第7讲一次方程组（讲义）

第7讲一次方程组一次方程组是初中数学六年级下学期第2章第4节的内容．本讲主要讲解二元一次方程的概念，二元一次方程组和三元一次方程组的概念及其解法，同学们需要多多练习，做到能够灵活快速地解方程组．模块一：二元一次方程知识精讲二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．二元一次方程的解集二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做这个二元一次方程的解集．例题解析例1.下列方程中，哪些不是二元一次方程？并说明理由． （1）；（2）； （3）； （4）； （5）；（6）； （7）；（8）．【难度】★【答案】（1）、（5）、（6）、（7）、（8）不是二元一次方程．【解析】根据二元一次方程的概念，含有两个未知数的一次方程是二元一次方程，（1）只有一个未知数，是一元一次方程；（5）中是二次，是二元二次方程；（6）是分式方程，不是整式方程；（7）是一元二次方程；（8）是三元一次方程，即（1）、（5）、（6）、（7）、（8）不是．【总结】考查二元一次方程的判断，注意把握定义中的关键点．例2.若方程是关于x、y的二元一次方程，则a=______，b=______．【难度】★【答案】4，．【解析】方程为二元一次方程，可知未知数次数都为1，则有，解得：．【总结】考查二元一次方程的定义，未知项次数都为1．例3.以下各组数，______________（填序号）是方程的解．（1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★【答案】（2）、（3）．【解析】代入（2）、（3）使得方程左右两边相等，是方程的解；（1）、（4）代入使得方程左右两边不相等，即不是方程的解．【总结】考查二元一次方程的解，代入使得方程左右两边相等即可．例4.已知x=3，y=5是关于x、y的方程一个解，求k的值．【难度】★★【答案】．【解析】x=3，y=5是方程的一个解，代入满足方程，则有，解得．【总结】考查二元一次方程解的应用，代入使得两边相等．例5.已知二元一次方程．（1）用含x的代数式表示y，y=______；（2）用含y的代数式表示x，x=______；（3）当时，y=______；当时，y=______；（4）当时，x=______；当时，x=______．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）3，；（4），．【解析】（1）移项得：，系数化1，得：；移项得：，系数化1，得：；代入得：，解得：；代入得：，解得：；代入得：，解得：；代入得：，解得：．【总结】考查等式的变形和解方程的一般步骤和方法．例6.如果是关于x、y的二元一次方程，求n和a的取值范围．【难度】★★【答案】，．【解析】方程为二元一次方程，可知未知数次数都为1，则有，同时未知项系数不能为0，则有．【总结】考查二元一次方程的定义，未知项次数都为1且系数不能为0．例7.若，且，那么______．【难度】★★【答案】．【解析】由，可得：，则有．【总结】考查利用方程的思想，用其中一个未知数表示另外一个未知数，从而求出分式的值．例8.求方程的正整数解．【难度】★★★【答案】，，．【解析】由，可得，4、7互素，由此可得相应整数解应满足是4的倍数，是7的倍数，且有，分别可取得：，分别解得：，即得方程整数解分别为：，，．【总结】考查方程的整数解问题，化作倍数问题即可．例9.某人只带2元和5元两种钱币，他要买一件27元的商品，若要恰好付清，请问他的付款方式共有哪几种？【难度】★★★【答案】2元1张，5元5张；2元6张，5元3张；2元11张，5元1张【解析】设2元纸币付款张，5元纸币付款张，依题意有，则有，则为奇数，分别取，分别解得：，，，故共有三种方式．【总结】考查方程在实际问题中的应用，注意钱的张数只能是正整数，因此将问题转化为求方程的正整数解的问题．模块二：二元一次方程组及其解法知识精讲二元一次方程组有几个方程组成的一组方程叫做方程组．如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的次数都是一次，那么这样的方程叫做二元一次方程组．二元一次方程组的解在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解．代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．加减消元法通过两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法．例题解析例1.以下方程组：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），哪些是二元一次方程组？【难度】★【答案】（1）、（2）、（3）、（6）是二元一次方程组．【解析】根据二元一次方程组的定义，含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的方程组是二元一次方程组，（4）是二次方程，（5）是三元方程，不满足条件，注意（1）是最简二元一次方程组，（6）有三个方程，但满足二元一次方程组的条件，也是二元一次方程组．