∠ACE＝30°，则∠DCA的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【变式训练12】（2022秋•平桥区期末）如图，N，C，A三点在同一直线上，N，B，M三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM的度数等于（）A．10° B．20° C．30° D．40°【变式训练13】（2023春•尉氏县月考）如图，在锐角三角形ABC中，F、G分别是AB、AC上的点，△ACF≌△ADF，△ABG≌△AEG，且DF∥BC∥GE，BG、CF交于点H，若∠BAC＝40°，则∠BHC的度数是．【变式训练14】（2023春•渭滨区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝或时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．【变式训练15】（2022秋•句容市期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．（1）当DE＝8，BC＝5时，求线段AE的长；（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC与∠AFD的度数．【典例分析】（2023•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E．AD与BE交于F，若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF．【思路点拨】求出∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，根据AAS推出两三角形全等即可．【规范解答】证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC+∠AEF+∠AFE＝180°，∠BDF+∠BFD+∠DBF＝180°，∴∠DAC＝∠DBF，在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（AAS）．【考点评析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．【变式训练21】（2023春•和平县期末）如图，已知AD是△ABC的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，且BF∥CE，连接BF，CE，下列说法中：①BD＝CD；②△BDF≌△CDE；③∠BAF+∠ABC＝∠CDE；④CE＝AE．正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【变式训练22】（2023春•渭南期末）在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M，N运动的速度之比3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为（）A．18cm B．24cm C．18cm或28cm D．18cm或24cm【变式训练23】（2023春•余江区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿A→C→B的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿B→C→A的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点P的运动时间等于2或或12秒时，△PEC与△CFQ全等．【变式训练24】（2023春•高州市期末）已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为秒时，△ABP和△DCE全等．【变式训练25】（2023春•紫金县期末）如图，在△ABC中，点E，F在BC上，且BE＝CF．点D为平面内一点，且满足AC∥BD，AE∥DF．求证：△EAC≌△FDB．【典例分析】（2023春•临渭区期中）如图所示，在△ABC中，CB⊥AB，∠BAC＝45°，F是AB延长线上一点，点A在BC上，且AE＝CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．【思路点拨】先判断△ABC为等腰直角三角形得到AB＝CB，然后根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△CBF．【规范解答】证明：∵CB⊥AB，∴∠ABC＝∠FBC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝CB，在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．【考点评析】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．【变式训练31】（2022春•古田县校级月考）下面说法错误的个数有（）（1）全等三角形对应边上的中线相等．（2）有两条边对应相等的等腰直角三角形全等．（3）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等．（4）两边及其一边上的高也对应相等的两个三角形全等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练32】（2023春•张店区期末）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的条件是（不添加字母和辅助线）．【变式训练33】（2022秋•南关区校级期末）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DF，若要用“斜边直角边（H．L．）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件：．【变式训练34】（2022春•任城区期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE+CF；（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求：FE长．【典例分析】（2023春•云梦县期中）如图所示，等腰直角三角形ABC的斜边BC＝2，顶点A在坐标原点，B在y轴正半轴上，C在x轴正半轴上，现沿x轴正半轴将△ABC按顺时针方向翻转，则第10次翻转后，顶点A的坐标为．【思路点拨】根据题意找到循环次数，根据勾股定求出直角边，即可得到答案．【规范解答】解：∵等腰直角三角形ABC的斜边BC＝2，∴，由图象可得：图形3次一循环，∵10÷3＝3.....1，∴，故答案为：．【考点评析】本题考查图形规律，勾股定理，解题的关键是找到图形的循环规律．【变式训练41】（2023春•开福区校级期末）如图，点B的坐标为（6，6），作BA⊥x轴，BC⊥y轴，垂足分别为A、C，点D为线段OA的中点，点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP＝CD时，点P的坐标为（）A．（6，1） B．（6，3） C．（3，3） D．（6，3）或（3，6）【变式训练42】（2023春•高碑店市校级月考）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，AC，BD交于点M，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：AC＝BD；结论Ⅱ：∠CMD＞∠CODA．Ⅰ对，Ⅱ错 B．Ⅰ错，Ⅱ对 C．1，Ⅱ都对 D．Ⅰ，Ⅱ都错【变式训练43】（2023春•莱州市期末）如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点（不与A，D重合），则AB﹣ACPB﹣PC（填“＞”、“＜”或“＝”）．【变式训练44】（2022秋•商水县期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为．【变式训练45】（2023•肥城市校级模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．【变式训练46】（2022秋•龙岩期末）阅读下题及证明过程．已知：如图，AB＝AC，∠ABP＝∠ACP，求证：∠BAP＝∠CAP．证明：∵AB＝AC，∠ABP＝∠ACP，PA＝PA，∴△PAB≌△PAC第一步，∴∠BAP＝∠CAP第二步．上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．【典型例题】（2023春•建平县期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离DE是（）A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm【思路点拨】由题意易得∠ADC＝∠CEB＝90°，则有∠BCE＝∠DAC，进而可证△ADC≌△CEB，然后根据全等三角形的性质求解即可．【规范解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），故选：C．【考点评析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．【变式训练51】（2022秋•灵宝市校级期末）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m，点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A'处时，若A'B⊥AB，A'到BD的距离是．【变式训练52】（2023•信阳二模）如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等．【变式训练53】（2023春•六盘水期中）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可；乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．【变式训练54】（2023•怀化三模）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是1.5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙ABCD和EFGH，点P在BE上，已知AP＝PF，∠APF＝90°．（1）求证：△ABP≌△PEF；（2）求BE的长．【典型例题】（2022秋•龙岩期末）如图，OC平分∠AOB，CP⊥OB于点P，CP＝3，点Q在OA上，OQ＝6，则△OCQ的面积为（）A． B．6 C．9 D．18【思路点拨】过点C作CD⊥OA于D，利用角平分线的性质求得CD＝CP＝3，再根据三角形面积公式求解．【规范解答】解：过点C作CD⊥OA于D，如图，∵CP⊥OB，CD⊥OA，OC平分∠AOB，∴CD＝CP＝3，∴，故选：C．【考点评析】本题考查角平分线的性质，三角形面积，作辅助线CD⊥OA于D是解题的关键．【变式训练61】（2023春•南海区校级期中）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝3cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为cm．【变式训练62】（2023春•巴州区期中）如图，点O是直线EF上一点，射线OA，OB，OC在直线EF的上方，射线OD在直线EF的下方，且OF平分∠COD，OA⊥OC，OB⊥OD．（1）若∠DOF＝40°，求∠AOB的度数；（2）若OA平分∠BOE，求∠DOF的度数．【变式训练63】（2023春•郓城县期中）如图，已知△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，连接AO并延长交BC于D，OH⊥BC于H，OH＝5cm，点O到AB的距离为cm．【变式训练64】（2022秋•宁波期末）如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠ABC＝45