第04讲平方根（原卷版）

第04讲平方根1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．3.掌握平方根与算术平方根的有关运算知识点1：平方根1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点3：平方根的性质知识点4：平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.考点一：平方根的概念和表示例1．（2023八上·东方期末）实数9的平方根是（）A．3 B．±3 C．±3 【变式11】（2023八上·平昌期末）实数4的平方根为（）.A．16 B．2 C．±2 D．±【变式12】（2022八上·莲湖月考）计算16的平方根结果是（）A．±2 B．±4 C．2 D．4【变式13】（2022八上·西安月考）已知a−3+|b−4|=0，则aA．32 B．±32 C．±考点二：平方根的性质例2.（2022八上·电白期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a9．（1）求a和m的值；（2）求关于x的方程ax【变式21】（2022八上·龙华期中）若m+4与m−2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（）A．3 B．−3 C．1 D．−1【变式22】（2022春•仁怀市校级月考）若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求：（1）m+n的值；（2）（m+n）2的平方根．【变式23】（2021秋•河南月考）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣18．（1）求a的值；（2）求这个数m．考点三：利用开平方解方程例3.（2022秋•莲湖区校级月考）求下列各式中x的值．（1）9x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2＝36．【变式31】（2022秋•江阴市校级月考）求下列各式中x的值：（1）x2﹣4＝0；（2）（x﹣1）2﹣9＝0．【变式32】（2022秋•新城区期中）已知2x2﹣8＝0，求x的值．考点四：算术平方根的概念例4.（2022八上·顺义期末）4的算术平方根是（）A．2 B．±2 C．2 D．16【变式41】（2023八上·达州期末）已知x=2y=1是二元一次方程组mx+ny=8A．±2 B．2 C．2 D．4【变式42】（2022八上·绵阳竞赛）81的算术平方根是.考点五：算术平方根的非负性例5.（2021八上·河源期末）若|3x﹣2y+1|+x+y−3＝0，则xy的算术平方根是．【变式51】（2021秋•滨海县期末）已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3【变式52】（2022春•绥江县期中）若（a﹣1）2+＝0，则（a﹣b）2022＝（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2022考点六：算术平方根的应用例6.（2022秋•南岗区校级期中）小李同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为2：3，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小于同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”（1）长方形纸片的长和宽是分别多少cm？（2）你是否同意小于同学的说法？说明理由．【变式6】（2022秋•市北区期中）某新建学校计划在一块面积为256m2的正方形空地上建一个面积为150m2的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划．1．（2022•攀枝花）2的平方根是（）A．2 B．±2 C． D．2．（2021•济南）9的算术平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．3．（2021•通辽）的平方根是（）A．±4 B．4 C．±2 D．+24．（2021•南充）如果x2＝4，则x＝．5．（2018•广东）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝．6．（2022•泸州）若（a﹣2）2+|b+3|＝0，则ab＝．7．（2021•南充）如果x2＝4，则x＝．8．根据图中呈现的运算关系，可知a＝，b＝．1．（2022八上·南宁开学考）a的算术平方根是4，那么a的值是（）A．8 B．16 C．2 D．±22．（2022八上·沈北新期中）若一个正数的两个平方根分别是2m－4与3m－1，则m的值是（）A．1 B．－1 C．－3 D．－3或13．（2022八上·宝鸡月考）若实数x，y满足|x﹣3|+y−1＝0，则（x+y）3的平方根为（）A．4 B．8 C．±4 D．±84．（2021八上·紫金期末）已知x=2y=1是二元一次方程组mx+ny=8nx−my=1的解，则A．±2 B．2 C．2 D．45．（2022八上·江都月考）已知2.1=1A．457.3 B．45.73 C．1449 D．144.96．（2023八上·宁强期末）若x2=64，则x的值为7．（2022八上·将乐期中）若a，b是2022的两个平方根，则a+b−ab=.7．（2022八上·渭滨月考）若−2xm−ny2与3x8．（2021八上·榆林期末）已知19在两个连续的整数a和b之间，则a+b的平方根为9．（2021八上·沈阳期中）若y＝3−x+x−3+4，则x2+y2的算术平方根是．10．（2022春•龙马潭区月考）已知（x﹣1）2＝16，求x的值．11．（2022•杭州模拟）求x的值：25（x+2）2﹣36＝0．12．（2021八上·永定期末）已知|x−1|+x−2y+5（1）求x与y的值；（2）求x+y的算术平方根.13．（2022秋•兰考县月考）2022年5月10日，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行．习近平总书记指出，青