【总结】考查二元一次方程组的概念，注意一些特殊形式的二元一次方程组．例2.判断下列两组数值是否是方程组的解： （1）； （2）．【难度】★【答案】（1）是方程组的解．【解析】将代入方程组，方程组中两个等式都成立，可知（1）是方程组的解；将代入方程组，即得，所以（2）不是方程组的解．【总结】考查方程组的解，方程组的解同时满足方程组中的每个方程．例3.方程组的解______是方程的解；反之，方程的解______是方程组的解（填“一定”、“一定不”或“不一定”）．【难度】★★【答案】一定，不一定．【解析】方程组的解一定同时满足方程组中的每个方程，可知方程组的解一定是其中一个方程的解；但二元一次方程的解有无数个，但方程组的解一般只有固定一个，二元一次方程中有一个解可以满足方程组，即得不一定是方程组的解．【总结】考查方程组的解和方程组其中一方程的解得区别和联系．例4.用代入消元法解下列方程组． （1）； （2）； （3）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）将=1\*GB3①代入=2\*GB3②，得：，解得：，将代入=1\*GB3①得：，所以原方程组的解为：；由=1\*GB3①可得：=3\*GB3③，代入=2\*GB3②式，得：，解得：，将代入=3\*GB3③得：，所以原方程组的解为：；由=2\*GB3②可得：，代入=1\*GB3①式，得：，解得：，将代入=3\*GB3③得：，所以原方程组的解为：．【总结】考查用代入消元法解二元一次方程组，选取合适的方程用一个未知数表示另一个未知数．例5.用代入消元法解下列方程组． （1）； （2）．【难度】★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由=1\*GB3①可得=3\*GB3③，代入=2\*GB3②式，得：，解得：，将代入=3\*GB3③得：，所以原方程组的解为：；（2）由=1\*GB3①可得：=3\*GB3③，代入=2\*GB3②式，得：，解得：，将代入=3\*GB3③得：，所以原方程组的解为：．【总结】考查用代入消元法解方程组，选取合适的方程用一个未知数表示另一个未知数．例6.用代入消元法解下列方程组． （1）； （2）．【难度】★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由=2\*GB3②得：=3\*GB3③，代入=1\*GB3①，得：，解得：，将代入=3\*GB3③得：，由，解得原方程组的解为：；（2）由=1\*GB3①可得：=3\*GB3③，代入=2\*GB3②式，得：，解得：，将代入=3\*GB3③得：，解得：，所以原方程组的解为：．【总结】考查代入消元法解方程组问题中整体思想的应用．例7.用加减消元法解下列方程组． （1）； （2）； （3）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由=1\*GB3①=2\*GB3②，得：，解得：，将代入=1\*GB3①解得：，所以原方程组的解为：；由=1\*GB3①=2\*GB3②，得，解得：，将代入=1\*GB3①，解得：，所以原方程组的解为：；由=1\*GB3①=2\*GB3②，得：，解得：，将代入=1\*GB3①，解得：，所以原方程组的解为：．【总结】考查加减消元法解方程组，注意观察相应字母系数的关系进行相应未知数的消除．例8.选用适当的方法解下列方程组． （1）； （2）； （3）； （4）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）由=1\*GB3①得=3\*GB3③，代入=2\*GB3②，得：，解得：，将代入=3\*GB3③得：，所以原方程组的解为：；由=1\*GB3①=2\*GB3②，得：，解得：，将代入=1\*GB3①，得，所以原方程组的解为：；由=1\*GB3①=2\*GB3②，得：，解得：，将代入=1\*GB3①，得，解得：，所以原方程组的解为：；由=1\*GB3①可得：=3\*GB3③，代入=2\*GB3②式，得：，即：，解得：，将代入=3\*GB3③得：，解得：，所以原方程组的解为：．【总结】考查二元一次方程组的解法的综合分析应用，注意观察相应字母系数确定相应的方法，同时注意过程中整体思想的应用．例9.若是二元一次方程，求a、b的值．【难度】★★★【答案】，．【解析】方程组是二元一次方程，则未知项次数都为1，有，解得：．【总结】考查根据二元一次方程的定义，转化为其它方程组的求解．例10.解方程组：．【难度】★★★【答案】．【解析】由=1\*GB3①=2\*GB3②，得：，则；由=2\*GB3②=1\*GB3①，得：，则，由此解得方程组的解为．【总结】考查方程组的求解，注意观察系数之间的关联性进行解题．例11.已知方程组和方程组有相同的解，求a、b的值．【难度】★★★【答案】，．【解析】两个方程组有相同的解，则这个解应满足方程组中的每个方程，由，解得：，同时满足另两个方程，则有，解得：．【总结】考查方程组的解的应用，方程组的解应满足方程组中的每个方程．模块三：三元一次方程组及其解法知识精讲三元一次方程组如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组．解三元一次方程组的思想三元一次方程组三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程

