第01讲平方根与算术平方根（知识解读真题演练课后巩固）（原卷版）

第01讲平方根与算术平方根 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．3.掌握平方根与算术平方根的有关运算知识点1：平方根1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点3：平方根的性质知识点4：平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.【题型1：平方根的概念和表示】【典例1】（2023•秦都区校级二模）9的平方根是（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．【变式11】（2023•罗山县校级三模）4的平方根是（）A．−2 B．2 C．±2 D．16【变式12】（2023春•八步区期中）已知a的平方根是±3，则a的值是（）A．±3 B．3 C．±9 D．9【变式13】（2023•常德三模）的平方根是（）A．4 B．±4 C．±2 D．2【题型2：平方根的性质】【典例2】（2023春•郯城县期中）若关于m的代数式m﹣1和3m﹣5是某个正数的平方根，求这个正数．【变式21】（2023春•惠东县期中）一个正数x的两个平方根分别是﹣a+2与2a﹣1，求a和正数x的值．【变式22】（2023春•九龙坡区校级月考）已知正数m有两个平方根，分别是a+3与2a﹣15．①求a的值；②求这个正数m．【题型3：利用开平方解方程】【典例3】（2023春•德城区校级月考）求下列各式中x的值．（1）x2﹣49＝0；（2）﹣64x2+＝0；（3）（1﹣2x）2＝1；（4）9（3x+1）2＝64；【变式31】计算：（1）9x2﹣25＝0；（2）4（2x﹣1）2＝36．【变式32】（2022春•通城县期中）求下列各式中的x．（1）x2﹣143＝1；（2）4x2﹣16＝0．【变式33】（2023春•昭阳区月考）求下列各式中x的值．（1）x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2＝64．【题型4：算术平方根的概念】【典例4】（2023春•环江县期末）表示（）A．10的算术平方根 B．10的平方根 C．10的平方 D．10的立方【变式41】（2023春•抚顺月考）化简的结果是（）A．2 B．±2 C． D．±【变式42】（2023春•富锦市期中）若|x|＝5，y是9的算术平方根，则x+y的值是（）A．8 B．﹣8 C．﹣2 D．﹣2或8【变式43】（2023春•番禺区期末）下列运算正确的是（）A． B． C． D．【题型5：算术平方根的非负性】【典例5】（2023春•雅安期末）已知实数x、y满足，则2x+y的平方根是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．±4【变式51】（2023春•微山县期中）若，则ab的值为（）A．﹣6 B．﹣5 C．﹣1 D．1【变式52】（2023春•汶上县期中）若|a﹣1|与互为相反数，则a+b＝（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8【变式53】（2023春•雷州市校级期中）若，则（x+y）2的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1【题型6：算术平方根的应用】【典例6】（2023春•桥西区期末）有一张面积为81cm2的正方形卡片．（1）该正方形贺卡的边长为cm；（2）现有一个面积为96cm2的长方形卡袋，长宽之比为4：3，能否将这张卡片不折叠且全部放入此卡袋？请判断并说明理由．【变式61】（2023春•铁东区校级月考）张华想用一块面积为4000cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．【变式62】（2023春•西塞山区期中）已知自由下落物体的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系式是h＝4.9t2，现有一物体从78.4m的高楼自由落下，求它到达地面需要的时间．【变式63】（2022秋•长安区校级期末）如图，用两个边长为cm的小正方形剪拼成一个大的正方形，（1）则大正方形的边长是cm；（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2且面积为12cm2，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．1．（2023•金昌）9的算术平方根是（）A．±3 B．±9 C．3 D．﹣32．（2023•云南）按一定规律排列的单项式：a，，，，，…，第n个单项式是（）A． B． C． D．3．（2022•凉山州）化简：＝（）A．±2 B．﹣2 C．4 D．24．（2023•宿迁）计算：＝．5．（2023•滨州）一块面积为5m2的正方形桌布，其边长为．6．（2023•荆州）若|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，则＝．7．（2023•湖北）请写出一个正整数m的值使得是整数：m＝．8．（2022•贺州）若实数m，n满足|m﹣n﹣5|+＝0，则3m+n＝．1．（2023•广东模拟）4的平方根是（）A．2 B．±2 C． D．±2．（2023春•商南县期末）若2m﹣4与3m﹣1是同一个数两个不同的平方根，则m的值（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣13．（2023春•河东区期末）若x使（x﹣1）2＝4成立，则x的值是（）A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．±24．（2023春•二道区校级期末）若x2＝（﹣0.7）2，则x＝（）A．﹣0.7 B．±0.7 C．0.7 D．0.495．（2023春•唐山期末）的值是（）A．4 B．±4 C．8 D．±86．（2023•扬州三模）的值等于（）A．0.3 B．±0.3 C．0.03 D．±0.037．（2023春•铁西区期中）已知：＝4.858，＝1.536，则＝（）A．0.1536 B．48.58 C．0.04858 D．以上答案全不对8．（2023春•思明区期末）“9的算术平方根是3”用式子表示为（）A． B． C． D．9．（2023春•合浦县期末）将实数按如图方式进行有规律排列，则第19行的第37个数是（）A．19 B．﹣19 C． D．﹣10．（2023春•万秀区校级期中）已知x，y都是实数，且|x+1|+＝0，则xy＝（）A．1 B．4 C．﹣1 D．﹣411．（2022春•秀山县校级月考）求下列各式中的x．（1）9x2﹣25＝0（2）4（x﹣2）2﹣9＝0．12．（2023春•广州期中）一个正数的平方根是2a﹣1与﹣a+2，求a和这个正数．13．（2023春•肇源县期中）若实数x，y满足，求的值．14．（2023春•广西期末）综合与实践【问题发现】如图1，把两个面积都为1cm2的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为