消元

消元例题解析例1.下列方程组中，哪些是三元一次方程组？（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）．【难度】★【答案】（1）、（2）、（3）、（4）是三元一次方程组．【解析】根据三元一次方程组的定义，含有三个未知数，并且未知数的次数都是1的方程组是三元一次方程组，（5）（6）都是二次方程，不满足条件，注意（3）是最简三元一次方程组，（4）只有二个方程，但满足三元一次方程组的要求，也是三元一次方程组．【总结】考查三元一次方程组的概念，注意一些特殊形式的三元一次方程组的判断．例2.解方程组：．【难度】★【答案】．【解析】将代入=2\*GB3②式得：，将，代入=3\*GB3③式得，解得：，所以原方程组的解为：．【总结】考查简单的三元一次方程组的求解．例3.判断下列两组数值是否是方程组的解： （1）； （2）．【难度】★【答案】（2）是方程组的解．【解析】将代入方程组，代入=3\*GB3③式得，可知（1）不是方程组的解；将代入方程组，方程组三个方程都成立，所以（2）是方程组的解．【总结】考查方程组的解，方程组的解同时满足方程组中的每个方程．例4.解方程组： （1）； （2）．【难度】★★【解析】（1）将代入=1\*GB3①式得：=4\*GB3④，将代入=2\*GB3②式得：=5\*GB3⑤，由=4\*GB3④=5\*GB3⑤得：，解得：，将代入=4\*GB3④式解得：，所以原方程组的解为：；将=3\*GB3③代入=1\*GB3①式得：=4\*GB3④，将=3\*GB3③代入=2\*GB3②式得：=5\*GB3⑤，由=4\*GB3④=5\*GB3⑤得：，解得：，将代入=4\*GB3④式解得：，将代入=4\*GB3④式解得：，所以原方程组的解为：．【总结】考查三元一次方程组的求解，将三元一次方程组化成二元一次方程组再进行求解．例5.解方程组： （1）； （2）．【难度】★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由=1\*GB3①=2\*GB3②得：=4\*GB3④，由=3\*GB3③=2\*GB3②得：=5\*GB3⑤，由=4\*GB3④=5\*GB3⑤，得：，将代入=2\*GB3②式得：，将代入=5\*GB3⑤式得：，所以原方程组的解为：；由=1\*GB3①=2\*GB3②得：=4\*GB3④，由=2\*GB3②=3\*GB3③得：=5\*GB3⑤，由=4\*GB3④=5\*GB3⑤，得：，解得：，将代入=4\*GB3④式，得：，将，代入=2\*GB3②式，得：，所以原方程组的解为：．【总结】考查三元一次方程组的求解，将三元一次方程组化成二元一次方程组再进行求解．例6.解方程组： （1）； （2）．【难度】★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由=1\*GB3①=2\*GB3②得：=4\*GB3④，由=4\*GB3④=3\*GB3③得：，解得：，将代入=3\*GB3③式得，将，代入=1\*GB3①式得，所以原方程组的解为：；由=2\*GB3②=1\*GB3①得：=4\*GB3④，由=1\*GB3①=3\*GB3③得：=5\*GB3⑤，=4\*GB3④=5\*GB3⑤，得：，将代入=5\*GB3⑤式得，将，代入=1\*GB3①式得：，所以原方程组的解为：．【总结】考查三元一次方程组的求解，将三元一次方程组化成二元一次方程组再进行求解．例7.解方程组： （1）； （2）．【难度】★★【解析】（1）由=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③得：，则：=4\*GB3④，由=4\*GB3④=1\*GB3①得：，由=4\*GB3④=2\*GB3②得：，由=4\*GB3④=3\*GB3③得：，所以原方程组的解为：；由=1\*GB3①=2\*GB3②得：，解得：，由=1\*GB3①=3\*GB3③得：，解得：，由=2\*GB3②=3\*GB3③得：，解得：，所以原方程组的解为：．【总结】考查特殊三元一次方程组的求解，注意观察方程组中的每一个方程是否形式相同．随堂检测1.以下方程（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中二元一次方程有______个．【难度】★【答案】2【解析】（1）、（5）是二元二次方程，（3）中方程右边有分式，是分式方程，满足二元一次方程的是（2）（4），即共有2个．【总结】考查二元一次方程的判断，注意把握定义中的关键点．2.在方程中，如果是它的一个解，则a=______．【难度】★【答案】．【解析】是方程的一个解，代入满足方程，则有，解得：．【总结】考查二元一次方程解得应用，代入使得两边相等．3.已知一个二元一次方程，它的一个解为，则这个方程可以是_________________．【难度】★【答案】答案不唯一，例．【解析】答案不唯一，代入可使得方程左右两边相等即可．【总结】考查根据二元一次方程的解确定好相应的二元一次方程，使得方程左右两边相等即可，注意前提是二元一次方程．4.将下列方程变形为用含y的代数式表示x．（1）； （2）； （3）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）移项得：，系数化1，得：；（2）移项得：，系数化1约分，得：；（3）通分得：，移项得：，系数化1，得：．【总结】考查利用等式性质用一个未知数把另一个未知数表示出来，可视作方程组代入消元法的基础前提．5.如果是二元一次方程，那么m=______，n=______．【难度】★★【答案】0，．【解析】方程是二元一次方程，则未知项次数都为1，则有，解得：．【总结】考查一元二次方程概念的应用，注意把握好关键特征．6．（2019·上海民办华二浦东实验学校月考）方程x+y=5的自然数解的有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】C【分析】首先用x表示y，再进一步根据x等于0、1、2、3、4、5，对应求出y的值即可．【详解】解：∵x＋y＝5，∴y＝5−x，当x＝0时，y＝5；当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝3；当x＝3时，y＝2；当x＝4时，y＝1；当x＝5时，y＝0，共6个，故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是设x的值为定值，然后求出y的值，看y值是否为自然数即可．7．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列方程中，三元一次方程共有()(1)x+y+z=3；(2)x·y·z=3；(3)；(4)．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】利用三元一次方程的定义判断即可．【详解】解：（1）x+y+z=3，是三元一次方程；（2）x·y·z=3，含有未知数的乘积项，是三元三次方程；（3），是三元一次方程；（4）分母含有未知数，是分式方程；则三元一次方程有2个，故选：B【点睛】本题考查三元一次方程的知识，熟练掌握三元一次方程的定义是解题的关键．8（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列方程组不是三元一次方程组的是()A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．【详解】解：根据三元一次方程组的定义，可知A、B、C都是三元一次方程组，而选项D含有未知数的乘积项，是三元三次方程．故选：D【点睛】本题考查三元一次方程组的知识，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键．9．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）已知用6米铜管分别做2张桌子或3张椅子的框架，如有500米铜管可生产出几套桌椅（）A．150套 B．125套 C．100套 D．60套【答案】C【分析】设有500米铜管可生产出x套桌椅，分别求出一张桌子和一张椅子所需的钢管，再列出方程求解即可【详解】解：有500米铜管可生产出x套桌椅，6÷2=3（米），6÷3=2（米），解得：x=100，故答案为：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是求出一张桌子和一张椅子所需的钢管并列出方程．10．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）某校运动员分组训练，若每组7人则余3人，若每组8人，则缺5人，设运动员的人数为人，组数为，则下列方程组正确的有（）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题中不变的是全班的人数x人．等量关系有：①每组7人，则余下3人；②每组8人，则缺5人，即最后一组差5人不到8人．由此列出方程组即可．【详解】解：根据每组7人，则余下3人，得方程7y＋3=x，即7y=x−3；

根据每组8人，则缺5人，即最后一组差5人不到8人，得方程8y−5=x，即8y=x＋5．

可列方程组为：，故选：C．【点睛】此题考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中不变的是全班的人数，用不同的代数式表示全班的人数是本题的关键．11．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）如果是方程组的解，则_______，_______．【答案】21【分析】把代入方程组中，便可以得到一个关于的二元一次方程组，这个方程组的解即为的值；【详解】是方程组的解把代入方程组中可得：解得：故答案是：，.【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，方程组的解是满足整个方程组等式的，掌握这一点是解决本题的关键.12．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）二元一次方程2x+y=4的非负整数解有_____________组．【答案】三【分析】利用方程求得关于的表达式，即，再根据已知条件求解即可；【详解】由题意可得：要使均为非负的，那么可以有以下3种情况：故答案是：三【点睛】本题主要考查二元一次方程的非负整数解问题，用其中一个未知数表示另外一个会更容易判断，熟练掌握这一点是解决本题的关键.13.（2020·上海市静安区实验中学课时练习）用加减法解方程组时，若先求出的值，则应将两个方程_______；若先求出的值，则应将两方程______．【答案】相加相减【分析】根据方程组中两个方程x、y的系数特点：含x的项系数相同，含y的项系数互为相反数，求x两式相加消去y，求y两式相减消去x．【详解】解：∵方程组中的两个方程，含x的项系数相同，含y的项系数互为相反数，

∴求x的值，应将两个方程相加，消去y，

求y的值，应将两个方程相减，消去x．

故答案为：相加；相减．【点睛】本题考查了用加减消元法解方程组的一般方法，需要熟练掌握．14．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）若，则_________．【答案】6【分析】先根据加减消元法求出方程组的解，再将x，y的值代入即可得出结果．【详解】解：，由①×5得：10x+15y=20③，由②×3得：12x15y=42④，③+④得：22x=22，解得x=1，把x=1代入①得：2+3y=4，解得y=2，∴原方程组的解是，∴8x+y=8+2=6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法以及代数式的求值，掌握基本运算法则是解题的关键．15．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）某班共有学生49人，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半.若设该班男生人数为x，女生人数为y，列出关于x，y的方程组为________________.【答案】【分析】此题中的等量关系有：①该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半；②男生人数＋女生人数＝49．【详解】解：根据该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半，得x−1＝y，即y＝2（x−1）；根据该班共有学生49人，得x＋y＝49．所以列方程组为：，故答案为：.【点睛】本题考查列二元一次方程组，列方程组解应用题的关键是找准等量关系，同时能够根据等式的性质对方程进行整理变形，从而找到正确答案．16．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列方程①x+y；②；③3x+1=8y+；④xy=5；⑤x+=5中，是二元一次方程的是_________(只填序号)．【答案】③【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的最高次数是1的整式方程．据此判断即可.【详解】解：①x+y不是等式，所以不是方程，更不是二元一次方程；②不是整式方程，所以不是二元一次方程；③3x+1=8y+是二元一次方程；④xy=5是二元二次方程，不是二元一次方程；⑤x+=5是一元一次方程.，不是二元一次方程.故答案是：③.【点睛】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，缺一不可．17．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）已知方程组，则_______．【答案】32【分析】方程组两方程相加可先求出x+y的值，从而可求出8x+8y的值．【详解】解：，①+②得，9x+9y=36，∴9(x+y)=36，∴x+y=4，∴8x+8y=8（x+y）=32．故答案为：32．【点睛】此题考查了加减消元法，利用了整体思想是解本题的关键．18．（2019·上海民办华二浦东实验学校月考）解方程组：【答案】.【分析】①×2+2可求出x=1，将x=1代入①可求出y.【详解】解：，①×2+2得：11x=11，解得：x=1，将x=1代入①得：4+y=5，解得：y=1，所以方程组的解为：.【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法与代入消元法是解题关键.19．（2019·上海民办华二浦东实验学校月考）解方程组：【答案】.【分析】①+②可求出y，①+③可求出z，②+③可求出x.【详解】解：，①+②得：2y=6，解得：y=3，①+③得：